🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende açılar ve kenar açı bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende açılar ve kenar açı bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \)
- Üçgenin iç açılarının toplamı formülü: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Toplamları hesaplayalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \)yi bulmak için \( 180^\circ \)den \( 120^\circ \)yi çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \) ✅
Örnek 2:
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 40^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 📏
Çözüm:
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
- Tepe açısı: \( 40^\circ \)
- İkizkenar üçgende taban açıları eşit olduğundan, bu iki açıya \( x \) diyelim.
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( \text{Tepe Açısı} + \text{Taban Açısı 1} + \text{Taban Açısı 2} = 180^\circ \)
- Formülde yerine koyalım: \( 40^\circ + x + x = 180^\circ \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 40^\circ + 2x = 180^\circ \)
- \( 2x \)i yalnız bırakalım: \( 2x = 180^\circ - 40^\circ \)
- \( 2x = 140^\circ \)
- \( x \)i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{140^\circ}{2} \)
- Sonuç: \( x = 70^\circ \) ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( AB \) kenarı \( BC \) kenarından uzundur. Buna göre, \( \angle C \) ile \( \angle A \) arasındaki ilişki nedir? ↔️
Çözüm:
Bir üçgende büyük kenarın karşısındaki açı daha büyüktür.
- Verilen bilgi: \( AB > BC \)
- \( AB \) kenarının karşısındaki açı \( \angle C \)'dir.
- \( BC \) kenarının karşısındaki açı \( \angle A \)'dır.
- Kenar-açı bağıntısına göre, büyük kenarın karşısındaki açı daha büyüktür.
- Dolayısıyla, \( \angle C > \angle A \) olmalıdır. 👉
Örnek 4:
Bir parkta bulunan üç arkadaş, Ali, Burcu ve Can, birer noktada durmaktadır. Ali'nin bulunduğu nokta ile Burcu'nun bulunduğu nokta arasındaki mesafe, Burcu'nun bulunduğu nokta ile Can'ın bulunduğu nokta arasındaki mesafeden daha uzundur. Ali, Burcu ve Can'ın durduğu noktalar bir üçgenin köşelerini oluşturmaktadır. Buna göre, Ali'nin baktığı açının (yani \( \angle C \)) Can'ın baktığı açıdan (yani \( \angle A \)) daha büyük olup olmadığını belirleyiniz. 🌳
Çözüm:
Bu problem, kenar-açı bağıntılarının gerçek hayat senaryolarına nasıl uygulanabileceğini gösterir.
- Üç arkadaşın konumları bir ABC üçgeninin köşeleri olarak düşünülebilir.
- Ali'nin konumu A, Burcu'nun konumu B ve Can'ın konumu C olsun.
- Soruda verilen bilgiye göre, Ali ile Burcu arasındaki mesafe (yani \( BC \) kenarı), Burcu ile Can arasındaki mesafeden (yani \( AB \) kenarı) daha uzundur.
- Bu durumu matematiksel olarak ifade edersek: \( BC > AB \)
- Üçgenin kenar-açı bağıntısına göre, bir kenarın uzunluğu karşısındaki açının büyüklüğü ile doğru orantılıdır.
- \( BC \) kenarının karşısındaki açı \( \angle A \)'dır.
- \( AB \) kenarının karşısındaki açı \( \angle C \)'dir.
- \( BC > AB \) olduğundan, \( BC \) kenarının karşısındaki \( \angle A \), \( AB \) kenarının karşısındaki \( \angle C \)'den daha büyük olmalıdır.
- Yani, \( \angle A > \angle C \) olur. 💡
Örnek 5:
Bir harita üzerinde üç şehir (X, Y, Z) işaretlenmiştir. X ve Y şehirleri arasındaki mesafe, Y ve Z şehirleri arasındaki mesafeden daha kısadır. Eğer bu üç şehir bir üçgenin köşeleri olarak kabul edilirse, Y şehrinden bakan birinin (yani \( \angle Y \)) X şehrine bakan açıdan (yani \( \angle Z \)) daha büyük olup olmadığını açıklayınız. 🗺️
Çözüm:
Bu senaryoda kenar-açı bağıntılarını kullanarak açıları karşılaştırabiliriz.
