🎓 8. Sınıf Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Sevgili 8. sınıf öğrencileri, bu ders notu "Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları" ünitesini pekiştirmeniz için hazırlandı. Bu test, asal sayılar, bir sayının çarpanları ve bölenleri, asal çarpanlara ayırma yöntemleri, asal çarpanları bulma ve bu kavramları kullanarak problem çözme becerilerinizi ölçmektedir. Sınav öncesi son tekrarınızı yaparken bu notlardan faydalanabilirsiniz.

Pozitif Tam Sayı Çarpanları ve Bölenleri

• Bir sayıyı kalansız olarak bölen her pozitif tam sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir.
• Her pozitif tam sayının en küçük pozitif çarpanı 1, en büyük pozitif çarpanı ise kendisidir.
• Örneğin, 12 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.

Asal Sayılar

• 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
• En küçük asal sayı 2'dir ve 2, tek çift asal sayıdır.
• İlk birkaç asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

⚠️ Dikkat: 1 asal sayı değildir!

Asal Çarpanlara Ayırma

• Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.
• Bunu yapmanın iki temel yolu vardır:
• Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayıyı dallara ayırarak en altta sadece asal sayılar kalana kadar devam edilir.
• Bölme Algoritması (Asal Çarpanlar Listesi) Yöntemi: Sayı en küçük asal sayıdan başlanarak sırayla asal sayılara bölünür, bölümlerin yanına yazılır ve en sonunda 1 elde edilene kadar devam edilir. Sağ tarafta kalan asal sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
• Örneğin, 60 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali: 2² . 3¹ . 5¹'dir.

Bir Sayının Asal Çarpanları

• Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış şeklinde taban olarak bulunan sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
• Örneğin, 60 = 2² . 3¹ . 5¹ olduğundan, 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Çarpanlarının Sayısı

• Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış hali A = a^x . b^y . c^z ... şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir: (x+1) . (y+1) . (z+1) ...
• Örneğin, 60 = 2² . 3¹ . 5¹ olduğundan, 60 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı (2+1) . (1+1) . (1+1) = 3 . 2 . 2 = 12'dir.

Ortak Çarpanlar (Ortak Bölenler)

• İki veya daha fazla sayının ortak olan çarpanlarına ortak çarpanlar (ortak bölenler) denir.
• Ortak çarpanları bulmak için her sayının çarpanları ayrı ayrı bulunup, ortak olanlar belirlenebilir. Veya sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) bulunup, EBOB'un çarpanları listelenerek de ortak çarpanlar bulunabilir.

Çarpanlar ve Asal Sayılarla İlgili Problem Çözme İpuçları

• "En küçük" veya "en büyük" değer sorulduğunda, asal çarpanları seçerken veya üslerini belirlerken dikkatli olun. Küçük sayılar için küçük asal çarpanları, büyük sayılar için büyük asal çarpanları veya üsleri kullanmak genellikle doğru sonuca götürür.
• Bir sayının çarpanı olup olmadığını anlamak için, o sayıyı verilen sayıya bölmeyi deneyin. Eğer kalansız bölünüyorsa çarpanıdır.
• Verilen bir sayının asal çarpanları belli ise, o sayı sadece bu asal çarpanların ve onların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Başka bir asal çarpan içeremez.
• Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış hali verildiğinde, o sayının çarpanları, asal çarpanların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde oluşur ve bu kuvvetler orijinal sayının kuvvetlerinden büyük olamaz.
• Rakamlar ve Sayılar: Asal rakamlar (2, 3, 5, 7) ile asal sayılar (sonsuz tane) arasındaki farka dikkat edin.

💡 İpucu: Bir sayının asal çarpanlarını bulurken, en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemine devam etmek, hata yapma olasılığını azaltır.

⚠️ Dikkat: "Asal çarpanlar" ile "tüm çarpanlar" kavramlarını karıştırmayın. Asal çarpanlar sadece asal olanlardır, tüm çarpanlar ise 1 ve sayının kendisi dahil, sayıyı bölen tüm pozitif tam sayılardır.

💡 İpucu: Problemde "en az" veya "en çok" gibi ifadeler varsa, asal çarpanları ve üsleri seçerken bu koşulu sağlayacak şekilde stratejik düşünün.

⚠️ Dikkat: Bir sayının asal çarpanları arasında 2 ve 3 varsa, bu sayı hem 2'ye hem de 3'e (dolayısıyla 6'ya) tam bölünür. Bölünebilme kurallarını hatırlamak, bazı sorularda size zaman kazandırabilir.