🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik İle İlgili Problemler Ve Çözümleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik İle İlgili Problemler Ve Çözümleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. Bu üçgenlerde aşağıdaki eşitlikler bulunmaktadır:
\[ |AB| = 7 \text{ cm} \] \[ |BC| = 9 \text{ cm} \] \[ m(\widehat{B}) = 60^\circ \]
\[ |DE| = 7 \text{ cm} \] \[ |EF| = 9 \text{ cm} \] \[ m(\widehat{E}) = 60^\circ \]
Buna göre, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eğer eş ise \( |AC| \) uzunluğu 10 cm olduğuna göre \( |DF| \) uzunluğunu bulunuz.
\[ |AB| = 7 \text{ cm} \] \[ |BC| = 9 \text{ cm} \] \[ m(\widehat{B}) = 60^\circ \]
\[ |DE| = 7 \text{ cm} \] \[ |EF| = 9 \text{ cm} \] \[ m(\widehat{E}) = 60^\circ \]
Buna göre, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eğer eş ise \( |AC| \) uzunluğu 10 cm olduğuna göre \( |DF| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız.
Cevap: \( |DF| = 10 \) cm.
- 👉 Verilenleri İnceleyelim:
- \( |AB| = |DE| = 7 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 9 \) cm
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
- ✅ Eşlik Kuralını Uygulayalım: İki üçgende karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü eşit ise, bu üçgenler eştir. Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK eşlik kuralına göre eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterebiliriz.
- 💡 Eş Üçgenlerin Özelliği: Eş üçgenlerde, karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Sonucu Bulalım: ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş olduğu için, üçüncü kenarları da birbirine eşit olmalıdır. Bize \( |AC| = 10 \) cm olarak verilmiştir. Bu durumda \( |DF| \) uzunluğu da 10 cm olacaktır.
Cevap: \( |DF| = 10 \) cm.
Örnek 2:
📌 Bir ABC üçgeni içinde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası işaretlenmiştir.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir ( \( DE \parallel BC \) ).
Verilen uzunluklar şunlardır:
\[ |AD| = 4 \text{ cm} \] \[ |DB| = 2 \text{ cm} \] \[ |AE| = 6 \text{ cm} \]
Buna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir ( \( DE \parallel BC \) ).
Verilen uzunluklar şunlardır:
\[ |AD| = 4 \text{ cm} \] \[ |DB| = 2 \text{ cm} \] \[ |AE| = 6 \text{ cm} \]
Buna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'ni veya Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
Cevap: \( |EC| = 3 \) cm.
- 👉 Paralel Doğruların Oluşturduğu Benzerlik: \( DE \parallel BC \) olduğu için, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzer üçgenlerdir. Çünkü:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{A}) \) (Ortak açı)
- \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) (Yöndeş açılar)
- \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \) (Yöndeş açılar)
- 💡 Benzerlik Oranını Yazalım: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
- ✅ Verilenleri Yerine Koyalım:
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |DB| = 2 \) cm, dolayısıyla \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \) cm
- \( |AE| = 6 \) cm
- 👉 Denklemi Kuralım ve Çözelim: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \] \[ \frac{4}{6} = \frac{6}{|AC|} \] İçler dışlar çarpımı yaparak \( |AC| \) uzunluğunu bulalım: \[ 4 \cdot |AC| = 6 \cdot 6 \] \[ 4 \cdot |AC| = 36 \] \[ |AC| = \frac{36}{4} \] \[ |AC| = 9 \text{ cm} \]
- 💡 \( |EC| \) Uzunluğunu Bulalım: \( |AC| = |AE| + |EC| \) olduğu için: \[ 9 = 6 + |EC| \] \[ |EC| = 9 - 6 \] \[ |EC| = 3 \text{ cm} \]
Cevap: \( |EC| = 3 \) cm.
Örnek 3:
🌍 Birbirine paralel olan AB ve CD doğrularını kesen AC ve BD doğrularının kesişim noktası E olsun.
Verilen uzunluklar şunlardır:
\[ |AE| = 6 \text{ cm} \] \[ |EC| = 9 \text{ cm} \] \[ |AB| = 8 \text{ cm} \]
Buna göre, \( |CD| \) uzunluğunu bulunuz.
Verilen uzunluklar şunlardır:
\[ |AE| = 6 \text{ cm} \] \[ |EC| = 9 \text{ cm} \] \[ |AB| = 8 \text{ cm} \]
Buna göre, \( |CD| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı kullanarak benzer üçgenleri belirleyeceğiz.
