🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar Problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar Problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) ise, \( \hat{C} \) açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir. Bu bilgiyi kullanarak \( \hat{C} \) açısını bulabiliriz.
- Adım 1: Verilen açıları toplayın: \( \hat{A} + \hat{B} = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
- Adım 2: Toplam açıdan bu toplamı çıkarın: \( \hat{C} = 180^\circ - 120^\circ \).
- Adım 3: Sonucu hesaplayın: \( \hat{C} = 60^\circ \).
Örnek 2:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir. Tepe açısı ve iki taban açısının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Adım 1: Tepe açısını \( 180^\circ \) 'den çıkarın: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \). Bu, iki taban açısının toplamıdır.
- Adım 2: Bulduğunuz toplamı 2'ye bölün (çünkü taban açıları eşittir): \( 100^\circ \div 2 = 50^\circ \).
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( a = 7 \) cm, \( b = 9 \) cm ve \( c = 12 \) cm'dir. Bu kenarların karşısındaki açıların sıralaması nasıldır? 📏
Çözüm:
Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür ve en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Adım 1: Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayın: \( c > b > a \).
- Adım 2: Bu sıralamaya göre karşısındaki açıları sıralayın: \( \hat{C} > \hat{B} > \hat{A} \).
Örnek 4:
Bir parkta bulunan üç farklı ağacın konumları bir üçgen oluşturmaktadır. En kısa ağaçlar arasındaki mesafe 15 metre, diğer iki ağaç arasındaki mesafe ise 25 metre ve 20 metredir. En kısa ağaçların arasındaki açı ile en uzun ağaçların arasındaki açının büyüklükleri hakkında ne söylenebilir? 🌳
Çözüm:
Bu problemde üçgen eşitsizliği ve kenar-açı ilişkisi kullanılacaktır.
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunlukları 15 m, 20 m ve 25 m'dir.
- Adım 2: En kısa kenar 15 m'dir. Bu kenarın karşısındaki açı en küçüktür (en kısa ağaçlar arasındaki açı).
- Adım 3: En uzun kenar 25 m'dir. Bu kenarın karşısındaki açı en büyüktür (en uzun ağaçlar arasındaki açı).
- Adım 4: Bu nedenle, en kısa ağaçlar arasındaki açı, en uzun ağaçlar arasındaki açıdan daha küçüktür.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken zemin üzerindeki üç noktayı birleştirerek bir üçgen oluşturuyor. Bu üçgenin iki kenarı \( 10 \) metre ve \( 15 \) metre uzunluğundadır. Bu iki kenarın arasındaki açının \( 90^\circ \) olması, binanın temelinin sağlamlığı açısından ne ifade eder? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, Pisagor teoreminin geçerli olduğu özel bir üçgeni ifade eder.
- Adım 1: İki kenarın arasındaki açı \( 90^\circ \) olduğunda, bu üçgen bir dik üçgendir.
- Adım 2: Dik üçgenler, yapıların temelinde oldukça sağlam bir yapı oluşturur çünkü ağırlığı eşit olarak dağıtma eğilimindedirler.
- Adım 3: Bu durumda, \( 10 \) m ve \( 15 \) m kenarlarının oluşturduğu \( 90^\circ \) açı, temel tasarımının geometrik olarak stabil ve güvenilir olduğunu gösterir. Üçüncü kenar (hipotenüs) \( \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} \) metre olacaktır.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 45^\circ \), \( \hat{B} = 60^\circ \) ve \( c = 10 \) cm'dir. \( a \) kenarının uzunluğunu bulunuz. (Sinüs teoremi kullanılacaktır.) 📈
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende herhangi bir kenarın o kenarın karşısındaki açıya oranı sabittir.
- Adım 1: Üçgenin üçüncü açısını \( \hat{C} \) hesaplayın: \( \hat{C} = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
- Adım 2: Sinüs Teoremi formülünü yazın: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).
- Adım 3: Bilinen değerleri formüle yerleştirin: \( \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 75^\circ} \).
