Bu ders notu, 8. sınıf "Çarpanlar ve Katlar" ünitesindeki temel kavramları, problem çözme stratejilerini ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsar. Sınavlara hazırlanırken veya konuları tekrar ederken başvurabileceğiniz kapsamlı bir rehber niteliğindedir.

1. Çarpanlar (Bölenler) ve Asal Sayılar 🔢

• Bir doğal sayıyı tam bölen her sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı denir.
  Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
  ⚠️ Dikkat: En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir. 1 asal sayı değildir.
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bunun için çarpan ağacı veya bölen listesi yöntemleri kullanılabilir.
  Örnek: $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
• Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Çarpanlarının Sayısı: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış şeklinde, her asal çarpanın kuvvetinin 1 fazlasının çarpımı o sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısını verir.
  Örnek: $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ ise, çarpan sayısı $(2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$'dir.

2. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🤝

• İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir.
• EBOB Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
  Örnek: EBOB(24, 36)
  $24 = 2^3 \cdot 3^1$
  $36 = 2^2 \cdot 3^2$
  EBOB(24, 36) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$
• EBOB Problemleri: Genellikle büyük parçaların eşit ve en büyük parçalara ayrılması, tarlanın parsellenmesi, kaplara doldurma gibi "bölme" ve "ayırma" durumlarında EBOB kullanılır. Anahtar kelimeler: "eşit parçalara ayırma", "en büyük", "ortak bölen".

3. En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

• İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarından en küçüğüne bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.
• EKOK Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ve ortak olmayan asal çarpanlar çarpılır.
  Örnek: EKOK(24, 36)
  $24 = 2^3 \cdot 3^1$
  $36 = 2^2 \cdot 3^2$
  EKOK(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$
• EKOK Problemleri: Genellikle küçük parçaların birleştirilerek daha büyük bir bütün oluşturulması, otobüslerin/vapurların birlikte hareket etmesi, nöbet tutma, kare/küp oluşturma gibi "birleşme" ve "tekrar etme" durumlarında EKOK kullanılır. Anahtar kelimeler: "birlikte", "aynı anda", "en küçük", "ortak kat".

4. EBOB ve EKOK İlişkisi 🔗

• İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
  $a \cdot b = EBOB(a,b) \cdot EKOK(a,b)$

5. Aralarında Asal Sayılar ✨

• 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
  Örnek: (8, 15) sayıları aralarında asaldır çünkü EBOB(8, 15) = 1'dir. (8 ve 15'in kendileri asal sayı olmak zorunda değildir.)
• Özellikleri:
  • Aralarında asal sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
  • Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
  • Ardışık doğal sayılar (örneğin 7 ve 8) her zaman aralarında asaldır.
  • Ardışık tek doğal sayılar (örneğin 9 ve 11) her zaman aralarında asaldır.
  • Bir ile her sayı aralarında asaldır.
• ⚠️ Dikkat: İki sayının aralarında asal olması için her ikisinin de asal sayı olması gerekmez! (Örnek: 4 ve 9 aralarında asaldır.)

6. Kalanlı Bölme ve EKOK İlişkisi Problemleri 🧩

• Bir sayının farklı sayılara bölündüğünde farklı kalanlar vermesi durumunda EKOK kullanılır.
• Eğer bir sayıya bölündüğünde hep aynı kalanı veriyorsa, sayının EKOK(bölenler) + kalan şeklinde bulunma ihtimali vardır.
  Örnek: Bir sayı 5'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 2 kalanı veriyorsa, bu sayı EKOK(5,6) + 2 olabilir.
• Eğer sayının her bölende eksik kalan miktarı aynı ise (örneğin 5'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 3 kalıyorsa, her iki durumda da tam bölünmesi için 3 eksik), sayının EKOK(bölenler) - eksik kalan şeklinde bulunma ihtimali vardır.
  Örnek: Bir sayı 5'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 3 kalanı veriyorsa, bu sayının 5'e tam bölünmesi için 3, 6'ya tam bölünmesi için 3 eksiktir. Bu durumda sayı EKOK(5,6) - 3 olabilir.

7. Yeni Tanımlı Sayı Türleri ve Problem Çözme Yaklaşımı 🤔

• Bazı sorularda "bereketli sayı", "tau sayısı" gibi yeni tanımlar verilir. Bu tür sorularda:
  • Tanımı çok dikkatli okuyun ve ne anlama geldiğini tam olarak kavrayın.
  • Verilen örnekleri inceleyerek tanımı pekiştirin.
  • Soruda istenen sayılar için bu tanımı adım adım uygulayın.

💡 İpuçları ve Stratejiler:

• Anahtar Kelimeleri Yakala: "En az", "en çok", "birlikte", "eşit parçalar", "kare oluşturma" gibi kelimeler EBOB veya EKOK'u işaret eder.
• Sayıları Tanı: Asal sayıları, 3'ün katlarını, 5'in katlarını hızlıca tanımak zaman kazandırır.
• Deneme Yap: Özellikle aralarında asal sorularında veya belirli şartları sağlayan sayıları bulurken küçük sayılardan başlayarak deneme yapmak faydalı olabilir.
• Sistemli Ol: Asal çarpanlara ayırma, EBOB/EKOK bulma gibi işlemleri yaparken düzenli bir yol izle (örneğin, bölen listesi kullan).
• Büyük Sayılarla Çalışırken: Eğer sayılar büyükse, asal çarpanlara ayırma yöntemi her zaman en güvenilir yoldur.
• Problemi Görselleştir: Özellikle EBOB/EKOK problemlerinde (karo döşeme, kurdele kesme vb.) durumu zihninde canlandırmak veya basit bir çizim yapmak çözüm yolunu bulmana yardımcı olabilir.
• Kalanlı Bölme Problemlerinde: Kalanları veya eksik kalanları dikkatlice incele. Bazen EKOK'a bir sayı eklemen (kalan) bazen de çıkarman (eksik kalan) gerekebilir.
• Zaman Yönetimi: Karmaşık sorularda (şifreleme, oyun vb.) adımları dikkatlice takip et ve her bir adımı doğru uyguladığından emin ol.

Bu notlar, Çarpanlar ve Katlar ünitesindeki başarı için sağlam bir temel oluşturacaktır. Bol bol pratik yapmayı ve farklı soru tipleriyle karşılaşmayı unutma! Başarılar dilerim! 🚀