Cevap: \( |CD| = 12 \) cm.
- 👉 Benzer Üçgenleri Belirleyelim:
- AB ve CD doğruları paralel ( \( AB \parallel CD \) ) olduğu için:
- \( m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{DCE}) \) (İç ters açılar)
- \( m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{CDE}) \) (İç ters açılar)
- \( m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{CED}) \) (Ters açılar)
- AB ve CD doğruları paralel ( \( AB \parallel CD \) ) olduğu için:
- 💡 Benzerlik Oranını Yazalım: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. \[ \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|CD|} \]
- ✅ Verilenleri Yerine Koyalım:
- \( |AE| = 6 \) cm
- \( |EC| = 9 \) cm
- \( |AB| = 8 \) cm
- 👉 Denklemi Kuralım ve Çözelim: Bize \( |CD| \) uzunluğu sorulduğu için şu oranı kullanabiliriz: \[ \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|AB|}{|CD|} \] \[ \frac{6}{9} = \frac{8}{|CD|} \] İçler dışlar çarpımı yaparak \( |CD| \) uzunluğunu bulalım: \[ 6 \cdot |CD| = 9 \cdot 8 \] \[ 6 \cdot |CD| = 72 \] \[ |CD| = \frac{72}{6} \] \[ |CD| = 12 \text{ cm} \]
Cevap: \( |CD| = 12 \) cm.
Örnek 4:
☀️ Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölgesinin uzunluğu 2.7 metredir. Aynı anda ve aynı yerde, bir elektrik direğinin gölgesinin uzunluğu 15 metredir.
Buna göre, elektrik direğinin boyu kaç metredir?
Buna göre, elektrik direğinin boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu bir günlük hayattan benzerlik problemidir. Güneş ışınları paralel geldiği için, Ali ve elektrik direği ile gölgelerinin oluşturduğu dik üçgenler benzer olacaktır.
Cevap: Elektrik direğinin boyu 10 metredir.
- 👉 Geometrik Modeli Oluşturalım:
- Ali'nin boyu, gölgesinin uzunluğu ve yer ile oluşturduğu üçgen bir dik üçgendir.
- Elektrik direğinin boyu, gölgesinin uzunluğu ve yer ile oluşturduğu üçgen de bir dik üçgendir.
- Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, her iki dik üçgendeki hipotenüs ile yer arasındaki açılar (güneşin açısı) birbirine eşittir. Ayrıca, her iki üçgende de birer dik açı (90°) bulunmaktadır.
- 💡 Verilenleri Yazalım:
- Ali'nin boyu (h1) = \( 1.8 \) m
- Ali'nin gölgesi (g1) = \( 2.7 \) m
- Direğin gölgesi (g2) = \( 15 \) m
- Direğin boyu (h2) = ?
- ✅ Benzerlik Oranını Kuralım: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir. \[ \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Direğin boyu}} = \frac{\text{Ali'nin gölgesi}}{\text{Direğin gölgesi}} \] \[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{g_1}{g_2} \]
- 👉 Denklemi Çözelim: \[ \frac{1.8}{h_2} = \frac{2.7}{15} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2.7 \cdot h_2 = 1.8 \cdot 15 \] \[ 2.7 \cdot h_2 = 27 \] Her iki tarafı 2.7'ye bölelim: \[ h_2 = \frac{27}{2.7} \] \[ h_2 = 10 \text{ m} \]
Cevap: Elektrik direğinin boyu 10 metredir.
Örnek 5:
📐 Bir ABCD dörtgeni veriliyor. AC köşegeni, dörtgeni iki üçgene ayırmaktadır.
\( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm'dir.
Ayrıca, \( |CD| = 5 \) cm, \( |AD| = 7 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm olduğu bilinmektedir.
Bu bilgilere göre, \( \triangle ABC \) ile \( \triangle CDA \) üçgenlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
\( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm'dir.
Ayrıca, \( |CD| = 5 \) cm, \( |AD| = 7 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm olduğu bilinmektedir.
Bu bilgilere göre, \( \triangle ABC \) ile \( \triangle CDA \) üçgenlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu problemde Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız.
Cevap: \( \triangle ABC \) ile \( \triangle CDA \) üçgenleri KKK eşlik kuralına göre eştir.
