🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir.
Açıları arasında \(m(\hat{A}) = m(\hat{D})\), \(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\) ve \(m(\hat{C}) = m(\hat{F})\) bağıntıları vardır.
Ayrıca, kenar uzunlukları arasında \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 8\) cm, \(|AC| = 10\) cm ve \(|DE| = 3\) cm olduğu biliniyor.
Buna göre, \(|EF|\) ve \(|DF|\) kenar uzunluklarını bulunuz. 💡
Açıları arasında \(m(\hat{A}) = m(\hat{D})\), \(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\) ve \(m(\hat{C}) = m(\hat{F})\) bağıntıları vardır.
Ayrıca, kenar uzunlukları arasında \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 8\) cm, \(|AC| = 10\) cm ve \(|DE| = 3\) cm olduğu biliniyor.
Buna göre, \(|EF|\) ve \(|DF|\) kenar uzunluklarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemde, iki üçgenin tüm açılarının eşit olduğu verilmiştir. Bu durum, üçgenlerin Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre benzer olduğunu gösterir. Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
- 👉 Öncelikle, üçgenlerin benzerliğini yazalım: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
- 📌 Karşılıklı kenarların oranlarını oluşturalım: \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{6}{3} = \frac{8}{|EF|} = \frac{10}{|DF|} \]
- İlk orandan benzerlik oranını bulalım: \[ \frac{6}{3} = 2 \] Yani, benzerlik oranı \(k = 2\) dir.
- Şimdi \(|EF|\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{8}{|EF|} = 2 \] \[ 2 \cdot |EF| = 8 \] \[ |EF| = \frac{8}{2} \] \[ |EF| = 4 \text{ cm} \]
- Son olarak \(|DF|\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{10}{|DF|} = 2 \] \[ 2 \cdot |DF| = 10 \] \[ |DF| = \frac{10}{2} \] \[ |DF| = 5 \text{ cm} \]
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, D noktası BC kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir.
\(|AD| = 6\) cm, \(|BD| = 3\) cm, \(|AE| = 4\) cm, \(|EC| = 2\) cm ve \(m(\hat{A})\) açısı hem \( \triangle ADE \) hem de \( \triangle ABC \) üçgeni için ortaktır.
Buna göre \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin benzer olup olmadığını, benzerse benzerlik oranını bulunuz. 🧐
\(|AD| = 6\) cm, \(|BD| = 3\) cm, \(|AE| = 4\) cm, \(|EC| = 2\) cm ve \(m(\hat{A})\) açısı hem \( \triangle ADE \) hem de \( \triangle ABC \) üçgeni için ortaktır.
Buna göre \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin benzer olup olmadığını, benzerse benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu problemde, iki üçgenin birer açısının ortak olduğu ve bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları verildiği için Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını incelemeliyiz.
- 👉 İlk olarak, ortak açının \( \hat{A} \) olduğunu biliyoruz.
- 📌 \( \triangle ADE \) üçgeninin kenarları \(|AD| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm'dir.
- 📌 \( \triangle ABC \) üçgeninin kenarları ise \(|AB| = |AD| + |DB| = 6 + 3 = 9\) cm ve \(|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 2 = 6\) cm'dir.
- Şimdi KAK benzerlik kuralı için kenar oranlarını kontrol edelim. Küçük üçgenin kenarlarının, büyük üçgenin ilgili kenarlarına oranını alalım: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
- Görüldüğü gibi, ortak açıyı oluşturan kenarların oranları birbirine eşittir (\( \frac{2}{3} \)).
- Dolayısıyla, KAK benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.
- ✅ Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm ve \(|AC| = 9\) cm'dir.
Bir DEF üçgeninde ise \(|DE| = 10\) cm, \(|EF| = 14\) cm ve \(|DF| = 18\) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer iseler, hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını ve benzerlik oranını belirtiniz. 🤔
Bir DEF üçgeninde ise \(|DE| = 10\) cm, \(|EF| = 14\) cm ve \(|DF| = 18\) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer iseler, hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını ve benzerlik oranını belirtiniz. 🤔
Çözüm:
Bu problemde, iki üçgenin tüm kenar uzunlukları verilmiştir. Bu durumda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralını incelemeliyiz.
- 👉 İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenarlarının oranlarının eşit olması gerekir.
- 📌 Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak oranları kontrol edelim.
- \( \triangle ABC \) kenarları: 5, 7, 9
- \( \triangle DEF \) kenarları: 10, 14, 18
- Şimdi karşılıklı kenar oranlarını hesaplayalım: \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \]
- Görüldüğü gibi, tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (\( \frac{1}{2} \)).
- Dolayısıyla, KKK benzerlik kuralına göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) üçgenleri benzerdir.
- ✅ Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Bir KLM üçgeninde \(m(\hat{K}) = 50^\circ\), \(m(\hat{L}) = 70^\circ\) ve \(|KL| = 8\) cm'dir.
