🎓 8. sınıf Aralarında Asal Doğal Sayılar Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, "Aralarında Asal Doğal Sayılar" konusunu derinlemesine anlamana yardımcı olacak temel bilgileri, önemli özellikleri ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsar. Testteki soruları çözerken veya sınava hazırlanırken bu notları bir rehber olarak kullanabilirsin. Konuyu iyi kavramak, matematiksel düşünme becerilerini geliştirmene ve daha karmaşık problemlere yaklaşımını güçlendirmene olanak tanır. Hadi başlayalım! 🚀

✨ Aralarında Asal Sayılar Nedir?

• İki veya daha fazla doğal sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
• Unutma, sayıların kendilerinin asal olması şart değildir! Örneğin, 8 ve 9 sayıları asal değildir ama aralarında asaldır çünkü 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
• Bir sayının asal çarpanlarını bulmak, aralarında asal olup olmadığını anlamanın en kolay yollarından biridir. Eğer iki sayının asal çarpanları arasında hiçbir ortak eleman yoksa, o sayılar aralarında asaldır.

🔍 Aralarında Asal Olup Olmadığını Nasıl Anlarız?

İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için birkaç yöntem kullanabiliriz:

• Ortak Bölenleri Bulma Yöntemi:
  • İki sayının tüm pozitif bölenlerini listeleyebilirsin.
  • Eğer listede 1 dışında ortak bir bölen yoksa, sayılar aralarında asaldır.
  • Örnek: 10 ve 21
    • 10'un bölenleri: 1, 2, 5, 10
    • 21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21
    • Ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 10 ve 21 aralarında asaldır.
• Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
  • Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayır.
  • Eğer asal çarpan listelerinde ortak bir asal sayı yoksa, sayılar aralarında asaldır.
  • Örnek: 12 ve 35
    • 12 = 2² x 3
    • 35 = 5 x 7
    • Ortak asal çarpanları yoktur. Bu yüzden 12 ve 35 aralarında asaldır.
• En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Yöntemi:
  • İki sayının EBOB'unu bul.
  • Eğer EBOB(a, b) = 1 ise, a ve b sayıları aralarında asaldır.
  • Örnek: EBOB(15, 28) = 1 olduğu için 15 ve 28 aralarında asaldır.

🌟 Aralarında Asal Sayıların Önemli Özellikleri

• 1 sayısı, tüm doğal sayılarla aralarında asaldır. Çünkü 1'in tek pozitif böleni 1'dir.
  • Örnek: 1 ile 30 aralarında asaldır.
• Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır. Çünkü asal sayıların 1 ve kendisinden başka böleni yoktur.
  • Örnek: 7 ve 11 aralarında asaldır.
• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
  • Örnek: 15 ve 16 aralarında asaldır.
• Ardışık iki tek sayı her zaman aralarında asaldır.
  • Örnek: 23 ve 25 aralarında asaldır.
• Ardışık iki çift sayı asla aralarında asal değildir. Çünkü her ikisi de 2'ye bölünür, yani ortak bölenleri en az 2'dir.
  • Örnek: 12 ve 14 aralarında asal değildir.
• Eğer iki sayı aralarında asalsa, bu sayıların toplamı ve çarpımı ile ilgili özel durumlar ortaya çıkabilir.
• Eğer $a$ ve $b$ aralarında asal ise, $a$ ile $a+b$ de aralarında asaldır. Benzer şekilde, $a$ ile $b$ aralarında asal ise, $a$ ile $b-a$ da aralarında asaldır. Genel olarak, $EBOB(a, b) = EBOB(a, b-a) = EBOB(a, b+a)$.
  • Örnek: 5 ve 8 aralarında asaldır. $EBOB(5, 8) = 1$. O zaman $EBOB(5, 8-5) = EBOB(5, 3) = 1$. Aynı zamanda $EBOB(5, 8+5) = EBOB(5, 13) = 1$.
  • Bu özellik, $a$ ve $a+3$ gibi sayıların aralarında asal olup olmadığını anlamak için kullanılabilir. $EBOB(a, a+3) = EBOB(a, 3)$ olur. Yani $a$ ve $a+3$ sayılarının aralarında asal olması için $a$ sayısının 3'ün katı olmaması gerekir.

