🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerini bulunuz:
a) \( (-3)^2 \)
b) \( -2^4 \)
c) \( (\frac{1}{5})^{-2} \)
d) \( (-1)^ {2023} \)
e) \( 10^0 \)
a) \( (-3)^2 \)
b) \( -2^4 \)
c) \( (\frac{1}{5})^{-2} \)
d) \( (-1)^ {2023} \)
e) \( 10^0 \)
Çözüm:
👉 Üslü ifadelerde işaret ve taban kurallarına dikkat edelim!
- a) \( (-3)^2 \): Taban negatif olsa bile, üs çift sayı olduğu için sonuç pozitiftir.
\( (-3) \times (-3) = 9 \) ✅ - b) \( -2^4 \): Burada üs sadece 2'yi etkiler, eksi işareti dışarıdadır.
\( -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 \) ✅ - c) \( (\frac{1}{5})^{-2} \): Üs negatif olduğunda tabanı ters çeviririz ve üs pozitif olur.
\( (\frac{1}{5})^{-2} = (5)^2 = 5 \times 5 = 25 \) ✅ - d) \( (-1)^ {2023} \): Taban -1 olduğunda, üs tek sayı ise sonuç -1, çift sayı ise +1 olur. 2023 tek sayı olduğu için sonuç -1'dir.
\( (-1)^ {2023} = -1 \) ✅ - e) \( 10^0 \): Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti 1'e eşittir.
\( 10^0 = 1 \) ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4} \]
\[ \frac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4} \]
Çözüm:
📌 Üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde tabanlar aynıysa üsler toplanır veya çıkarılır.
- Öncelikle pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı (3) olduğu için üsleri toplarız:
\( 3^5 \times 3^{-2} = 3^{5 + (-2)} = 3^{5-2} = 3^3 \) - Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
\[ \frac{3^3}{3^4} \] - Paydadaki üslü ifadeyi paya çıkarırken üssün işaretini değiştiririz veya bölme işleminde üsleri çıkarırız:
\( 3^3 \div 3^4 = 3^{3-4} = 3^{-1} \) - Negatif üssü pozitif yapmak için sayıyı ters çeviririz:
\( 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \) ✅
Örnek 3:
İfadesinin eşitini bulunuz:
\[ ((-2)^3)^2 \times (-2)^5 \]
\[ ((-2)^3)^2 \times (-2)^5 \]
Çözüm:
💡 Üslü ifadelerde işlem sırasına ve işaretlere dikkat edelim!
- Önce parantez içindeki kuvvetin kuvvetini alalım: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) kuralını uygulayalım.
\( ((-2)^3)^2 = (-2)^{3 \times 2} = (-2)^6 \) - Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
\( (-2)^6 \times (-2)^5 \) - Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( (-2)^6 \times (-2)^5 = (-2)^{6+5} = (-2)^{11} \) - Taban negatif ve üs tek sayı olduğu için sonuç negatiftir.
\( (-2)^{11} = -(2^{11}) = -2048 \) ✅
Örnek 4:
\( 2^{x-1} = 8 \) olduğuna göre, \( 4^{x+1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
📌 Denklemlerde tabanları eşitlemeye çalışalım.
- İlk verilen denklemde 8'i 2'nin kuvveti olarak yazalım:
\( 8 = 2^3 \) - Denklemi yeniden düzenleyelim:
\( 2^{x-1} = 2^3 \) - Tabanlar eşitse üsler de eşit olmalıdır:
\( x-1 = 3 \)
\( x = 3+1 \)
\( x = 4 \) - Şimdi bizden istenen ifadeyi hesaplayalım: \( 4^{x+1} \).
Bulduğumuz \( x=4 \) değerini yerine koyalım:
\( 4^{4+1} = 4^5 \) - \( 4^5 \) değerini hesaplayalım:
\( 4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024 \) ✅
Örnek 5:
\( 2^a = x \) ve \( 3^a = y \) olduğuna göre, \( 72^a \) ifadesinin x ve y cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm:
👉 Sayıyı asal çarpanlarına ayırarak üslü ifade olarak yazalım.
- Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\( 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \) - Şimdi \( 72^a \) ifadesini bu çarpanlar cinsinden yazalım:
\( 72^a = (2^3 \times 3^2)^a \) - Üslü ifadelerin özelliklerinden \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) ve \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) kurallarını uygulayalım:
\( (2^3 \times 3^2)^a = (2^3)^a \times (3^2)^a = 2^{3a} \times 3^{2a} \) - Yine kuvvetin kuvveti kuralını tersten düşünelim: \( 2^{3a} = (2^a)^3 \) ve \( 3^{2a} = (3^a)^2 \)
- Şimdi verilen \( 2^a = x \) ve \( 3^a = y \) eşitliklerini yerine yazalım:
\( (2^a)^3 \times (3^a)^2 = x^3 \times y^2 \) ✅
Örnek 6:
Bir bakteri türünün sayısı her 20 dakikada bir 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri bulunan bir ortamda 2 saat sonunda kaç bakteri olur?
