💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler (benzerlik, öklid, tales) Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler (benzerlik, öklid, tales) Çözümlü Örnekler
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (DE // BC). D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
\( |AD| = 6 \) cm,
\( |DB| = 3 \) cm,
\( |AE| = 8 \) cm
olduğuna göre, \( |EC| = x \) kaç cm'dir? 📐
Bu soruda DE // BC olduğu için Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanabiliriz:
- Paralellikten dolayı ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (A.A. Benzerlik Kuralı).
- Teoreme göre kenarlar arasında şu oran vardır:
\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \] - Verilen değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 6 \cdot x = 3 \cdot 8 \)
\( 6x = 24 \) - Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde:
\( x = 4 \) cm bulunur. ✅
Birbirine paralel olan \( d1 \), \( d2 \) ve \( d3 \) doğruları, iki farklı kesen doğru tarafından kesilmektedir.
Birinci kesen üzerinde doğrular arasında kalan parçaların uzunlukları 4 birim ve 6 birimdir.
İkinci kesen üzerinde, 4 birimlik parçaya karşılık gelen uzunluk 10 birim ise, 6 birimlik parçaya karşılık gelen \( y \) uzunluğu kaç birimdir? 📏
Thales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır:
- Orantıyı kuralım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{10}{y} \] - Sadeleştirme yapalım:
\[ \frac{2}{3} = \frac{10}{y} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \cdot y = 3 \cdot 10 \)
\( 2y = 30 \) - Sonuç:
\( y = 15 \) birim olarak bulunur. 💡
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. A köşesinden BC hipotenüsüne inilen AH dikmesinin uzunluğu \( h \)'dir.
Bu dikme hipotenüsü H noktasında keserek \( |BH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor.
Buna göre \( h \) kaç cm'dir? 📐
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik verildiğinde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı kullanılır:
- Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
- Burada \( p = 4 \) ve \( k = 9 \)'dur.
- Değerleri yerine yazalım:
\[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
\[ h^2 = 36 \] - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( h = 6 \) cm bulunur. ✅
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( AH \perp BC \)'dir.
\( |BH| = 2 \) cm ve \( |HC| = 6 \) cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu olan \( c \) kaç cm'dir? 🔍
Bu soruda Öklid'in Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız:
- Önce hipotenüsün tamamını bulalım:
\( |BC| = |BH| + |HC| = 2 + 6 = 8 \) cm. - Kenar bağıntısı formülü:
\[ c^2 = |BH| \cdot |BC| \] - Değerleri yerine koyalım:
\[ c^2 = 2 \cdot 8 \]
\[ c^2 = 16 \] - Karekök aldığımızda:
\( c = 4 \) cm bulunur. 📌
Güneşli bir günde, boyu 1,6 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metre olarak ölçülmüştür.
Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu 10 metre olarak ölçüldüğüne göre, ağacın gerçek boyu kaç metredir? 🌳☀️
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında benzer dik üçgenler oluşur:
- Benzerlik oranını kuralım:
\[ \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \] - Değişkenleri yerleştirelim (Ağacın boyuna \( x \) diyelim):
\[ \frac{1,6}{2} = \frac{x}{10} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \cdot x = 1,6 \cdot 10 \)
\( 2x = 16 \) - Sonuç:
\( x = 8 \) metre olarak bulunur. 💡
AB doğru parçası CD doğru parçasına paraleldir (AB // CD).
AD ve BC doğruları E noktasında kesişmektedir.
\( |AB| = 12 \) cm,
\( |CD| = 18 \) cm,
\( |BE| = 6 \) cm
olduğuna göre, \( |EC| = x \) kaç cm'dir? 🦋
Paralellikten dolayı ABE ve DCE üçgenleri arasında Kelebek Benzerliği vardır:
- Benzerlik oranını yazalım:
\[ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|BE|}{|EC|} \] - Değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{12}{18} = \frac{6}{x} \] - Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{6}{x} \] - İçler dışlar çarpımı:
\( 2 \cdot x = 3 \cdot 6 \)
\( 2x = 18 \) - Sonuç:
\( x = 9 \) cm bulunur. ✅
Bir mimar, birbirine benzer iki üçgen şeklinde park alanı tasarlıyor.
Küçük parkın kenar uzunlukları 6 m, 8 m ve 10 m'dir.
Büyük parkın en uzun kenarı 25 m olduğuna göre, büyük parkın çevresi kaç metredir? 🏗️
Benzer üçgenlerde kenarlar arasındaki oran, çevreler arasındaki orana eşittir:
- Küçük parkın en uzun kenarı 10 m'dir.
- Benzerlik oranını (\( k \)) bulalım:
\[ k = \frac{25}{10} = 2,5 \] - Küçük parkın çevresini hesaplayalım:
Çevre (Küçük) = \( 6 + 8 + 10 = 24 \) m. - Büyük parkın çevresini bulmak için küçük parkın çevresini benzerlik oranıyla çarpalım:
Çevre (Büyük) = \( 24 \cdot 2,5 \) - Sonuç:
Çevre (Büyük) = 60 metre bulunur. 🚩
Bir ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir.
\( m(ADE) = m(ACB) \) olarak verilmiştir.
\( |AD| = 4 \) cm,
\( |AE| = 5 \) cm,
\( |EC| = 3 \) cm
olduğuna göre, \( |DB| = x \) kaç cm'dir? 🧠
Bu soruda Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'nı uygulayacağız:
- ADE ve ACB üçgenlerinde A açısı ortaktır.
- Soruda \( m(ADE) = m(ACB) \) verildiği için, üçüncü açılar da eşit olmak zorundadır.
Yani ADE ~ ACB (Dikkat: Köşe eşleşmesine göre). - Benzerlik oranını kuralım:
\[ \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} \] - Uzunlukları yazalım:
\( |AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \) cm.
\( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + x \) cm. - Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{8} = \frac{5}{4 + x} \] - Sadeleştirme:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{4 + x} \] - İçler dışlar:
\( 4 + x = 10 \)
\( x = 6 \) cm bulunur. 🎯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-benzerlik-oklid-tales/sorular