Bir PRS üçgeninde \(m(\hat{P}) = 50^\circ\), \(m(\hat{R}) = 70^\circ\) ve \(|PR| = 8\) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve eş ise hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirleyiniz. 🤝
Bir PRS üçgeninde \(m(\hat{P}) = 50^\circ\), \(m(\hat{R}) = 70^\circ\) ve \(|PR| = 8\) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve eş ise hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirleyiniz. 🤝
Çözüm:
Bu problemde, iki üçgenin iki açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları verilmiştir. Bu durumda Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralını incelemeliyiz.
- 👉 İlk olarak, verilen açıları ve kenarları kontrol edelim:
- \( \triangle KLM \) için: \(m(\hat{K}) = 50^\circ\), \(m(\hat{L}) = 70^\circ\), \(|KL| = 8\) cm.
- \( \triangle PRS \) için: \(m(\hat{P}) = 50^\circ\), \(m(\hat{R}) = 70^\circ\), \(|PR| = 8\) cm.
- Açıların eşitliği: \(m(\hat{K}) = m(\hat{P}) = 50^\circ\) ve \(m(\hat{L}) = m(\hat{R}) = 70^\circ\).
- Bu eşit açılar arasında kalan kenarların uzunlukları da eşit: \(|KL| = |PR| = 8\) cm.
- Dolayısıyla, AKA eşlik kuralına göre \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) üçgenleri eştir.
- ✅ Üçgenler eştir ve AKA eşlik kuralı ile belirlenmiştir. Eş üçgenlerin tüm karşılıklı kenarları ve açıları eşittir.
Örnek 5:
Bir XYZ üçgeninde \(|XY| = 12\) cm, \(|YZ| = 10\) cm ve \(m(\hat{Y}) = 60^\circ\)'dir.
Bir TUV üçgeninde \(|TU| = 12\) cm, \(|UV| = 10\) cm ve \(m(\hat{U}) = 60^\circ\)'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve eş ise hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirleyiniz. ✨
Bir TUV üçgeninde \(|TU| = 12\) cm, \(|UV| = 10\) cm ve \(m(\hat{U}) = 60^\circ\)'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve eş ise hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirleyiniz. ✨
Çözüm:
Bu problemde, iki üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı uzunlukları verilmiştir. Bu durumda Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını incelemeliyiz.
- 👉 İlk olarak, verilen kenarları ve açıları kontrol edelim:
- \( \triangle XYZ \) için: \(|XY| = 12\) cm, \(|YZ| = 10\) cm, \(m(\hat{Y}) = 60^\circ\).
- \( \triangle TUV \) için: \(|TU| = 12\) cm, \(|UV| = 10\) cm, \(m(\hat{U}) = 60^\circ\).
- Kenarların eşitliği: \(|XY| = |TU| = 12\) cm ve \(|YZ| = |UV| = 10\) cm.
- Bu eşit kenarlar arasında kalan açılar da eşit: \(m(\hat{Y}) = m(\hat{U}) = 60^\circ\).
- Dolayısıyla, KAK eşlik kuralına göre \( \triangle XYZ \cong \triangle TUV \) üçgenleri eştir.
- ✅ Üçgenler eştir ve KAK eşlik kuralı ile belirlenmiştir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir.
\(DE \parallel BC\) olduğu biliniyor.
\(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 2\) cm ve \(|AE| = 6\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) uzunluğunu bulunuz.
Ayrıca, \(|DE| = 5\) cm ise, \(|BC|\) uzunluğunu bulunuz. 🧠
\(DE \parallel BC\) olduğu biliniyor.
\(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 2\) cm ve \(|AE| = 6\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) uzunluğunu bulunuz.
Ayrıca, \(|DE| = 5\) cm ise, \(|BC|\) uzunluğunu bulunuz. 🧠
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğrular ve bir üçgen içinde oluşan benzer üçgenler söz konusudur. \(DE \parallel BC\) olduğu için Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) uygulanabilir.
- 👉 \(DE \parallel BC\) olduğundan, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.
Bu benzerlik, Açı-Açı-Açı (AAA) kuralından gelir:- \( \hat{A} \) açısı her iki üçgen için ortaktır.
- \(m(\hat{ADE}) = m(\hat{ABC})\) (yöndeş açılar).
- \(m(\hat{AED}) = m(\hat{ACB})\) (yöndeş açılar).
