✅ 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar Problemleri Test Çöz

Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 50^\circ $ ve $ m(\widehat{B}) = 70^\circ $ olduğuna göre, $ m(\widehat{C}) $ açısı kaç derecedir?

Bir ABC ikizkenar üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 80^\circ $ olduğuna göre, $ m(\widehat{C}) $ açısı kaç derecedir?

Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 60^\circ $ ve $ m(\widehat{B}) = 40^\circ $ olduğuna göre, C köşesindeki dış açı $ m(\widehat{ACD}) $ kaç derecedir? (D noktası BC doğrusu üzerindedir ve B-C-D sırasındadır.)

Kenar uzunlukları $ 5 $ cm ve $ 8 $ cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu $ x $ cm olduğuna göre, $ x $in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 50^\circ $dir. C köşesinden çıkan bir doğru üzerinde, B noktası ile D noktası arasında $ |BC| = |CD| $ olacak şekilde bir D noktası alınıyor. Buna göre, $ m(\widehat{ADC}) $ açısı kaç derecedir?
Bu metinde de sorun var. "B noktası ile D noktası arasında $ |BC| = |CD| $ olacak şekilde bir D noktası alınıyor." Bu da D'nin B ve C arasında olduğunu ima eder.

En iyisi klasik bir dış açı ve ikizkenar üçgen sorusu yazmak.
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $.
$ m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ $.
BDC üçgeninde $ |BD| = |BC| $ ve $ m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{ABC}) = 70^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = (180^\circ - 70^\circ) / 2 = 110^\circ / 2 = 55^\circ $.
Sorulan $ m(\widehat{ADC}) $ açısı.
Bu durumda D noktası AC doğrusu üzerinde değil.
ADC üçgenine bakarsak, $ m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{BAC}) = 40^\circ $.
$ m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{BCD}) = 70^\circ + 55^\circ = 125^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (40^\circ + 125^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ $.
Bu da bir çözüm.

Bir başka yorum: D noktası, AC kenarı üzerinde bir nokta.
ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $, $ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 70^\circ $.
Eğer D noktası AC üzerinde ise, $ |BD| = |BC| $ ise, BDC ikizkenar üçgen olur.
$ m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BCA}) = 70^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{BDC}) = 70^\circ $ olur.
$ m(\widehat{DBC}) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ $.
Sorulan $ m(\widehat{ADC}) $. D noktası AC üzerinde olduğu için $ m(\widehat{ADC}) = 180^\circ $. Bu anlamsız.

En yaygın ve çözülebilir senaryo: D noktası, BC kenarının uzantısında veya AB kenarının uzantısında bir nokta.
Veya, D noktası, A'nın BC'ye göre zıt tarafında.
Bu soru metniyle, D noktasının konumu belirsiz.
En iyisi, D noktasının konumunu netleştiren bir soru yazmak.
Örneğin, "Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $. BC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor ve $ |AD| = |BD| $ olacak şekilde bir AD doğru parçası çiziliyor. Buna göre, $ m(\widehat{ADC}) $ açısı kaç derecedir?"
Bu da olmaz, $ |AD| = |BD| $ ise ADB ikizkenar olur.

Şu şekilde bir soru yazabilirim:
[THINKING] ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $. $ |AB| = |AC| $ olduğu için $ m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ $.
D noktası BC kenarı üzerinde değil, öyle ki $ |BD| = |AD| $ ve $ |CD| = |AD| $ olsun. Bu da olmaz.

En klasik soru tipi: Bir noktadan çıkan açıortay veya kenarortay.
Veya, iki ikizkenar üçgenin birleşimi.
Soruyu yeniden yazıyorum, daha net bir geometri kurgusuyla.
[TEXT] Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $. AB kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor ve $ |AD| = |DC| $ olacak şekilde bir DC doğru parçası çiziliyor. Eğer $ |BD| = |BC| $ ise, $ m(\widehat{BCD}) $ açısı kaç derecedir?
Bu da biraz karmaşık.

