Üslü sayılar örnek çözülmüş sorular Ders Notu

Üslü Sayılar: Temel Kavramlar ve Çözümlü Örnekler

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını daha kısa ve pratik bir şekilde ifade etmek için kullanılır. Bir üslü sayıda iki temel unsur bulunur: taban ve üs. Taban, çarpılan sayıyı; üs ise kaç defa çarpılacağını gösteren sayıdır. Örneğin, \( a^n \) ifadesinde 'a' taban, 'n' ise üs olarak adlandırılır. Bu, 'a' sayısının kendisiyle 'n' defa çarpılması anlamına gelir: \( a \times a \times a \times \dots \times a \) (n tane a).

Temel Kurallar ve Özellikler

• Pozitif Tam Sayı Üsler: Bir sayının pozitif tam sayı kuvveti, sayının kendisiyle üs kadar çarpılmasıdır.
  • Örnek: \( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \)
  • Örnek: \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \)
  • Örnek: \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. \( a^0 = 1 \) (burada \( a \neq 0 \)).
  • Örnek: \( 7^0 = 1 \)
  • Örnek: \( (-10)^0 = 1 \)
• Birin Kuvvetleri: 1'in her kuvveti 1'dir. \( 1^n = 1 \).
  • Örnek: \( 1^{25} = 1 \)
• Negatif Tam Sayı Üsler: Bir sayının negatif tam sayı kuvveti, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif kuvvetidir. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (burada \( a \neq 0 \)).
  • Örnek: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
  • Örnek: \( (\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \)

Çarpma ve Bölme İşlemlerinde Üslü Sayılar

• Aynı Tabanlı Üslü Sayıların Çarpımı: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).
  • Örnek: \( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 \)
• Aynı Tabanlı Üslü Sayıların Bölümü: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (burada \( a \neq 0 \)).
  • Örnek: \( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 \)
• Üssün Üssü: Üssün üssü alındığında üsler çarpılır. \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).
  • Örnek: \( (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 \)
• Çarpımın Üssü: Bir çarpımın üssü, her çarpanın ayrı ayrı aynı üssünü alıp çarpmaktır. \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \).
  • Örnek: \( (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000 \)
• Bölümün Üssü: Bir bölümün üssü, payın ve paydanın ayrı ayrı aynı üssünü almaktır. \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) (burada \( b \neq 0 \)).
  • Örnek: \( (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \)

Çözümlü Örnekler

Soru 1: \( 2^5 \times 2^{-2} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız.
\( 2^5 \times 2^{-2} = 2^{5 + (-2)} = 2^{5-2} = 2^3 \)
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
Sonuç: 8

Soru 2: \( (\frac{3}{5})^{-2} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Negatif üssü pozitif yapmak için tabanın çarpmaya göre tersini alırız.
\( (\frac{3}{5})^{-2} = (\frac{5}{3})^2 \)
Şimdi üssü uygularız:
\( (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \)
Sonuç: \( \frac{25}{9} \)

Soru 3: \( (x^3)^4 \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
\( (x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12} \)
Sonuç: \( x^{12} \)

Soru 4: \( \frac{10^7}{10^3} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız.
\( \frac{10^7}{10^3} = 10^{7-3} = 10^4 \)
\( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000 \)
Sonuç: 10000

Soru 5: \( 4^3 \times 5^3 \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Tabanlar farklı ama üsler aynı olduğu için tabanları çarpıp aynı üssü kullanabiliriz.
\( 4^3 \times 5^3 = (4 \times 5)^3 = 20^3 \)
\( 20^3 = 20 \times 20 \times 20 = 8000 \)
Sonuç: 8000