- 📌 Benzerlik oranlarını kullanarak kenar uzunluklarını bulalım: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
- Öncelikle \(|AB|\) ve \(|AC|\) uzunluklarını bulalım: \[ |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \text{ cm} \] \[ |AC| = |AE| + |EC| = 6 + |EC| \]
- Şimdi \(|EC|\) uzunluğunu bulmak için oranları kullanalım: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \] \[ \frac{4}{6} = \frac{6}{6 + |EC|} \]
- Denklemi çözelim: \[ 4 \cdot (6 + |EC|) = 6 \cdot 6 \] \[ 24 + 4 \cdot |EC| = 36 \] \[ 4 \cdot |EC| = 36 - 24 \] \[ 4 \cdot |EC| = 12 \] \[ |EC| = \frac{12}{4} \] \[ |EC| = 3 \text{ cm} \]
- Şimdi de \(|BC|\) uzunluğunu bulmak için benzerlik oranını kullanalım. Benzerlik oranı \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) dir. \[ \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{5}{|BC|} = \frac{2}{3} \]
- Denklemi çözelim: \[ 2 \cdot |BC| = 5 \cdot 3 \] \[ 2 \cdot |BC| = 15 \] \[ |BC| = \frac{15}{2} \] \[ |BC| = 7.5 \text{ cm} \]
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği için benzer üçgenler yöntemini kullanmaya karar verir.
Mühendis, kendisinden \(12\) metre uzaklıkta duran \(1.8\) metre boyundaki bir direğin gölgesinin \(3\) metre olduğunu ölçer.
Aynı anda, binanın gölgesinin ise \(45\) metre olduğunu ölçmüştür.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiğini varsayınız.) ☀️📏
Mühendis, kendisinden \(12\) metre uzaklıkta duran \(1.8\) metre boyundaki bir direğin gölgesinin \(3\) metre olduğunu ölçer.
Aynı anda, binanın gölgesinin ise \(45\) metre olduğunu ölçmüştür.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiğini varsayınız.) ☀️📏
Çözüm:
Bu problem, güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için oluşan üçgenlerin benzer olduğu prensibine dayanır. Direk, gölgesi ve güneş ışını bir dik üçgen oluştururken; bina, gölgesi ve güneş ışını da başka bir dik üçgen oluşturur. Bu iki dik üçgen benzerdir (Açı-Açı-Açı benzerliği).
- 👉 Öncelikle, direğin oluşturduğu üçgenin ve binanın oluşturduğu üçgenin benzerliğini kuralım.
- 📌 Direğin boyu \( H_{direk} = 1.8 \) m.
- 📌 Direğin gölge boyu \( G_{direk} = 3 \) m.
- 📌 Binanın gölge boyu \( G_{bina} = 45 \) m.
- 📌 Binanın yüksekliği \( H_{bina} \) bilinmiyor, bunu bulacağız.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Direğin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölge Boyu}} \]
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{3} = \frac{H_{bina}}{45} \]
- Denklemi çözerek \( H_{bina} \)'yı bulalım: \[ 3 \cdot H_{bina} = 1.8 \cdot 45 \] \[ 3 \cdot H_{bina} = 81 \] \[ H_{bina} = \frac{81}{3} \] \[ H_{bina} = 27 \text{ metre} \]
Örnek 8:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki uzaklık \(8\) cm olarak ölçülmüştür.
Haritanın ölçeği \(1:250.000\) olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
(Haritadaki şekillerin gerçekteki şekillerle benzer olduğu ilkesini kullanınız.) 🗺️📍
Haritanın ölçeği \(1:250.000\) olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
(Haritadaki şekillerin gerçekteki şekillerle benzer olduğu ilkesini kullanınız.) 🗺️📍
Çözüm:
Bu problem, harita ölçeği kavramını kullanarak benzerlik ilkesini günlük hayata uyarlamaktadır. Harita üzerinde gösterilen her şekil, gerçekteki şeklin belirli bir oranda küçültülmüş (benzer) halidir. Ölçek, bu benzerlik oranını ifade eder.
- 👉 Harita ölçeği \(1:250.000\) demek, haritadaki \(1\) birim uzunluğun, gerçekte \(250.000\) birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- 📌 Haritadaki uzaklık \( U_{harita} = 8 \) cm.
- 📌 Ölçek oranı \( k = \frac{1}{250.000} \).
- 📌 Gerçek uzaklığı \( U_{gercek} \) bulacağız.
- Benzerlik oranını kullanarak gerçek uzaklığı hesaplayabiliriz: \[ \text{Ölçek} = \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1}{250.000} = \frac{8 \text{ cm}}{U_{gercek}} \]
- Denklemi çözerek \( U_{gercek} \)'yi bulalım: \[ U_{gercek} = 8 \text{ cm} \times 250.000 \] \[ U_{gercek} = 2.000.000 \text{ cm} \]
- Soruda gerçek uzaklığın kilometre cinsinden istendiğini unutmayalım. Santimetreyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor:
- \(1\) metre \( = 100\) cm
- \(1\) kilometre \( = 1000\) metre
- Yani, \(1\) kilometre \( = 1000 \times 100 = 100.000\) cm'dir.
- Şimdi \(2.000.000\) cm'yi kilometreye çevirelim: \[ U_{gercek} = \frac{2.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \] \[ U_{gercek} = 20 \text{ km} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-problemleri/sorular