- 👉 İki Üçgenin Kenar Uzunluklarını İnceleyelim:
- \( \triangle ABC \) için kenar uzunlukları: \( |AB|=5 \) cm, \( |BC|=7 \) cm, \( |AC|=8 \) cm.
- \( \triangle CDA \) için kenar uzunlukları: \( |CD|=5 \) cm, \( |AD|=7 \) cm, \( |AC|=8 \) cm.
- ✅ Karşılıklı Kenarları Eşleştirelim:
- \( |AB| = |CD| = 5 \) cm
- \( |BC| = |AD| = 7 \) cm
- \( |AC| = |CA| = 8 \) cm (Ortak kenar)
- 💡 Eşlik Kuralını Uygulayalım: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olduğu için, bu üçgenler eştir.
- 📌 Gösterim: Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) şeklinde gösterebiliriz. Unutmayın, eşlik yazarken köşelerin sırası önemlidir; eşit kenarları gören açılar da eşit olmalıdır. Örneğin, \( |AB| \) kenarı \( |CD| \) kenarına eşit olduğu için, bu kenarları gören açılar \( m(\widehat{BCA}) \) ve \( m(\widehat{DAC}) \) eşit olacaktır.
Cevap: \( \triangle ABC \) ile \( \triangle CDA \) üçgenleri KKK eşlik kuralına göre eştir.
Örnek 6:
📊 Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir.
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve benzerlik oranı \( k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{2}{5} \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \triangle ABC \)'nin alanı \( A(\triangle ABC) = 24 \text{ cm}^2 \) ise, \( \triangle DEF \)'nin alanı \( A(\triangle DEF) \) kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve benzerlik oranı \( k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{2}{5} \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \triangle ABC \)'nin alanı \( A(\triangle ABC) = 24 \text{ cm}^2 \) ise, \( \triangle DEF \)'nin alanı \( A(\triangle DEF) \) kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
Çözüm:
Bu problemde benzer üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
Cevap: \( \triangle DEF \)'nin alanı 150 \( \text{cm}^2 \) dir.
- 👉 Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi: İki benzer üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, eğer iki üçgenin benzerlik oranı \( k \) ise, alanları oranı \( k^2 \) olur. \[ \frac{A(\triangle ABC)}{A(\triangle DEF)} = k^2 \]
- 💡 Verilenleri Yerine Koyalım:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{5} \)
- \( A(\triangle ABC) = 24 \text{ cm}^2 \)
- ✅ Denklemi Kuralım: \[ \frac{A(\triangle ABC)}{A(\triangle DEF)} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \] \[ \frac{24}{A(\triangle DEF)} = \frac{2^2}{5^2} \] \[ \frac{24}{A(\triangle DEF)} = \frac{4}{25} \]
- 👉 \( A(\triangle DEF) \) Değerini Bulalım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( A(\triangle DEF) \)'i bulabiliriz. \[ 4 \cdot A(\triangle DEF) = 24 \cdot 25 \] \[ 4 \cdot A(\triangle DEF) = 600 \] Her iki tarafı 4'e bölelim: \[ A(\triangle DEF) = \frac{600}{4} \] \[ A(\triangle DEF) = 150 \text{ cm}^2 \]
Cevap: \( \triangle DEF \)'nin alanı 150 \( \text{cm}^2 \) dir.
Örnek 7:
🏞️ Bir mühendis, bir nehrin karşı kıyısındaki A noktasında bulunan bir ağacın (görselde A noktası) kendi bulunduğu kıyıdaki B noktasından uzaklığını (nehrin genişliği) ölçmek istiyor.
Mühendis, B noktasından nehir kıyısı boyunca C noktasına doğru 30 metre yürüyor.
C noktasında, AC doğrultusuna dik olacak şekilde bir D noktası belirliyor.
B noktasında ise AD doğrultusuna dik olacak şekilde bir E noktası belirliyor.
Ölçümler sonucunda \( |BE| = 12 \) metre ve \( |CD| = 18 \) metre olarak bulunuyor.
Buna göre, nehrin genişliği olan \( |AB| \) uzunluğunu bulunuz.
Mühendis, B noktasından nehir kıyısı boyunca C noktasına doğru 30 metre yürüyor.
C noktasında, AC doğrultusuna dik olacak şekilde bir D noktası belirliyor.
B noktasında ise AD doğrultusuna dik olacak şekilde bir E noktası belirliyor.
Ölçümler sonucunda \( |BE| = 12 \) metre ve \( |CD| = 18 \) metre olarak bulunuyor.
