💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler (benzerlik, öklid, tales) Çözümlü Örnekler

Bu soruda DE // BC olduğu için Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanabiliriz:

• Paralellikten dolayı ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (A.A. Benzerlik Kuralı).
• Teoreme göre kenarlar arasında şu oran vardır:
  \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
• Verilen değerleri yerine koyalım:
  \[ \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 6 \cdot x = 3 \cdot 8 \)
  \( 6x = 24 \)
• Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde:
  \( x = 4 \) cm bulunur. ✅

Thales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır:

• Orantıyı kuralım:
  \[ \frac{4}{6} = \frac{10}{y} \]
• Sadeleştirme yapalım:
  \[ \frac{2}{3} = \frac{10}{y} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 2 \cdot y = 3 \cdot 10 \)
  \( 2y = 30 \)
• Sonuç:
  \( y = 15 \) birim olarak bulunur. 💡

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik verildiğinde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı kullanılır:

• Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
• Burada \( p = 4 \) ve \( k = 9 \)'dur.
• Değerleri yerine yazalım:
  \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
  \[ h^2 = 36 \]
• Her iki tarafın karekökünü alalım:
  \( h = 6 \) cm bulunur. ✅

Bu soruda Öklid'in Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız:

• Önce hipotenüsün tamamını bulalım:
  \( |BC| = |BH| + |HC| = 2 + 6 = 8 \) cm.
• Kenar bağıntısı formülü:
  \[ c^2 = |BH| \cdot |BC| \]
• Değerleri yerine koyalım:
  \[ c^2 = 2 \cdot 8 \]
  \[ c^2 = 16 \]
• Karekök aldığımızda:
  \( c = 4 \) cm bulunur. 📌

Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında benzer dik üçgenler oluşur:

• Benzerlik oranını kuralım:
  \[ \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \]
• Değişkenleri yerleştirelim (Ağacın boyuna \( x \) diyelim):
  \[ \frac{1,6}{2} = \frac{x}{10} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 2 \cdot x = 1,6 \cdot 10 \)
  \( 2x = 16 \)
• Sonuç:
  \( x = 8 \) metre olarak bulunur. 💡

Paralellikten dolayı ABE ve DCE üçgenleri arasında Kelebek Benzerliği vardır:

• Benzerlik oranını yazalım:
  \[ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|BE|}{|EC|} \]
• Değerleri yerine koyalım:
  \[ \frac{12}{18} = \frac{6}{x} \]
• Oranı sadeleştirelim:
  \[ \frac{2}{3} = \frac{6}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı:
  \( 2 \cdot x = 3 \cdot 6 \)
  \( 2x = 18 \)
• Sonuç:
  \( x = 9 \) cm bulunur. ✅

Benzer üçgenlerde kenarlar arasındaki oran, çevreler arasındaki orana eşittir:

• Küçük parkın en uzun kenarı 10 m'dir.
• Benzerlik oranını (\( k \)) bulalım:
  \[ k = \frac{25}{10} = 2,5 \]
• Küçük parkın çevresini hesaplayalım:
  Çevre (Küçük) = \( 6 + 8 + 10 = 24 \) m.
• Büyük parkın çevresini bulmak için küçük parkın çevresini benzerlik oranıyla çarpalım:
  Çevre (Büyük) = \( 24 \cdot 2,5 \)
• Sonuç:
  Çevre (Büyük) = 60 metre bulunur. 🚩

Bu soruda Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'nı uygulayacağız:

• ADE ve ACB üçgenlerinde A açısı ortaktır.
• Soruda \( m(ADE) = m(ACB) \) verildiği için, üçüncü açılar da eşit olmak zorundadır.
  Yani ADE ~ ACB (Dikkat: Köşe eşleşmesine göre).
• Benzerlik oranını kuralım:
  \[ \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} \]
• Uzunlukları yazalım:
  \( |AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \) cm.
  \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + x \) cm.
• Denklemi kuralım:
  \[ \frac{4}{8} = \frac{5}{4 + x} \]
• Sadeleştirme:
  \[ \frac{1}{2} = \frac{5}{4 + x} \]
• İçler dışlar:
  \( 4 + x = 10 \)
  \( x = 6 \) cm bulunur. 🎯