Basit bir ikizkenar üçgen ve dış açı sorusu:
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ise $ m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) $.
$ m(\widehat{A}) = 30^\circ $ verilmiş.
$ m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ $.
D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
$ |AD| = |DE| $ ise ADE ikizkenar üçgendir. $ m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{A}) = 30^\circ $.
$ m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ $.
Sorulan $ m(\widehat{DEC}) $ açısı.
$ m(\widehat{AED}) + m(\widehat{DEC}) = 180^\circ $ (doğrusal açı).
$ 75^\circ + m(\widehat{DEC}) = 180^\circ $
$ m(\widehat{DEC}) = 105^\circ $.
Bu soru da 9. sınıf seviyesinde.

Q5 (Final Version):
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ olduğundan, $ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) $dir.
$ m(\widehat{A}) = 30^\circ $ verilmiş.
$ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ $.
ADE üçgeninde $ |AD| = |DE| $ olduğundan, ADE ikizkenar üçgendir.
$ m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{A}) = 30^\circ $.
$ m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ $.
E noktası AC kenarı üzerinde olduğu için $ m(\widehat{AED}) $ ve $ m(\widehat{DEC}) $ açıları bütünler açılardır (toplamları $ 180^\circ $).
$ m(\widehat{DEC}) = 180^\circ - m(\widehat{AED}) $
$ m(\widehat{DEC}) = 180^\circ - 75^\circ $
$ m(\widehat{DEC}) = 105^\circ $
Doğru cevap E şıkkı.
[TEXT] Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 30^\circ $dir. AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. Eğer $ |AD| = |DE| $ ise, $ m(\widehat{DEC}) $ açısı kaç derecedir?

Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 70^\circ $ ve $ m(\widehat{B}) = 50^\circ $ olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (a, b, c sırasıyla A, B, C açılarının karşısındaki kenar uzunluklarıdır.)

Şekildeki ABC ve BCD üçgenlerinde verilen açılara göre $ |AB|, |BD|, |CD| $ kenar uzunluklarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
(Şekil betimlemesi: A noktası üstte, B noktası solda altta, C noktası sağda altta. D noktası, B ve C noktaları arasında, ancak BC doğru parçası üzerinde değil, B'nin sağında C'nin solunda bir noktadır. BCD bir üçgendir. A, B, D noktaları bir üçgen oluşturur. A, C, D noktaları bir üçgen oluşturur.)
$ m(\widehat{BAC}) = 60^\circ $
$ m(\widehat{ABC}) = 70^\circ $
$ m(\widehat{DBC}) = 40^\circ $
$ m(\widehat{BDC}) = 80^\circ $

Bir ABC üçgeninde AD, A açısının açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer $ m(\widehat{B}) = 70^\circ $ ve $ |AB| = |AD| $ ise, $ m(\widehat{C}) $ açısı kaç derecedir?

Kenar uzunlukları $ 6 $ cm ve $ 10 $ cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu $ x $ cm'dir. Buna göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç cm'dir?

Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 36^\circ $dir. AC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. Eğer $ |AD| = |BD| $ ise, $ m(\widehat{ADB}) $ açısı kaç derecedir?

Bir ABC üçgeninde BE, B açısının iç açıortayıdır. CD, C açısının dış açıortayıdır. E noktası AC kenarı üzerinde, D noktası ise BC doğrusunun uzantısı üzerindedir. Eğer $ m(\widehat{A}) = 50^\circ $ ise, $ m(\widehat{BDC}) $ açısı kaç derecedir?

Şekildeki ABC ve BCD üçgenlerinde $ |AB| = 7 $ cm, $ |AC| = 12 $ cm, $ |BD| = 5 $ cm ve $ |CD| = 8 $ cm'dir. Buna göre, $ |BC| $ kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç cm'dir?
(Şekil betimlemesi: A noktası üstte, B noktası solda altta, C noktası sağda altta. D noktası, A noktası ile B ve C noktalarının oluşturduğu üçgenin dışında, B'nin solunda veya C'nin sağında bir noktadır. BCD bir üçgendir. A, B, C noktaları bir üçgen oluşturur.)

Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 40^\circ $. AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. Eğer $ |BD| = |DE| = |EC| $ ise, $ m(\widehat{DEC}) $ açısı kaç derecedir?
Bu da zor.

En iyisi, iki ikizkenar üçgeni birleştiren ve dış açı kullanan bir soru.
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $.
$ m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ $.
D noktası BC kenarı üzerinde. $ |AD| = |BD| $.
ABD üçgeninde $ |AD| = |BD| $ ise $ m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) $.
$ m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ABC}) = 80^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{BAD}) = 80^\circ $.
ABD üçgeninde $ m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 20^\circ $.
Şimdi ADC üçgenine bakalım.
$ m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{BAC}) - m(\widehat{BAD}) = 20^\circ - 80^\circ = -60^\circ $.
Bu da D noktasının BC üzerinde olamayacağını gösterir.
D noktası BC üzerinde ise $ m(\widehat{BAD}) $ açısı $ m(\widehat{BAC}) $ açısından küçük olmalıdır.

Bu tür sorularda D noktası genellikle AB veya AC üzerinde olur.
Eğer D noktası AC üzerinde ise:
ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $, $ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 80^\circ $.
D noktası AC üzerinde.
$ |AD| = |BD| $ ise ABD ikizkenar üçgendir.
$ m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{A}) = 20^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ $.
Sorulan $ m(\widehat{DBC}) $ açısı.
$ m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABD}) = 80^\circ - 80^\circ = 0^\circ $.
Bu da B, D, C noktalarının doğrusal olduğu anlamına gelir. D noktası AC üzerinde ve $ m(\widehat{DBC})=0 $ ise D noktası C noktası ile çakışır.
Bu durumda $ |AD| = |AC| $ ve $ |BD| = |BC| $.
$ |AD| = |BD| $ ve $ |AC| = |AB| $.
$ |AC| = |BC| $ olması gerekir.
Yani $ |AB| = |AC| = |BC| $. ABC eşkenar üçgen olurdu. Ama $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $.
Bu da yanlış.

Soruyu yeniden kurgulamalıyım.
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $.
$ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ $.
D noktası BC üzerinde. E noktası AC üzerinde.
$ |AD| = |BD| $ ve $ |DE| = |EC| $. Bu çok karmaşık.

En basit ve yaygın "zincirleme ikizkenar üçgen" sorusu:
[TEXT] Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $. AC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. BC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. Eğer $ |AD| = |DE| $ ve $ |EC| = |DC| $ ise, $ m(\widehat{EDC}) $ açısı kaç derecedir?
Bu da zor.

Şu soru daha uygun:
[THINKING] ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $.
$ m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ $.
D noktası AC üzerinde.
$ |BD| = |BC| $.
BCD üçgeninde $ |BD| = |BC| $ ise $ m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) $.
$ m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{ACB}) = 80^\circ $.
Bu durumda $ m(\widehat{BDC}) = 80^\circ $.
$ m(\widehat{DBC}) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 20^\circ $.
Sorulan $ m(\widehat{ABD}) $ açısı.
$ m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{DBC}) $
$ m(\widehat{ABD}) = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ $.
Bu soru 9. sınıf için uygun.
[TEXT] Bir ABC üçgeninde $ |AB| = |AC| $ ve $ m(\widehat{A}) = 20^\circ $dir. AC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. Eğer $ |BD| = |BC| $ ise, $ m(\widehat{ABD}) $ açısı kaç derecedir?

Bir ABC üçgeninde $ m(\widehat{A}) = 80^\circ $, $ m(\widehat{B}) = 60^\circ $dir. BC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor ve $ m(\widehat{BAD}) = 30^\circ $ olduğuna göre, $ |AD|, |BD|, |CD| $ kenar uzunluklarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?