Buna göre, nehrin genişliği olan \( |AB| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, nehir genişliğini ölçmek için benzer üçgenler kullanma yöntemine harika bir örnektir.
Cevap: Nehrin genişliği 60 metredir.
- 👉 Geometrik Modeli Oluşturalım:
- \( B \) noktasında \( AD \) doğrultusuna dik olduğu için \( m(\widehat{ABE}) = 90^\circ \).
- \( C \) noktasında \( AC \) doğrultusuna dik olduğu için \( m(\widehat{ACD}) = 90^\circ \).
- Ayrıca, \( m(\widehat{BAE}) \) ve \( m(\widehat{CAD}) \) açıları aynı açıdır (A açısı).
- 💡 Verilenleri Yazalım:
- \( |BC| = 30 \) m
- \( |BE| = 12 \) m
- \( |CD| = 18 \) m
- \( |AB| \) = Nehrin genişliği = ?
- ✅ Benzerlik Oranını Kuralım: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir. \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|AD|} \] Burada \( |AC| = |AB| + |BC| = |AB| + 30 \) olacaktır.
- 👉 Denklemi Çözelim: \[ \frac{|AB|}{|AB| + 30} = \frac{|BE|}{|CD|} \] \[ \frac{|AB|}{|AB| + 30} = \frac{12}{18} \] Kesri sadeleştirelim: \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \). \[ \frac{|AB|}{|AB| + 30} = \frac{2}{3} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \cdot |AB| = 2 \cdot (|AB| + 30) \] \[ 3 \cdot |AB| = 2 \cdot |AB| + 60 \] \( 2 \cdot |AB| \)'yi sol tarafa atalım: \[ 3 \cdot |AB| - 2 \cdot |AB| = 60 \] \[ |AB| = 60 \text{ m} \]
Cevap: Nehrin genişliği 60 metredir.
Örnek 8:
🏗️ Bir inşaat projesinde, yüksek bir binanın tepesindeki bir vinç (V noktası), yerden 10 metre yükseklikteki bir noktadan (A noktası) 20 metre uzağa (B noktası) bir malzeme bırakıyor. Vinç kolunun uzunluğu 25 metredir.
Vincin bulunduğu nokta (V), A noktasının tam üzerinde ve yere dik konumdadır.
A noktasından yatay olarak 15 metre uzaklıkta (C noktası) ikinci bir malzeme bırakılmak istendiğinde, vincin yerden yüksekliğinin kaç metre olması gerekir? (Vinç kolu her zaman gergin ve düz durmaktadır.)
(Not: Burada iki farklı durumdaki benzer üçgenler oluşturulacaktır.)
Vincin bulunduğu nokta (V), A noktasının tam üzerinde ve yere dik konumdadır.
A noktasından yatay olarak 15 metre uzaklıkta (C noktası) ikinci bir malzeme bırakılmak istendiğinde, vincin yerden yüksekliğinin kaç metre olması gerekir? (Vinç kolu her zaman gergin ve düz durmaktadır.)
(Not: Burada iki farklı durumdaki benzer üçgenler oluşturulacaktır.)
Çözüm:
Bu problem, vinç kolunun uzunluğunun sabit olduğu ve farklı noktalara malzeme bırakıldığında oluşan dik üçgenlerin benzerliğini veya Pisagor teoremini kullanarak çözülebilir. 9. sınıf seviyesinde Pisagor teoremi bilinir.
Cevap: İkinci durumda vincin yerden yüksekliğinin 20 metre olması gerekir.
- 👉 İlk Durumu Analiz Edelim (A'dan B'ye bırakma):
- Vinç kolu uzunluğu \( |VB| = 25 \) m.
- Yerden yükseklik \( |VA| \) (Vincin başlangıçtaki yüksekliği) = ?
- A noktasından yatay uzaklık \( |AB| = 20 \) m.
- \( \triangle VAB \) bir dik üçgendir (Vincin yere dik olduğu varsayılır).
- 💡 İkinci Durumu Analiz Edelim (A'dan C'ye bırakma):
- Vinç kolu uzunluğu \( |VC| = 25 \) m (kol uzunluğu değişmez).
- Yeni yerden yükseklik \( |VA'| \) (Vincin yeni yüksekliği) = ?
- A noktasından yatay uzaklık \( |AC| = 15 \) m.
- \( \triangle VA'C \) bir dik üçgendir (Vincin yere dik olduğu varsayılır).
