🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Ve Kenarlar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Ve Kenarlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. O halde, verilen açıları kullanarak C açısını bulabiliriz:
- 👉 Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı formülünü yazalım:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 2: Verilen açı değerlerini formülde yerine koyalım:
\( 70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 3: Toplama işlemini yapalım:
\( 120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 4: C açısının ölçüsünü bulmak için denklemi çözelim:
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, B açısının dış açısı \( 110^\circ \) ve C açısının ölçüsü \( 40^\circ \) ise A açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
Bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı \( 180^\circ \)dir. Ayrıca, bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- 👉 Adım 1: B açısının iç açısını bulalım. B açısının dış açısı \( 110^\circ \) olduğuna göre, iç açısı:
\( m(\widehat{B}_{iç}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) - 👉 Adım 2: Şimdi üçgenin iç açıları toplamını kullanarak A açısını bulabiliriz:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}_{iç}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 3: Bilinen değerleri yerine koyalım:
\( m(\widehat{A}) + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ \) - 👉 Adım 4: Toplama işlemini yapalım ve denklemi çözelim:
\( m(\widehat{A}) + 110^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{A}) = 180^\circ - 110^\circ \)
\( m(\widehat{A}) = 70^\circ \)
📌 Alternatif Çözüm: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralını kullanabiliriz:
- 👉 B köşesindeki dış açı \( 110^\circ \) ise, bu açı A ve C iç açılarının toplamına eşittir:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{C}) = 110^\circ \) - 👉 C açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olarak verildiğine göre:
\( m(\widehat{A}) + 40^\circ = 110^\circ \) - 👉 A açısının ölçüsünü bulalım:
\( m(\widehat{A}) = 110^\circ - 40^\circ \)
\( m(\widehat{A}) = 70^\circ \)
Örnek 3:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve A açısının ölçüsü \( 80^\circ \)dir. B ve C açılarının ölçüleri kaçar derecedir? 💡
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
- 👉 Adım 1: \( |AB| = |AC| \) olduğu için, bu kenarların karşısındaki açılar olan B ve C açıları birbirine eşittir:
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \) - 👉 Adım 2: Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 3: Verilen A açısının ölçüsünü ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \) eşitliğini kullanarak denklemi düzenleyelim:
\( 80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ \)
\( 80^\circ + 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ \) - 👉 Adım 4: Denklemi çözerek B açısının ölçüsünü bulalım:
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - 80^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 100^\circ \)
\( m(\widehat{B}) = \frac{100^\circ}{2} \)
\( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
Örnek 4:
Bir ABC eşkenar üçgeninin bir kenarı üzerinde D noktası vardır. \( |AD| = |DC| \) olacak şekilde bir ADC üçgeni oluşturulmuştur. Buna göre, ADC üçgenindeki D açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve tüm iç açıları \( 60^\circ \)dir.
- 👉 Adım 1: ABC eşkenar üçgen olduğu için tüm açılar \( 60^\circ \)dir:
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ \) - 👉 Adım 2: ADC üçgeninde \( |AD| = |DC| \) olduğu verilmiştir. Bu durumda ADC üçgeni ikizkenar üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşit olacağından, \( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) \) olur.
- 👉 Adım 3: ABC üçgeninin C açısı \( 60^\circ \) olduğuna göre, ADC üçgeninin C açısı da \( 60^\circ \)dir. Yani \( m(\widehat{DCA}) = 60^\circ \).
- 👉 Adım 4: ADC ikizkenar üçgeninde \( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) = 60^\circ \) olduğu için, bu üçgen aslında bir eşkenar üçgendir!
- 👉 Adım 5: Eşkenar üçgenin tüm açıları \( 60^\circ \) olduğu için, D açısının ölçüsü de \( 60^\circ \)dir.
\( m(\widehat{ADC}) = 60^\circ \)
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 65^\circ \), B açısının ölçüsü \( 55^\circ \) ve C açısının ölçüsü \( 60^\circ \)dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📏
Çözüm:
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında ise küçük kenar bulunur.
