🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıda verilen üslü ifadenin değerini hesaplayınız:
\[ A = 2^{-3} + 5^0 - (-1)^{100} \]
Buna göre, \( A \) değerinin kaç olduğunu bulunuz. 💡
\[ A = 2^{-3} + 5^0 - (-1)^{100} \]
Buna göre, \( A \) değerinin kaç olduğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Adım adım üslü ifadelerin değerlerini hesaplayalım:
\[ A = \frac{1}{8} + 1 - 1 \]
Buradan, \( 1 - 1 = 0 \) olacağından dolayı:
\[ A = \frac{1}{8} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{1}{8} \) olarak bulunur.
- Negatif Üs Kuralı: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) kuralına göre, \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) olur.
- Sıfırıncı Üs Kuralı: Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Yani, \( 5^0 = 1 \) olur.
- Negatif Sayıların Çift Kuvveti: Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir. 100 çift sayı olduğu için, \( (-1)^{100} = 1 \) olur.
\[ A = \frac{1}{8} + 1 - 1 \]
Buradan, \( 1 - 1 = 0 \) olacağından dolayı:
\[ A = \frac{1}{8} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{1}{8} \) olarak bulunur.
Örnek 2:
👉 Aşağıda verilen üslü işlemin sonucunu en sade biçimde bulunuz:
\[ \frac{27^4 \cdot 9^2}{3^{13}} \]
💡 İpucu: Tüm tabanları ortak bir tabanda (3 tabanında) yazarak işlem kolaylığı sağlayabilirsiniz.
\[ \frac{27^4 \cdot 9^2}{3^{13}} \]
💡 İpucu: Tüm tabanları ortak bir tabanda (3 tabanında) yazarak işlem kolaylığı sağlayabilirsiniz.
Çözüm:
İşlemdeki tüm sayıları 3'ün kuvveti şeklinde yazarak çözüme başlayalım:
\[ \frac{3^{12} \cdot 3^4}{3^{13}} \]
\[ 3^3 = 27 \]
✅ Doğru Cevap: \( 27 \) olarak bulunur.
- \( 27 = 3^3 \) olduğundan, \( 27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12} \) olur.
- \( 9 = 3^2 \) olduğundan, \( 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 \) olur.
\[ \frac{3^{12} \cdot 3^4}{3^{13}} \]
- Çarpma İşlemi Kuralı: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır. Pay kısmı: \( 3^{12} \cdot 3^4 = 3^{12+4} = 3^{16} \) olur.
- Bölme İşlemi Kuralı: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( \frac{3^{16}}{3^{13}} = 3^{16-13} = 3^3 \) olur.
\[ 3^3 = 27 \]
✅ Doğru Cevap: \( 27 \) olarak bulunur.
Örnek 3:
👉 \( x \) bir gerçek sayı olmak üzere, aşağıdaki üslü denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ 5^{2x - 4} = 125^{x - 3} \]
📌 Kural: Tabanlar eşitlendiğinde üsler de birbirine eşit olmalıdır.
\[ 5^{2x - 4} = 125^{x - 3} \]
📌 Kural: Tabanlar eşitlendiğinde üsler de birbirine eşit olmalıdır.
Çözüm:
Denklemin sağ tarafındaki 125 sayısını 5 tabanında yazarak tabanları eşitleyelim:
\[ 5^{2x - 4} = 5^{3x - 9} \]
Tabanlar eşit (her iki taraf da 5) olduğuna göre, üsleri birbirine eşitleyebiliriz:
\[ 2x - 4 = 3x - 9 \]
Denklemi çözelim:
\[ x = 5 \]
✅ Doğru Cevap: \( x = 5 \) olarak bulunur.
- \( 125 = 5^3 \) olduğunu biliyoruz.
- Bu durumda sağ taraf: \( 125^{x - 3} = (5^3)^{x - 3} = 5^{3x - 9} \) olur.
\[ 5^{2x - 4} = 5^{3x - 9} \]
Tabanlar eşit (her iki taraf da 5) olduğuna göre, üsleri birbirine eşitleyebiliriz:
\[ 2x - 4 = 3x - 9 \]
Denklemi çözelim:
- \( 2x \) ifadesini sağ tarafa eksi olarak geçirelim: \( 3x - 2x = x \)
- \( -9 \) ifadesini sol tarafa artı olarak geçirelim: \( -4 + 9 = 5 \)
\[ x = 5 \]
✅ Doğru Cevap: \( x = 5 \) olarak bulunur.
Örnek 4:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak bulunuz:
\[ \frac{2^{x+3} + 2^{x+1}}{2^{x-1}} \]
💡 İpucu: Pay kısmındaki ifadeleri en küçük üs olan \( 2^{x+1} \) parantezine almayı deneyiniz.
\[ \frac{2^{x+3} + 2^{x+1}}{2^{x-1}} \]
💡 İpucu: Pay kısmındaki ifadeleri en küçük üs olan \( 2^{x+1} \) parantezine almayı deneyiniz.
Çözüm:
Pay kısmındaki ifadeleri üslü sayıların özelliklerini kullanarak ayıralım ve ortak paranteze alalım:
\[ 2^{x+3} + 2^{x+1} = 2^{x+1} \cdot (4 + 1) = 2^{x+1} \cdot 5 \]
İfadeyi tekrar yazalım:
\[ \frac{2^{x+1} \cdot 5}{2^{x-1}} \]
Burada tabanları aynı olan \( 2^{x+1} \) ve \( 2^{x-1} \) ifadelerini bölelim (üsleri çıkaralım):
\[ \frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} = 2^{(x+1) - (x-1)} = 2^{x + 1 - x + 1} = 2^2 = 4 \]
Son olarak kalan sayıları çarpalım:
\[ 4 \cdot 5 = 20 \]
✅ Doğru Cevap: \( 20 \) olarak bulunur.
- \( 2^{x+3} = 2^{x+1} \cdot 2^2 = 2^{x+1} \cdot 4 \)
- \( 2^{x+1} = 2^{x+1} \cdot 1 \)
\[ 2^{x+3} + 2^{x+1} = 2^{x+1} \cdot (4 + 1) = 2^{x+1} \cdot 5 \]
İfadeyi tekrar yazalım:
\[ \frac{2^{x+1} \cdot 5}{2^{x-1}} \]
Burada tabanları aynı olan \( 2^{x+1} \) ve \( 2^{x-1} \) ifadelerini bölelim (üsleri çıkaralım):
\[ \frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} = 2^{(x+1) - (x-1)} = 2^{x + 1 - x + 1} = 2^2 = 4 \]
Son olarak kalan sayıları çarpalım:
\[ 4 \cdot 5 = 20 \]
✅ Doğru Cevap: \( 20 \) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-uslu-sayilar-test-sayfasi-cozumlu/sorular