- Adım 4: \( a \) kenarını yalnız bırakın: \( a = \frac{c \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyun ( \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) ): \( a = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \).
- Adım 6: Sadeleştirme işlemini yapın: \( a = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{12}-20(2)}{6-2} = \frac{40\sqrt{3}-40}{4} = 10\sqrt{3}-10 \).
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirlerinin konumları bir üçgen oluşturmaktadır. A ile B arasındaki mesafe 8 km, B ile C arasındaki mesafe 10 km'dir. A açısı \( 30^\circ \) ve B açısı \( 45^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu ölçümlerle C ile A arasındaki mesafeyi (yani \( b \) kenarını) hesaplamak için hangi adımlar izlenmelidir? 🗺️
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Sinüs Teoremi kullanılacaktır.
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu kullanarak \( \hat{C} \) açısını bulun: \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
- Adım 2: Sinüs Teoremi'ni \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \) şeklinde yazın. Burada \( a \) kenarı BC, \( b \) kenarı AC ve \( c \) kenarı AB'dir.
- Adım 3: Verilen değerleri yerine koyun: \( \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \).
- Adım 4: \( b \) kenarını yalnız bırakın: \( b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \).
- Adım 5: Bilinen sinüs değerlerini kullanın: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- Adım 6: Hesaplamayı yapın: \( b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot \sqrt{2} \) km.
Örnek 8:
Bir bisikletli, düz bir yolda ilerlerken önündeki bir tepenin zirvesine doğru bakıyor. Tepenin zirvesi ile bisikletlinin bulunduğu nokta arasındaki mesafe \( 50 \) metre ve tepenin zirvesi ile bisikletlinin bulunduğu noktanın tam hizasındaki yer arasındaki mesafe \( 40 \) metredir. Bu durum bir dik üçgen oluşturur. Tepenin yüksekliğini (yani dik üçgenin dik kenarlarından birini) hesaplamak için hangi formül kullanılır? 🚴♀️
Çözüm:
Bu senaryo bir dik üçgeni temsil etmektedir ve dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi hesaplamak için Pisagor teoremi kullanılır.
- Adım 1: Dik üçgende iki dik kenarın uzunlukları \( a \) ve \( b \), hipotenüsün uzunluğu ise \( c \) olsun. Pisagor teoremi \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklinde ifade edilir.
- Adım 2: Bu problemde, tepenin zirvesi ile bisikletlinin bulunduğu noktanın tam hizasındaki yer arasındaki mesafe ( \( 40 \) m) bir dik kenar olarak alınabilir. Tepenin yüksekliği ise diğer dik kenardır (hesaplanacak değer). Tepenin zirvesi ile bisikletlinin bulunduğu nokta arasındaki mesafe ( \( 50 \) m) hipotenüstür.
- Adım 3: Pisagor teoremini kullanarak tepenin yüksekliğini ( \( h \) diyelim) hesaplayabiliriz: \( 40^2 + h^2 = 50^2 \).
- Adım 4: Denklemi çözersek: \( 1600 + h^2 = 2500 \Rightarrow h^2 = 2500 - 1600 \Rightarrow h^2 = 900 \Rightarrow h = \sqrt{900} = 30 \) metre.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 30^\circ \) ve \( b = 8 \) cm, \( c = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin \( a \) kenarının uzunluğunu bulmak için hangi formül kullanılır? (Kosinüs teoremi kullanılacaktır.) 🧭
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin iki kenarının uzunluğunu ve bu iki kenar arasındaki açıyı bildiğimizde üçüncü kenarın uzunluğunu hesaplamamızı sağlar.
- Adım 1: Kosinüs Teoremi'nin formülü şöyledir: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \).
- Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirin: \( a^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos 30^\circ \).
- Adım 3: Hesaplamaları yapın: \( a^2 = 64 + 144 - 2 \cdot 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Adım 4: Sadeleştirin: \( a^2 = 208 - 96\sqrt{3} \).
- Adım 5: \( a \) kenarının uzunluğunu bulmak için karekök alın: \( a = \sqrt{208 - 96\sqrt{3}} \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-ve-kenar-problemleri/sorular