- Şehirlerin konumları bir XYZ üçgeninin köşeleri olsun.
- X ve Y şehirleri arasındaki mesafe \( XY \) kenarıdır.
- Y ve Z şehirleri arasındaki mesafe \( YZ \) kenarıdır.
- Soruda verilen bilgiye göre: \( XY < YZ \)
- Bir üçgende, kenarların uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların büyüklükleri arasında bir ilişki vardır.
- \( XY \) kenarının karşısındaki açı \( \angle Z \)'dir.
- \( YZ \) kenarının karşısındaki açı \( \angle X \)'dir.
- \( XY < YZ \) olduğundan, \( XY \) kenarının karşısındaki \( \angle Z \), \( YZ \) kenarının karşısındaki \( \angle X \)'den daha küçük olmalıdır.
- Yani, \( \angle Z < \angle X \) olur.
- Y şehrinden bakan birinin açısı \( \angle Y \)'dir. Bu soruda \( \angle Y \) ile ilgili doğrudan bir bilgi verilmemiştir, ancak \( \angle Z < \angle X \) ilişkisi açıktır. 📌
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 2 \angle B \) ve \( \angle C = 3 \angle B \) ise, \( \angle A, \angle B, \angle C \) açılarını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı bilgisini kullanarak bilinmeyenleri bulabiliriz.
- Verilen ilişkiler: \( \angle A = 2 \angle B \) ve \( \angle C = 3 \angle B \)
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle A \) ve \( \angle C \) yerine verilen ifadeleri yazalım: \( (2 \angle B) + \angle B + (3 \angle B) = 180^\circ \)
- \( \angle B \) terimlerini toplayalım: \( 6 \angle B = 180^\circ \)
- \( \angle B \)yi bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim: \( \angle B = \frac{180^\circ}{6} \)
- \( \angle B = 30^\circ \) ✅
- Şimdi \( \angle A \) ve \( \angle C \)yi bulalım:
- \( \angle A = 2 \angle B = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \)
- \( \angle C = 3 \angle B = 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)
- Kontrol edelim: \( 60^\circ + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Sonuç doğru. 👍
Örnek 7:
Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının, en kısa kenarın karşısındaki açıdan ne kadar büyük olduğunu bulunuz. Üçgenin açıları \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \) olarak verilmiştir. 📈
Çözüm:
Kenar-açı bağıntısını kullanarak bu soruyu çözebiliriz.
- Üçgenin açıları: \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \)
- En büyük açı \( 80^\circ \)'dir. Bu açının karşısındaki kenar en uzundur.
- En küçük açı \( 40^\circ \)'dir. Bu açının karşısındaki kenar en kısadır.
- En uzun kenarın karşısındaki açı ile en kısa kenarın karşısındaki açı arasındaki farkı bulmak için büyük açıdan küçük açıyı çıkarırız.
- Fark = En Büyük Açı - En Kısa Açı
- Fark = \( 80^\circ - 40^\circ \)
- Fark = \( 40^\circ \) ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( AC \) kenarı \( AB \) kenarından daha uzundur. Buna göre, \( \angle B \) ile \( \angle C \) arasındaki ilişkiyi açıklayınız. 🧐
Çözüm:
Bu soru, üçgenlerde kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların ilişkisini anlamayı gerektirir.
- Verilen bilgi: \( AC > AB \)
- \( AC \) kenarının karşısındaki açı \( \angle B \)'dir.
- \( AB \) kenarının karşısındaki açı \( \angle C \)'dir.
- Üçgenin kenar-açı bağıntısına göre, bir kenarın uzunluğu arttıkça karşısındaki açının ölçüsü de artar.
- \( AC \) kenarı \( AB \) kenarından daha uzun olduğu için, \( AC \) kenarının karşısındaki \( \angle B \), \( AB \) kenarının karşısındaki \( \angle C \)'den daha büyük olmalıdır.
- Dolayısıyla, \( \angle B > \angle C \) olur. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-acilar-ve-kenar-aci-bagintilari/sorular