Üslü Sayılar Test Sayfası Çözümlü Ders Notu

Üslü sayılar, bir reel sayının kendisi ile birden fazla kez çarpılmasının kısa yoldan gösterimidir. \( a \) bir reel sayı ve \( n \) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \( n \) tane \( a \) sayısının çarpımı \( a^n \) biçiminde ifade edilir. Burada \( a \) sayısına taban, \( n \) sayısına ise üst (kuvvet) denir.

📐 Üslü Sayıların Temel Özellikleri

Üslü ifadelerle işlem yaparken temel kuralları bilmek ve doğru uygulamak çözüme ulaşmada en kritik adımdır. Aşağıda 9. sınıf müfredatına uygun temel kurallar özetlenmiştir:

• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir. \( a \neq 0 \) olmak üzere \( a^0 = 1 \)'dir.
• Birinci Kuvvet: Her sayının 1. kuvveti kendisine eşittir. \( a^1 = a \)'dır.
• Pozitif ve Negatif Tabanların Kuvvetleri: Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Negatif sayıların ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
  Örnek: \( (-3)^2 = 9 \) iken \( (-3)^3 = -27 \)'dir.
• Parantez Önemi: \( (-2)^4 = 16 \) iken \( -2^4 = -16 \)'dır. Parantez bulunmadığında kuvvet sadece sayıya aittir, önündeki işareti etkilemez.
• Negatif Üs Kuralı: Bir sayının negatif kuvveti, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif kuvvetine eşittir. \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \] \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \]

⚙️ Üslü İfadelerde Yapılan İşlemler

1. Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır, ortak tabana üs olarak yazılır:

\[ a^x \times a^y = a^{x+y} \]

Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılır, ortak üs aynen yazılır:

\[ a^x \times b^x = (a \times b)^x \]

2. Üslü Sayılarda Bölme İşlemi

Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:

\[ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \]

Üsleri aynı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünür, ortak üs yazılır:

\[ \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \]

3. Üssün Üssü Kurallı

Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üsler birbiriyle çarpılır:

\[ (a^x)^y = a^{x \times y} \]

4. Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için hem tabanların hem de üslerin birebir aynı olması gerekir. İşlem, katsayılar üzerinden paranteze alma yöntemiyle yapılır:

\[ k \times a^x + m \times a^x - n \times a^x = (k + m - n) \times a^x \]

📊 Özellik Özet Tablosu

İşlem Türü	Kural / Formül
Tabanlar Aynı Çarpma	\( a^x \times a^y = a^{x+y} \)
Tabanlar Aynı Bölme	\( \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \)
Üssün Üssü	\( (a^x)^y = a^{x \times y} \)
Negatif Üs	\( a^{-x} = \frac{1}{a^x} \)

✏️ Üslü Sayılar Çözümlü Test Soruları

Aşağıdaki test soruları 9. sınıf sınav seviyesine uygun olarak hazırlanmış ve adım adım çözülmüştür.

Soru 1

Soru: \( (-2)^3 + (-3)^2 - (-1)^{2024} + 7^0 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:
İfadeleri tek tek hesaplayalım:

• \( (-2)^3 = -8 \) (Negatif sayının tek kuvveti negatiftir)
• \( (-3)^2 = 9 \) (Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir)
• \( (-1)^{2024} = 1 \) (2024 çift sayı olduğundan sonuç 1'dir, önündeki eksi ile \( -1 \) olur)
• \( 7^0 = 1 \) (Sıfır hariç sayıların 0. kuvveti 1'dir)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \[ (-8) + 9 - 1 + 1 = 1 \] Cevap: 1

Soru 2

Soru: \( 2^{x+3} + 2^{x+1} + 2^x = 44 \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?

Çözüm:
Sol taraftaki ifadeleri üslü sayı çarpımı şeklinde parçalayalım: \[ 2^x \times 2^3 + 2^x \times 2^1 + 2^x = 44 \] Şimdi ifadeyi \( 2^x \) ortak çarpan parantezine alalım: \[ 2^x \times (2^3 + 2^1 + 1) = 44 \] Parantez içindeki sayıları toplayalım: \[ 2^x \times (8 + 2 + 1) = 44 \] \[ 2^x \times 11 = 44 \] Her iki tarafı 11'e bölelim: \[ 2^x = 4 \] \( 4 = 2^2 \) olduğuna göre, tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olmalıdır: \[ x = 2 \] Cevap: 2

Soru 3

Soru: \( \frac{27^4 \times 9^2}{81^3} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:
İşlemdeki tüm sayı tabanlarını 3'ün kuvveti cinsinden yazalım:

• \( 27 = 3^3 \Rightarrow 27^4 = (3^3)^4 = 3^{12} \)
• \( 9 = 3^2 \Rightarrow 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 \)
• \( 81 = 3^4 \Rightarrow 81^3 = (3^4)^3 = 3^{12} \)

İfadeleri kesirde yerine koyalım: \[ \frac{3^{12} \times 3^4}{3^{12}} \] Pay kısmında çarpma kuralını uygulayalım (üsler toplanır): \[ \frac{3^{12+4}}{3^{12}} = \frac{3^{16}}{3^{12}} \] Bölme kuralını uygulayalım (payın üssünden paydanın üssü çıkarılır): \[ 3^{16-12} = 3^4 = 81 \] Cevap: 81

Soru 4

Soru: \( 5^{x-2} = 3^{x-2} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?

Çözüm:
Tabanları farklı (5 ve 3) ve aralarında asal olan iki üslü ifadenin birbirine eşit olabilmesinin tek yolu üslerin 0 olmasıdır. Çünkü sıfır hariç tüm sayıların 0. kuvveti 1'e eşittir. \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Cevap: 2