Cevap: İkinci durumda vincin yerden yüksekliğinin 20 metre olması gerekir.
Örnek 9:
📏 Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin içine, bir kenarı hipotenüs üzerinde olacak ve diğer köşeleri dik kenarlar üzerinde bulunacak şekilde bir kare çiziliyor.
Çizilen karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.
Çizilen karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde benzer üçgenler kullanarak karenin kenar uzunluğunu bulacağız.
Cevap: Karenin bir kenar uzunluğu \( \frac{120}{37} \) cm'dir.
- 👉 Üçgeni Tanımlayalım:
- Dik üçgenin dik kenarları \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm olsun. \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \).
- Pisagor Teoremi'nden hipotenüs \( |BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \) cm olur.
- 💡 Kareyi Çizelim ve Benzer Üçgenleri Oluşturalım:
- Karenin bir kenarı hipotenüs \( BC \) üzerinde olsun. Bu kenarı \( DE \) olarak adlandıralım.
- Karenin diğer köşeleri F ve G olsun. F noktası AB üzerinde, G noktası AC üzerinde olsun.
- Karenin kenar uzunluğuna \( x \) diyelim. Yani \( |DE| = |EF| = |FG| = |GD| = x \).
- Karenin kenarları paralel olduğu için \( FG \parallel BC \) olacaktır.
- ✅ Benzer Üçgenleri Belirleyelim:
- \( FG \parallel BC \) olduğu için, \( \triangle AFG \) ile \( \triangle ABC \) benzer üçgenlerdir (AA Benzerlik Kuralı).
- \( m(\widehat{A}) \) her iki üçgen için de ortaktır.
- \( m(\widehat{AFG}) = m(\widehat{ABC}) \) (Yöndeş açılar).
- \( m(\widehat{AGF}) = m(\widehat{ACB}) \) (Yöndeş açılar).
- 👉 Benzerlik Oranını Kuralım:
\[ \frac{|AF|}{|AB|} = \frac{|AG|}{|AC|} = \frac{|FG|}{|BC|} \]
Burada \( |FG| = x \).
\( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm.
\( |BC| = 10 \) cm.
Şimdi \( |AF| \) ve \( |AG| \) kenarlarını \( x \) cinsinden yazmalıyız.
Karenin G köşesi AC üzerinde, F köşesi AB üzerinde. Karenin yüksekliği \( x \) olduğu için, A noktasından BC'ye olan dik uzaklık ile karenin köşeleri arasındaki ilişkiyi kurmalıyız.
Bu tür problemlerde, genellikle karenin kenarı \( x \) ve büyük üçgenin yüksekliği \( h \) ile tabanı \( T \) arasında bir ilişki kurulur.
Üçgenin A köşesinden BC hipotenüsüne inen yüksekliği bulalım: \( A(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2 \).
Aynı zamanda \( A(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_a = 5 h_a \).
Yani \( 5 h_a = 24 \Rightarrow h_a = \frac{24}{5} = 4.8 \) cm.
Şimdi benzerlik oranını yükseklikler cinsinden yazalım: \( \triangle AFG \) üçgeninin A köşesinden \( FG \) kenarına inen yüksekliği \( h_{AFG} \) olsun. \( \triangle ABC \) üçgeninin A köşesinden \( BC \) kenarına inen yüksekliği \( h_{ABC} = h_a = 4.8 \) cm. Karenin kenarı \( x \) olduğu için, \( h_{AFG} = h_a - x = 4.8 - x \). Benzerlik oranını yükseklikler ve tabanlar üzerinden kurabiliriz: \[ \frac{h_{AFG}}{h_{ABC}} = \frac{|FG|}{|BC|} \] \[ \frac{4.8 - x}{4.8} = \frac{x}{10} \] - 👉 Denklemi Çözelim: İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 10 \cdot (4.8 - x) = 4.8 \cdot x \] \[ 48 - 10x = 4.8x \] \( -10x \)'i sağ tarafa atalım: \[ 48 = 4.8x + 10x \] \[ 48 = 14.8x \] \[ x = \frac{48}{14.8} \] Pay ve paydayı 10 ile çarpalım: \[ x = \frac{480}{148} \] Sadeleştirelim (her iki tarafı 4'e bölelim): \[ x = \frac{120}{37} \text{ cm} \]
Cevap: Karenin bir kenar uzunluğu \( \frac{120}{37} \) cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-ile-ilgili-problemler-ve-cozumleri/sorular