Üçgende Açılar Ve Kenarlar Ders Notu

Üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşan kapalı bir geometrik şekildir. Üçgenler, kenar uzunluklarına ve iç açı ölçülerine göre sınıflandırılırlar. Matematikte temel geometrik şekillerden biri olan üçgenler, birçok özelliğe sahiptir.

Üçgende Açılar 📐

İç Açılar Toplamı

Herhangi bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı daima \( 180^\circ \) dir. Bu kural, tüm üçgen türleri için geçerlidir.

Bir ABC üçgeninde A, B ve C açıları için;

\[ m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]

Dış Açılar Toplamı

Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima \( 360^\circ \) dir. Her köşe için bir dış açı bulunur ve bu dış açı, iç açının bütünleyeni (toplamı \( 180^\circ \) olan açı) şeklindedir.

Bir ABC üçgeninde A, B ve C köşelerindeki dış açılar \( m(\widehat{A_{dış}}) \), \( m(\widehat{B_{dış}}) \) ve \( m(\widehat{C_{dış}}) \) için;

\[ m(\widehat{A_{dış}}) + m(\widehat{B_{dış}}) + m(\widehat{C_{dış}}) = 360^\circ \]

Bir Dış Açı

Bir üçgende herhangi bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

Bir ABC üçgeninde C köşesindeki dış açı \( m(\widehat{C_{dış}}) \) için;

\[ m(\widehat{C_{dış}}) = m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) \]

Özel Üçgenlerde Açılar

• İkizkenar Üçgen: İki kenar uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Eşit uzunluktaki kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir (taban açıları).

  Örneğin, bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ise, \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \) olur.

• Eşkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgenin tüm iç açıları \( 60^\circ \) dir.

  Bir ABC eşkenar üçgeninde \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ \) dir.

Açıortay, Kenarortay, Yükseklik

• Açıortay: Bir üçgende bir köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına iç açıortay denir.
  • Üç iç açıortayın kesiştiği nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
• Kenarortay: Bir üçgende bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir.
  • Üç kenarortayın kesiştiği nokta, üçgenin ağırlık merkezidir.
• Yükseklik: Bir üçgende bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) dik olarak indirilen doğru parçasına yükseklik denir.
  • Üç yüksekliğin kesiştiği nokta, üçgenin diklik merkezidir.

Üçgende Kenarlar 📏

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyüktür.

Kenar uzunlukları a, b, c olan bir üçgende;

\[ |b - c| < a < b + c \] \[ |a - c| < b < a + c \] \[ |a - b| < c < a + b \]

Bu eşitsizlik, verilen üç kenar uzunluğunun bir üçgen oluşturup oluşturamayacağını kontrol etmek için kullanılır.

Açı-Kenar Bağıntıları

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında ise küçük kenar bulunur. Tersine, büyük kenarın karşısındaki açı büyük, küçük kenarın karşısındaki açı küçüktür.

Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \) ise, bu açıların karşısındaki kenarlar için;

\[ a > b > c \]

bağıntısı geçerlidir.

Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı

Bir açısı \( 90^\circ \) olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.

Pisagor bağıntısı, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu ifade eder.

Bir ABC dik üçgeninde, \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \) olmak üzere dik kenarlar b ve c, hipotenüs a ise;

\[ b^2 + c^2 = a^2 \]

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları

Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu özel bağıntılara Öklid bağıntıları denir. Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) olsun. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik h olsun. Yüksekliğin hipotenüsü kestiği nokta D olsun. Bu durumda BD uzunluğu p, DC uzunluğu k olsun.

Bağıntı Adı	Formül	Açıklama
Yükseklik Bağıntısı	\( h^2 = p \times k \)	Yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Dik Kenar Bağıntısı (c için)	\( c^2 = p \times (p+k) \)	Bir dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
Dik Kenar Bağıntısı (b için)	\( b^2 = k \times (p+k) \)	Diğer dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
Alan Bağıntısı	\( b \times c = (p+k) \times h \)	Dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşittir.