🎓 8. sınıf Çarpanlar ve Katlar Karma Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf "Çarpanlar ve Katlar" ünitesindeki temel kavramları, asal sayıları, aralarında asal sayıları, En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) konularını kapsamaktadır. Bu konular, matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirmek ve problem çözme yeteneğinizi artırmak için oldukça önemlidir. Sınavlara hazırlanırken bu notları tekrar ederek eksiklerinizi giderebilir ve konuları pekiştirebilirsiniz. Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözümü başarının anahtarıdır! 🚀

1. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar 🌟

• Asal Sayı Nedir? Kendisinden ve 1'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
• Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
• ⚠️ Dikkat:
  • 1 asal sayı değildir. Asal sayılar 2'den başlar.
  • 2, en küçük ve tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bu işlem genellikle "asal çarpan algoritması" (bölen listesi) veya "çarpan ağacı" yöntemleriyle yapılır.
• Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
  60 | 2
  30 | 2
  15 | 3
  5 | 5
  1 |
  Yani, $60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$ dir.
• 💡 İpucu: Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK bulma işlemlerinin temelidir.

2. Aralarında Asal Sayılar 🤝

• Aralarında Asal Sayı Nedir? 1'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir.
• Örnekler:
  • 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir. (8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8; 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15)
  • 16 ve 27 sayıları aralarında asaldır.
  • 18 ve 25 sayıları aralarında asaldır.
• Önemli Özellikler:
  • Ardışık iki pozitif tam sayı daima aralarında asaldır. (Örnek: 7 ve 8)
  • Ardışık iki tek tam sayı daima aralarında asaldır. (Örnek: 15 ve 17)
  • 1 ile her pozitif tam sayı aralarında asaldır.
  • İki asal sayı daima aralarında asaldır. (Örnek: 3 ve 5)
  • İki sayının aralarında asal olması için kendilerinin asal olması gerekmez. (Örnek: 4 ve 9)
• EBOB ve EKOK ile İlişkisi:
  • Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. (EBOB(A, B) = 1)
  • Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. (EKOK(A, B) = A x B)
• ⚠️ Dikkat: Ardışık iki çift tam sayı aralarında asal değildir, çünkü en az 2 ortak bölenleri vardır. (Örnek: 4 ve 6'nın ortak bölenleri 1 ve 2'dir.)

3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🔍

• EBOB Nedir? İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyük olana En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir.
• Hesaplama Yöntemi: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini çarparız.
• Örnek: EBOB(28, 63)
  • $28 = 2^2 \times 7^1$
  • $63 = 3^2 \times 7^1$
  • Ortak asal çarpan sadece 7'dir ve en küçük üssü $7^1$'dir.
  • EBOB(28, 63) = 7
• Problem Tipleri (EBOB Nerelerde Kullanılır?):
  • Büyük parçalardan eşit ve daha küçük parçalar elde etme (tel kesme, kumaş bölme).
  • Alanları veya hacimleri verilen cisimleri eşit büyüklükte kare veya küp şeklindeki parçalara ayırma.
  • Farklı uzunluktaki çubukları eşit uzunlukta parçalara ayırma.
  • Bir grup insanı eşit sayıda gruplara ayırma.
  • Günlük hayattan örnek: İki farklı uzunluktaki teli (28 cm ve 63 cm) eşit ve en büyük parçalara ayırmak için EBOB kullanılır.
• 💡 İpucu: EBOB problemlerinde genellikle "en büyük", "en uzun", "eşit parçalara ayırma", "bölme" gibi anahtar kelimeler bulunur.

4. En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

• EKOK Nedir? İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasında en küçük olana En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.
• Hesaplama Yöntemi: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak, tüm asal çarpanların en büyük üslülerini çarparız.
• Örnek: EKOK(60, 90)
  • $60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
  • $90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
  • Tüm asal çarpanlar: 2, 3, 5. En büyük üslüleri: $2^2$, $3^2$, $5^1$.
  • EKOK(60, 90) = $2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180$
• Problem Tipleri (EKOK Nerelerde Kullanılır?):
  • Farklı zaman aralıklarında gerçekleşen olayların ne zaman tekrar birlikte olacağını bulma (zillerin çalması, otobüs seferleri, koşucuların karşılaşması).
  • Küçük parçalardan daha büyük bir bütün oluşturma (kare fayanslarla dikdörtgen zemin kaplama).
  • Belli bir sayıya bölündüğünde aynı kalanı veren en küçük sayıyı bulma.
  • Günlük hayattan örnek: Biri 30 dakikada, diğeri 45 dakikada bir çalan iki zil, ilk kez birlikte çaldıktan sonra ikinci kez ne zaman birlikte çalacaklarını bulmak için EKOK kullanılır.
• 💡 İpucu: EKOK problemlerinde genellikle "en küçük", "en az", "ilk kez tekrar", "birlikte", "birleşme" gibi anahtar kelimeler bulunur.

5. EBOB ve EKOK İlişkisi 🔗

• İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.

  $A \times B = EBOB(A, B) \times EKOK(A, B)$

• Bu formül, özellikle aralarında asal sayılar için çok önemlidir. Eğer A ve B aralarında asal ise, EBOB(A, B) = 1 olduğundan, $A \times B = 1 \times EKOK(A, B)$ yani $A \times B = EKOK(A, B)$ olur.
• Örnek: Aralarında asal iki sayının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı 49 ise, sayılar A ve B olsun.
  • EBOB(A, B) = 1 (çünkü aralarında asallar)
  • EKOK(A, B) = A x B
  • $1 + (A \times B) = 49$
  • $A \times B = 48$
  • Şimdi çarpımları 48 olan ve aralarında asal olan sayı çiftlerini bulmalıyız: (1, 48), (3, 16).
  • Bu sayı çiftlerinin toplamları ise: $1+48=49$ veya $3+16=19$ olabilir.
• ⚠️ Dikkat: Bu ilişki sadece iki sayı için geçerlidir, üç veya daha fazla sayı için geçerli değildir.

Bu ders notları, "Çarpanlar ve Katlar" konusundaki temel bilgileri ve problem çözme stratejilerini özetlemektedir. Konuları anlamak ve pekiştirmek için bolca pratik yapmayı unutmayın! Başarılar dileriz! 🎯