Üçgenlerde Eşlik Problemleri Ders Notu

Üçgenlerde eşlik, geometri derslerinin temel konularından biridir. İki üçgenin eş olması, bu üçgenlerin aynı büyüklükte ve aynı şekilde olduğu anlamına gelir. Eş üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşittir.

Üçgenlerde Eşlik Nedir? 🤔

İki üçgenin eş olması için, bir üçgenin kenarları ve açıları diğer üçgenin karşılıklı kenarları ve açılarına tamamen eşit olmalıdır. Eşlik, genellikle \( \cong \) sembolü ile gösterilir. Örneğin, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş ise, bu durum \( \Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{DEF} \) şeklinde ifade edilir.

• Eş üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir. Örneğin, \( |\text{AB}| = |\text{DE}| \), \( |\text{BC}| = |\text{EF}| \) ve \( |\text{AC}| = |\text{DF}| \).
• Eş üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. Örneğin, \( m(\widehat{\text{A}}) = m(\widehat{\text{D}}) \), \( m(\widehat{\text{B}}) = m(\widehat{\text{E}}) \) ve \( m(\widehat{\text{C}}) = m(\widehat{\text{F}}) \).

Üçgenlerin Eşlik Kuralları 📐

İki üçgenin eş olduğunu anlamak için tüm kenar ve açıları tek tek kontrol etmek yerine, belirli eşlik kurallarından yararlanırız. Bu kurallar şunlardır:

1. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında, karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açının ölçüsü eşit ise, bu iki üçgen eştir.

Örneğin, bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;
\( |\text{AB}| = |\text{DE}| \)
\( |\text{AC}| = |\text{DF}| \)
\( m(\widehat{\text{A}}) = m(\widehat{\text{D}}) \)
şartları sağlanıyorsa, \( \Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{DEF} \) olur.

2. Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında, karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılar arasında kalan kenarın uzunluğu eşit ise, bu iki üçgen eştir.

Örneğin, bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;
\( m(\widehat{\text{A}}) = m(\widehat{\text{D}}) \)
\( m(\widehat{\text{B}}) = m(\widehat{\text{E}}) \)
\( |\text{AB}| = |\text{DE}| \)
şartları sağlanıyorsa, \( \Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{DEF} \) olur.

3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında, karşılıklı bütün kenarlarının uzunlukları eşit ise, bu iki üçgen eştir.

Örneğin, bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;
\( |\text{AB}| = |\text{DE}| \)
\( |\text{BC}| = |\text{EF}| \)
\( |\text{AC}| = |\text{DF}| \)
şartları sağlanıyorsa, \( \Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{DEF} \) olur.

Üçgenlerde Eşlik Problemleri ve Çözümleri ✍️

Problem 1: K.A.K. Eşlik Kuralı Uygulaması

Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. Bu üçgenlerde aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

• \( |\text{AB}| = 7 \text{ cm} \)
• \( |\text{AC}| = 5 \text{ cm} \)
• \( m(\widehat{\text{A}}) = 60^\circ \)
• \( |\text{DE}| = 7 \text{ cm} \)
• \( |\text{DF}| = 5 \text{ cm} \)
• \( m(\widehat{\text{D}}) = 60^\circ \)

Buna göre, \( |\text{BC}| \) uzunluğu \( |\text{EF}| \) uzunluğuna eşit midir? Neden?

Çözüm:

Verilen bilgilere göre, her iki üçgende de iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasında kalan açının ölçüsü eşittir:

• Kenar: \( |\text{AB}| = |\text{DE}| = 7 \text{ cm} \)
• Açı: \( m(\widehat{\text{A}}) = m(\widehat{\text{D}}) = 60^\circ \)
• Kenar: \( |\text{AC}| = |\text{DF}| = 5 \text{ cm} \)

Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı gereğince \( \Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{DEF} \) olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları ve açıları eşit olduğundan, \( |\text{BC}| \) uzunluğu \( |\text{EF}| \) uzunluğuna eşittir.

Problem 2: A.K.A. Eşlik Kuralı Uygulaması

Bir KLM üçgeni ile bir PRS üçgeni veriliyor. Bu üçgenlerde aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

• \( m(\widehat{\text{K}}) = 70^\circ \)
• \( m(\widehat{\text{L}}) = 50^\circ \)
• \( |\text{KL}| = 10 \text{ cm} \)
• \( m(\widehat{\text{P}}) = 70^\circ \)
• \( m(\widehat{\text{R}}) = 50^\circ \)
• \( |\text{PR}| = 10 \text{ cm} \)

Buna göre, \( m(\widehat{\text{M}}) \) açısı ile \( m(\widehat{\text{S}}) \) açısı arasındaki ilişki nedir?

Çözüm:

Verilen bilgilere göre, her iki üçgende de iki açının ölçüsü ve bu iki açı arasında kalan kenarın uzunluğu eşittir:

• Açı: \( m(\widehat{\text{K}}) = m(\widehat{\text{P}}) = 70^\circ \)
• Kenar: \( |\text{KL}| = |\text{PR}| = 10 \text{ cm} \)
• Açı: \( m(\widehat{\text{L}}) = m(\widehat{\text{R}}) = 50^\circ \)

Bu durumda, Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı gereğince \( \Delta \text{KLM} \cong \Delta \text{PRS} \) olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı açıları eşit olduğundan, \( m(\widehat{\text{M}}) \) açısı ile \( m(\widehat{\text{S}}) \) açısı birbirine eşittir. Ayrıca, üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:

\[ m(\widehat{\text{M}}) = 180^\circ - (m(\widehat{\text{K}}) + m(\widehat{\text{L}})) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] \[ m(\widehat{\text{S}}) = 180^\circ - (m(\widehat{\text{P}}) + m(\widehat{\text{R}})) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Dolayısıyla \( m(\widehat{\text{M}}) = m(\widehat{\text{S}}) = 60^\circ \) olur.

Problem 3: K.K.K. Eşlik Kuralı Uygulaması

Bir XYZ üçgeni ile bir GHI üçgeni veriliyor. Bu üçgenlerde aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

• \( |\text{XY}| = 8 \text{ cm} \)
• \( |\text{YZ}| = 6 \text{ cm} \)
• \( |\text{XZ}| = 10 \text{ cm} \)
• \( |\text{GH}| = 8 \text{ cm} \)
• \( |\text{HI}| = 6 \text{ cm} \)
• \( |\text{GI}| = 10 \text{ cm} \)

Bu iki üçgen eş midir? Eş ise, \( m(\widehat{\text{Y}}) \) açısı ile \( m(\widehat{\text{H}}) \) açısı arasındaki ilişki nedir?

Çözüm:

Verilen bilgilere göre, her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşittir:

• Kenar: \( |\text{XY}| = |\text{GH}| = 8 \text{ cm} \)
• Kenar: \( |\text{YZ}| = |\text{HI}| = 6 \text{ cm} \)
• Kenar: \( |\text{XZ}| = |\text{GI}| = 10 \text{ cm} \)

Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı gereğince \( \Delta \text{XYZ} \cong \Delta \text{GHI} \) olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı açıları eşit olduğundan, \( m(\widehat{\text{Y}}) \) açısı \( m(\widehat{\text{H}}) \) açısına eşittir.

Problem 4: Eşlikten Faydalanarak Bilinmeyen Bulma

Aşağıdaki metinsel betimlemeye göre bir problem çözelim:

Bir ABCD dörtgeninde, köşegen AC, dörtgeni iki üçgene ayırmaktadır. \( |\text{AD}| = |\text{BC}| \) ve \( |\text{DC}| = |\text{AB}| \) olduğu biliniyor. Buna göre, \( m(\widehat{\text{D}}) \) açısı ile \( m(\widehat{\text{B}}) \) açısı arasındaki ilişki nedir?

Çözüm:

ABCD dörtgeninin AC köşegeni ile oluşan iki üçgen \( \Delta \text{ADC} \) ve \( \Delta \text{CBA} \) (veya \( \Delta \text{ABC} \))'dir.

Bu iki üçgen için verilen kenar uzunluklarını inceleyelim:

• \( |\text{AD}| = |\text{CB}| \) (Verilen bilgi)
• \( |\text{DC}| = |\text{BA}| \) (Verilen bilgi)
• \( |\text{AC}| = |\text{CA}| \) (Ortak kenar)

Görüldüğü gibi, \( \Delta \text{ADC} \) üçgeninin tüm kenarları \( \Delta \text{CBA} \) üçgeninin karşılıklı kenarlarına eşittir. Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı gereğince \( \Delta \text{ADC} \cong \Delta \text{CBA} \) olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı açıları eşit olduğundan, \( \text{AD} \) kenarının karşısındaki \( m(\widehat{\text{C}}) \) açısı ile \( \text{BC} \) kenarının karşısındaki \( m(\widehat{\text{A}}) \) açısı eşit olacaktır. Aynı şekilde \( \text{DC} \) kenarının karşısındaki \( m(\widehat{\text{A}}) \) açısı ile \( \text{AB} \) kenarının karşısındaki \( m(\widehat{\text{C}}) \) açısı eşit olacaktır. Ve en önemlisi, ortak kenar AC'nin karşısındaki açılar da eşit olacaktır. Yani, \( |\text{AC}| \) kenarının karşısında \( \Delta \text{ADC} \) üçgenindeki açı \( m(\widehat{\text{D}}) \) ve \( \Delta \text{CBA} \) üçgenindeki açı \( m(\widehat{\text{B}}) \) olduğundan, bu açılar birbirine eşittir.

Dolayısıyla, \( m(\widehat{\text{D}}) = m(\widehat{\text{B}}) \) olur.