- 👉 Adım 1: Üçgenin açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( m(\widehat{B}) = 55^\circ \) (en küçük)
\( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
\( m(\widehat{A}) = 65^\circ \) (en büyük) - 👉 Adım 2: Her açının karşısındaki kenarı belirleyelim:
B açısının karşısındaki kenar \( |AC| \) (veya b kenarı)
C açısının karşısındaki kenar \( |AB| \) (veya c kenarı)
A açısının karşısındaki kenar \( |BC| \) (veya a kenarı) - 👉 Adım 3: Açıların sıralamasına göre kenarları sıralayalım:
Küçük açı (\( m(\widehat{B}) \)) karşısında küçük kenar (\( |AC| \))
Orta açı (\( m(\widehat{C}) \)) karşısında orta kenar (\( |AB| \))
Büyük açı (\( m(\widehat{A}) \)) karşısında büyük kenar (\( |BC| \))
Örnek 6:
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm ise \( |BC| \) kenarının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🔢
Çözüm:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
- 👉 Adım 1: Üçgen eşitsizliği kuralını \( |BC| \) kenarı için uygulayalım:
\( | |AC| - |AB| | < |BC| < |AC| + |AB| \) - 👉 Adım 2: Verilen kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım:
\( |10 - 7| < |BC| < 10 + 7 \)
\( 3 < |BC| < 17 \) - 👉 Adım 3: \( |BC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerini bulalım. Bu değerler 3'ten büyük ve 17'den küçük olmalıdır:
\( |BC| \in \{4, 5, 6, ..., 16\} \) - 👉 Adım 4: Bu aralıktaki tam sayı değerlerinin sayısını bulalım:
Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) + 1
Terim Sayısı = \( (16 - 4) + 1 = 12 + 1 = 13 \)
Örnek 7:
Ahmet, bir duvara yasladığı 3 metre uzunluğundaki bir merdivenin yerle yaptığı açının \( 60^\circ \) olduğunu ölçüyor. Merdivenin duvarla yaptığı açı kaç derecedir? 🪜
Çözüm:
Merdiven, duvar ve yer düzlemi birlikte bir dik üçgen oluşturur. Yer ve duvar birbirine dik olduğu için, bu üçgenin bir açısı \( 90^\circ \)dir.
- 👉 Adım 1: Merdiven, yer ve duvar arasında oluşan üçgeni düşünelim. Bu bir dik üçgendir.
- 👉 Adım 2: Üçgenin bir açısı (yer ile duvar arasındaki köşe) \( 90^\circ \)dir.
- 👉 Adım 3: Merdivenin yerle yaptığı açı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
- 👉 Adım 4: Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için, merdivenin duvarla yaptığı açıyı bulabiliriz. Merdivenin duvarla yaptığı açıya \( x \) diyelim:
\( 90^\circ + 60^\circ + x = 180^\circ \) - 👉 Adım 5: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 150^\circ + x = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 150^\circ \)
\( x = 30^\circ \)
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprünün destek ayaklarını tasarlarken, iki destek ayağının üst kısımlarının birleştiği noktada bir ikizkenar üçgen oluşturduğunu fark etti. Eğer bu üçgenin tepe açısı \( 100^\circ \) ise, destek ayaklarının yerle yaptığı açılar kaçar derecedir? (Köprünün zeminini düz kabul ediniz.) 🌉
Çözüm:
Köprü destek ayakları ve zemin bir ikizkenar üçgen oluşturuyorsa, tepe açısının karşısındaki iki taban açısı birbirine eşit olacaktır.
- 👉 Adım 1: Destek ayaklarının oluşturduğu üçgenin ikizkenar olduğunu biliyoruz. Tepe açısı (desteklerin birleştiği açı) \( 100^\circ \)dir.
- 👉 Adım 2: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu açılara \( x \) diyelim. Bu açılar, destek ayaklarının yerle yaptığı açılardır.
- 👉 Adım 3: Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
\( 100^\circ + x + x = 180^\circ \)
\( 100^\circ + 2x = 180^\circ \) - 👉 Adım 4: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 2x = 180^\circ - 100^\circ \)
\( 2x = 80^\circ \)
\( x = \frac{80^\circ}{2} \)
\( x = 40^\circ \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-acilar-ve-kenarlar/sorular