Çözüm:
💡 Bu tür sorular üslü sayıların günlük hayattaki kullanımına güzel bir örnektir.
- Öncelikle toplam süreyi, bakterinin çoğalma periyoduna bölelim. Toplam süre 2 saat, çoğalma periyodu 20 dakika.
1 saat = 60 dakika olduğu için, 2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika. - Bakteri kaç defa iki katına çıkacak?
\( 120 \text{ dakika} \div 20 \text{ dakika/periyot} = 6 \text{ periyot} \) - Her periyotta bakteri sayısı 2 katına çıktığına göre, 6 periyot sonunda bakteri sayısı \( 2^6 \) katına çıkacaktır.
- \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \) kat.
- Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 2 saat sonunda toplam bakteri sayısı:
\( 100 \times 64 = 6400 \) bakteri olacaktır. ✅
Örnek 7:
Dünya'dan Mars'a olan ortalama uzaklık yaklaşık \( 2,25 \times 10^8 \) kilometredir. Bir uzay aracı saatte \( 1,5 \times 10^4 \) kilometre hızla hareket ettiğine göre, Dünya'dan Mars'a kaç saatte ulaşır?
Çözüm:
📌 Uzaklık, hız ve zaman arasındaki ilişkiyi hatırlayalım: Zaman = Uzaklık / Hız.
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
Zaman \( = \frac{\text{Uzaklık}}{\text{Hız}} = \frac{2,25 \times 10^8}{1,5 \times 10^4} \) - Sayısal kısımları ve üslü kısımları ayrı ayrı bölelim:
\( \frac{2,25}{1,5} \) ve \( \frac{10^8}{10^4} \) - Sayısal kısım:
\( \frac{2,25}{1,5} = 1,5 \) - Üslü kısım: Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız.
\( \frac{10^8}{10^4} = 10^{8-4} = 10^4 \) - Bu iki sonucu birleştirelim:
Zaman \( = 1,5 \times 10^4 \) saat. - Bu ifadeyi açarsak:
\( 1,5 \times 10^4 = 1,5 \times 10000 = 15000 \) saat.
Uzay aracı Dünya'dan Mars'a yaklaşık 15000 saatte ulaşır. ✅
Örnek 8:
Bir dijital fotoğraf makinesinin hafıza kartında 4 GB'lık boş yer bulunmaktadır. Eğer her bir fotoğraf ortalama \( 2^{10} \) KB yer kaplıyorsa, bu hafıza kartına kaç tane fotoğraf kaydedilebilir? (1 GB = \( 2^{10} \) MB, 1 MB = \( 2^{10} \) KB)
Çözüm:
👉 Birimleri aynı türe çevirmek, üslü sayılarla işlemlerde çok önemlidir. Tüm birimleri KB cinsine çevirelim.
- Hafıza kartının toplam boş alanı 4 GB. Bunu KB'ye çevirelim:
1 GB = \( 2^{10} \) MB
1 MB = \( 2^{10} \) KB
Dolayısıyla, 1 GB = \( 2^{10} \times 2^{10} = 2^{10+10} = 2^{20} \) KB. - 4 GB'lık boş alan:
\( 4 \times 2^{20} \text{ KB} = 2^2 \times 2^{20} \text{ KB} = 2^{2+20} \text{ KB} = 2^{22} \text{ KB} \) - Her bir fotoğraf \( 2^{10} \) KB yer kaplıyor. Toplam fotoğraf sayısını bulmak için toplam boş alanı bir fotoğrafın kapladığı alana böleriz:
Fotoğraf sayısı \( = \frac{\text{Toplam Boş Alan}}{\text{Bir Fotoğrafın Alanı}} \) - Fotoğraf sayısı \( = \frac{2^{22} \text{ KB}}{2^{10} \text{ KB}} \)
- Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız:
Fotoğraf sayısı \( = 2^{22-10} = 2^{12} \) - \( 2^{12} \) değeri:
\( 2^{12} = 4096 \) - Bu hafıza kartına 4096 tane fotoğraf kaydedilebilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-uslu-sayilar-test-sayfasi-cozumlu/sorular