🎓 8. sınıf Aralarında Asal Doğal Sayılar Test 2 - Ders Notu ve İpuçları
Bu ders notu, "Aralarında Asal Doğal Sayılar" konusundaki bilgilerinizi pekiştirmeniz ve bu konuyu içeren sınavlarda başarılı olmanız için hazırlandı. Testteki soruları analiz ederek, konunun temel kavramlarını, özelliklerini ve problem çözme stratejilerini sizler için derledik. Hadi başlayalım! 🚀
1. Aralarında Asal Doğal Sayılar Nedir? 🤔
- İki doğal sayının 1'den başka ortak pozitif tam böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
- Örnek: 8 ve 15 sayılarını inceleyelim.
- 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
- 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
- ⚠️ Dikkat: Aralarında asal olmak için sayıların kendilerinin asal olması gerekmez! (Örnek: 8 ve 15 asal sayı değillerdir ama aralarında asaldırlar.)
2. Aralarında Asallığın Temel Özellikleri ve İpuçları 💡
- EBOB ve EKOK İlişkisi:
- Aralarında asal iki sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) her zaman 1'dir. Yani, EBOB(a, b) = 1.
- Aralarında asal iki sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK) ise bu sayıların çarpımına eşittir. Yani, EKOK(a, b) = a $\cdot$ b.
- Örnek: 9 ve 25 aralarında asaldır. EBOB(9, 25) = 1 ve EKOK(9, 25) = 9 $\cdot$ 25 = 225'tir.
- 1 Sayısı: 1 sayısı, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır. (Örnek: 1 ile 7, 1 ile 100 aralarında asaldır.)
- Ardışık Sayılar: Ardışık iki doğal sayı (örneğin 5 ve 6, 12 ve 13) her zaman aralarında asaldır.
- Ardışık Tek Sayılar: Ardışık iki tek doğal sayı da (örneğin 7 ve 9, 11 ve 13) her zaman aralarında asaldır.
- ⚠️ Dikkat: Ardışık iki çift sayı (örneğin 4 ve 6, 10 ve 12) asla aralarında asal olamaz. Çünkü en az 2 ortak bölenleri vardır.
3. Aralarında Asallığı Belirleme Yöntemleri 🕵️♀️
- Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Bu yöntem, büyük sayılarla çalışırken veya sayıların ortak bölenlerini bulmakta zorlandığında çok işe yarar.
- Sayıları asal çarpanlarına ayır.
- Eğer iki sayının asal çarpanları arasında hiçbir ortak asal çarpan yoksa, bu sayılar aralarında asaldır.
- Örnek: A = $2^4 \cdot 3^2$ ve B = $5^1 \cdot 7^3$. A'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. B'nin asal çarpanları 5 ve 7'dir. Ortak asal çarpanları olmadığı için A ve B aralarında asaldır.
- 💡 İpucu: Eğer iki sayının asal çarpanları arasında ortak bir asal çarpan varsa (örneğin ikisinde de 2 veya 3 asal çarpanı varsa), bu sayılar aralarında asal değildir.
4. Aralarında Asal Sayılar ve Kesirler 📏
- Bir kesri en sade haline getirdiğimizde, pay ve payda her zaman aralarında asal olur.
- Örnek: $\frac{24}{54}$ kesrini sadeleştirelim. Her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 6'ya bölersek: $\frac{24 \div 6}{54 \div 6} = \frac{4}{9}$. Şimdi 4 ve 9 sayıları aralarında asaldır.
- 💡 İpucu: Sorularda $(x-2)$ ve $(y+1)$ gibi ifadelerin aralarında asal olduğu belirtiliyorsa ve $\frac{x-2}{y+1} = \frac{A}{B}$ şeklinde bir eşitlik varsa, $\frac{A}{B}$ kesrini en sade haline getirerek $(x-2)$ ve $(y+1)$ değerlerini bulabilirsin.
5. Problem Çözme Stratejileri ve Kritik Noktalar 🎯
- Koşulları İyi Anla: Sorularda verilen "en az", "en çok", "iki basamaklı", "belirli bir aralıkta", "rakam" gibi kısıtlamaları çok dikkatli oku ve not al. Bu kısıtlamalar, doğru cevaba ulaşmanın anahtarıdır.
- Deneme-Yanılma ve Eleme: Özellikle küçük sayılarla veya belirli bir aralıktaki sayılarla çalışırken, aralarında asal olmayanları eleyerek doğru cevaba daha hızlı ulaşabilirsin.
- Rakamlar ve Sayılar Arasındaki Fark: "6M" gibi bir ifade hem "6 ile M rakamı" arasındaki ilişkiyi hem de "6M iki basamaklı sayısını" ifade edebilir. Sorunun bağlamına göre doğru yorumu yapmalısın.
- Toplamın En Az/En Çok Olması:
- Çarpımları sabit olan aralarında asal iki sayının toplamının en büyük olması için, sayıların birbirine en uzak (farklarının en büyük) olması gerekir.
- Çarpımları sabit olan aralarında asal iki sayının toplamının en küçük olması için, sayıların birbirine en yakın (farklarının en küçük) olması gerekir.
- Örnek: Çarpımı 72 olan aralarında asal sayı çiftleri (1, 72), (8, 9) olabilir. Toplamları sırasıyla 73 ve 17'dir. En büyük toplam 73, en küçük toplam 17'dir.
- Belirli Bir Sayıyla Aralarında Asal Olanları Bulma: Bir sayı ile aralarında asal olan başka sayıları bulurken, o sayının asal çarpanlarını içeren diğer sayıları elemelisin.
- Örnek: 19 ile aralarında asal iki basamaklı sayıları bulmak için, iki basamaklı sayılar arasından 19'un katlarını (19, 38, 57, 76, 95) çıkarmalısın.
- Değişkenli İfadelerle Çalışma: $(ab)$ iki basamaklı sayısı ile $(ab+4)$ sayısının aralarında asal olması gibi durumlarda, ardışık sayıların özelliklerini veya EBOB özelliğini kullanabilirsin. Örneğin, EBOB$(ab, ab+4)$ her zaman EBOB$(ab, 4)$'e eşittir. Bu durumda, $ab$ sayısı 2'ye bölünebiliyorsa (yani çift ise) EBOB 2 veya 4 olabilir. Eğer $ab$ tek ise, EBOB 1 olur ve aralarında asal olurlar.
Bu ders notları, aralarında asal sayılar konusundaki bilgilerinizi tazelemek ve farklı soru tiplerine karşı hazırlıklı olmak için harika bir başlangıç noktasıdır. Bol pratik yaparak konuyu daha da pekiştirebilirsin. Başarılar dilerim! ✨