Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Ders Notu

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterilmesidir. Bir 'a' sayısının 'n' defa kendisiyle çarpımı \(a^n\) şeklinde ifade edilir. Burada 'a' taban, 'n' ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.

Örnek: \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\)

Üslü Sayılarda Temel Kurallar 💡

• Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri: Bir sayının pozitif tam sayı kuvveti, o sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir.

Örnek: \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)

• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir. \(0^0\) tanımsızdır.

Örnek: \(7^0 = 1\), \( ( -3)^0 = 1\)

• Negatif Kuvvet: Bir sayının negatif kuvveti, o sayının çarpma işlemine göre tersini alıp kuvveti pozitif hale getirmektir.

Örnek: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)

• Üsleri Aynı Olan Sayıların Çarpımı: Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar çarpılırken tabanlar çarpılır ve ortak üs yazılır.

Örnek: \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\)
\(3^2 \times 5^2 = (3 \times 5)^2 = 15^2 = 225\)

• Tabanları Aynı Olan Sayıların Çarpımı: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, ortak taban yazılır.

Örnek: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

• Üsleri Aynı Olan Sayıların Bölümü: Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar bölünürken tabanlar bölünür ve ortak üs yazılır.

Örnek: \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\)
\(\frac{10^3}{5^3} = (\frac{10}{5})^3 = 2^3 = 8\)

• Tabanları Aynı Olan Sayıların Bölümü: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır, ortak taban yazılır.

Örnek: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\(\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27\)

• Üssün Üssü: Bir üslü sayının tekrar üssü alınırken üsler çarpılır.

Örnek: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
\((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)

Çözümlü Üslü Sayılar Test Soruları 📝

Soru 1:

\(5^3 + 2^4 - 3^0\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 1:

Öncelikle her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım:

• \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)
• \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
• \(3^0 = 1\) (Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine yazalım:

\[ 125 + 16 - 1 \] \[ 141 - 1 = 140 \]

Cevap: 140

Soru 2:

\(\frac{2^5 \times 4^2}{8^2}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 2:

Tüm sayıları 2'nin kuvveti olarak yazarak tabanları eşitleyelim:

• \(4 = 2^2\), bu yüzden \(4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4\)
• \(8 = 2^3\), bu yüzden \(8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6\)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine yazalım:

\[ \frac{2^5 \times 2^4}{2^6} \]

Pay kısmındaki üslü sayıları çarparken üsleri toplarız:

\[ \frac{2^{5+4}}{2^6} = \frac{2^9}{2^6} \]

Bölme işleminde üsleri çıkarırız:

\[ 2^{9-6} = 2^3 \] \[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

Cevap: 8

Soru 3:

\(( -3)^2 + ( -2)^3 - ( -1)^5\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 3:

Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım:

• \(( -3)^2 = ( -3) \times ( -3) = 9\) (Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.)
• \(( -2)^3 = ( -2) \times ( -2) \times ( -2) = -8\) (Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir.)
• \(( -1)^5 = ( -1) \times ( -1) \times ( -1) \times ( -1) \times ( -1) = -1\) (Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir.)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine yazalım:

\[ 9 + ( -8) - ( -1) \] \[ 9 - 8 + 1 \] \[ 1 + 1 = 2 \]

Cevap: 2

Soru 4:

\( (\frac{1}{3})^{-2} \times 9^1 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 4:

İlk terimi hesaplayalım:

• Negatif üs, tabanı ters çevirir: \( (\frac{1}{3})^{-2} = (3)^2 \)
• \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)

İkinci terimi hesaplayalım:

• \(9^1 = 9\) (Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.)

Şimdi bu değerleri çarpma işleminde yerine yazalım:

\[ 9 \times 9 = 81 \]

Cevap: 81