💡 İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ⚠️ Asal Sayı ile Aralarında Asal Sayıyı Karıştırma: Asal sayı, sadece 1 ve kendisine bölünen sayıdır (2, 3, 5, 7...). Aralarında asal sayılar ise, iki sayının ortak böleninin sadece 1 olması durumudur. Birbirinden farklı kavramlardır!
• 💡 Büyük Sayılarda Asal Çarpanlara Ayırma: Eğer sayılar büyükse, ortak bölenleri tek tek bulmak yerine asal çarpanlarına ayırmak daha hızlı ve güvenilir bir yöntemdir.
• ⚠️ Sayıların Hepsi Asal Olmak Zorunda Değil: Örneğin, 4 ve 9 aralarında asaldır, ancak ikisi de asal sayı değildir. (4 = 2x2, 9 = 3x3. Ortak asal çarpan yok.)
• 💡 Rasyonel Sayılarda Sadeleştirme: Bir kesri en sade haline getirdiğinde, pay ve payda her zaman aralarında asal sayılar olur. Örneğin, $\frac{30}{42}$ kesrini sadeleştirdiğinde $\frac{5}{7}$ elde edersin. Burada 5 ve 7 aralarında asaldır. Bu, EBOB'u kullanarak sadeleştirme yapmanın bir sonucudur.
• 💡 Problem Çözme Stratejisi:
  • Soruyu dikkatlice oku ve ne istendiğini anla.
  • Verilen sayıların asal çarpanlarını veya bölenlerini bul.
  • Şıklardaki sayıları tek tek kontrol et.
  • Bazen "olamaz" veya "yanlıştır" gibi olumsuz ifadeler kullanılır, bu tür kelimelere dikkat et.
  • Değer verme sorularında (örneğin 'a' harfi içeren iki basamaklı sayılar), 'a' yerine gelebilecek rakamları deneyerek veya eleyerek sonuca ulaşabilirsin.
• ⚠️ Sıfır ve Dokuz Rakamları: Bazı sorularda (özellikle şifreleme gibi günlük hayat senaryolarında) 0 ve 9 rakamlarının kullanımına özel kısıtlamalar getirilebilir. Bu detayları gözden kaçırma!

🎯 Örneklerle Pekiştirme

• Örnek 1: 18 ile hangi sayı aralarında asaldır?
  • 18'in asal çarpanları: 2, 3.
  • Şıklardaki sayıların 2 veya 3 asal çarpanına sahip olmaması gerekir.
  • A) 15 (3'e bölünür) - Aralarında asal değil.
  • B) 21 (3'e bölünür) - Aralarında asal değil.
  • C) 30 (2 ve 3'e bölünür) - Aralarında asal değil.
  • D) 35 (5 ve 7'ye bölünür) - 18 ile ortak asal çarpanı yok. Aralarında asaldır.
• Örnek 2: Toplamları 18 olan aralarında asal iki doğal sayının çarpımı hangisi olamaz?
  • Toplamları 18 olan sayı çiftlerini ve aralarında asal olup olmadıklarını kontrol edelim:
    • (1, 17) → Aralarında asal. Çarpım: 1 x 17 = 17
    • (2, 16) → Ortak bölen 2. Aralarında asal değil.
    • (3, 15) → Ortak bölen 3. Aralarında asal değil.
    • (4, 14) → Ortak bölen 2. Aralarında asal değil.
    • (5, 13) → Aralarında asal. Çarpım: 5 x 13 = 65
    • (6, 12) → Ortak bölen 6. Aralarında asal değil.
    • (7, 11) → Aralarında asal. Çarpım: 7 x 11 = 77
    • (8, 10) → Ortak bölen 2. Aralarında asal değil.
  • Görüldüğü gibi, 17, 65, 77 çarpımları mümkün. Şıklarda 45 varsa, bu çarpım olamaz.

Bu ders notları, aralarında asal sayılar konusundaki temel bilgileri ve problem çözme yaklaşımlarını güçlendirmene yardımcı olacaktır. Bol pratik yaparak konuyu tam anlamıyla kavrayabilirsin. Başarılar dilerim! 💪