🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı, Öklid, Tales, Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı, Öklid, Tales, Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
İpucu: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) derecedir.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanacağız.
- 👉 Bir ABC üçgeninin iç açıları A, B ve C olsun.
- ✅ Açıların toplamı \( \text{m}(\text{A}) + \text{m}(\text{B}) + \text{m}(\text{C}) = 180^\circ \) olmalıdır.
- 💡 Verilen değerleri yerine yazalım: \( 70^\circ + 50^\circ + \text{m}(\text{C}) = 180^\circ \).
- Hesaplamayı yapalım: \( 120^\circ + \text{m}(\text{C}) = 180^\circ \).
- Son olarak C açısının ölçüsünü bulalım: \( \text{m}(\text{C}) = 180^\circ - 120^\circ \).
- Buna göre, C açısının ölçüsü \( 60^\circ \) derecedir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı AC kenarına eşittir (\( |AB| = |AC| \)). B açısının ölçüsü \( 65^\circ \) olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Hatırlatma: İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
Çözüm:
Bu bir ikizkenar üçgen problemidir.
- 📌 \( |AB| = |AC| \) olduğu için ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir.
- İkizkenar üçgenin özelliğine göre, eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu durumda B açısı ile C açısı birbirine eşit olmalıdır.
- Yani, \( \text{m}(\text{C}) = \text{m}(\text{B}) = 65^\circ \).
- Şimdi üçgenin iç açıları toplamını kullanarak A açısını bulalım: \( \text{m}(\text{A}) + \text{m}(\text{B}) + \text{m}(\text{C}) = 180^\circ \).
- Değerleri yerine yazarsak: \( \text{m}(\text{A}) + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ \).
- \( \text{m}(\text{A}) + 130^\circ = 180^\circ \).
- Sonuç olarak, \( \text{m}(\text{A}) = 180^\circ - 130^\circ \).
- A açısının ölçüsü \( 50^\circ \) derecedir. ✅
Örnek 3:
Dik açılı bir ABC üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. Hipotenüse ait yüksekliğin ayağı H noktasıdır. \( |AH| = 6 \) cm ve \( |BH| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |HC| \) kaç cm'dir? 📏
Önemli Bilgi: Bu soru Öklid Bağıntıları'nın temel uygulamasıdır.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanacağız.
- 💡 ABC üçgeni A noktasında dik açılıdır ve AH yüksekliği hipotenüse inmiştir.
- Öklid'in yükseklik bağıntısı şöyledir: Yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yani, \( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \).
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 6^2 = 4 \cdot |HC| \).
- İşlemi yapalım: \( 36 = 4 \cdot |HC| \).
- \( |HC| \) uzunluğunu bulmak için 36'yı 4'e bölelim: \( |HC| = \frac{36}{4} \).
- Buna göre, \( |HC| = 9 \) cm'dir. ✅
Örnek 4:
Birbirine paralel d1, d2 ve d3 doğrularını kesen iki doğru parçası çizilmiştir. d1 üzerinde A, B noktaları; d2 üzerinde C, D noktaları ve d3 üzerinde E, F noktaları bulunmaktadır. Eğer \( |AC| = 3 \) cm, \( |CE| = 6 \) cm ve \( |BD| = 4 \) cm ise, \( |DF| \) kaç cm'dir? 🛣️
Anahtar Kavram: Paralel doğrular orantılı parçalar ayırır (Tales Teoremi).
Çözüm:
Bu problem Tales Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır.
- 📌 d1, d2 ve d3 doğruları paralel olduğu için, bu doğruları kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar oluşur.
- Tales Teoremi'ne göre, \( \frac{|AC|}{|CE|} = \frac{|BD|}{|DF|} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{|DF|} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{|DF|} \).
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( |DF| \) değerini bulalım: \( 1 \cdot |DF| = 2 \cdot 4 \).
- Buna göre, \( |DF| = 8 \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)). AB kenarının uzunluğu 5 cm, BC kenarının uzunluğu 6 cm ve AC kenarının uzunluğu 7 cm'dir. DEF üçgeninin çevresi 36 cm olduğuna göre, AB kenarına karşılık gelen DE kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🔗
Unutmayın: Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir.
Çözüm:
Bu problem benzer üçgenlerin çevreleri ve kenar oranları ile ilgilidir.
- 👉 İlk olarak ABC üçgeninin çevresini hesaplayalım: Çevre(ABC) \( = |AB| + |BC| + |AC| = 5 + 6 + 7 = 18 \) cm.
- DEF üçgeninin çevresi 36 cm olarak verilmiştir.
- Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Çevre(DEF)}}{\text{Çevre(ABC)}} = \frac{36}{18} = 2 \).
- Bu durumda, \( \triangle DEF \) üçgeni, \( \triangle ABC \) üçgeninin 2 katı büyüklüğündedir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları da benzerlik oranına eşittir.
- Yani, \( \frac{|DE|}{|AB|} = k \).
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{|DE|}{5} = 2 \).
- \( |DE| \) uzunluğunu bulmak için 5 ile 2'yi çarpalım: \( |DE| = 2 \cdot 5 \).
- Buna göre, \( |DE| = 10 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni verilmiştir. \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm'dir. DEF üçgeninde ise \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm'dir. Bu iki üçgenin eşliğini belirleyiniz. 🤝
Kilit Bilgi: İki üçgenin tüm kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eş üçgenlerdir (KKK Eşliği).
Çözüm:
Bu problem üçgenlerde eşlik kriterlerinden Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşliği ile ilgilidir.
- 📌 ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm.
- DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm.
- Karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- \( |AB| = |DE| = 8 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 10 \) cm
- \( |AC| = |DF| = 12 \) cm
- Görüldüğü gibi, her iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına uyar.
- Dolayısıyla, \( \triangle ABC \) üçgeni ile \( \triangle DEF \) üçgeni birbirine eştir (\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)). ✅
Örnek 7:
Sabah erken saatlerde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölgesinin uzunluğu 2.7 metredir. Aynı anda, Ali'nin yanında bulunan bir ağacın gölgesinin uzunluğu 9 metredir. Buna göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳☀️
Düşünce Biçimi: Güneş ışınları paralel geldiği için, cisimler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur.
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler prensibini kullanarak çözülen bir "yeni nesil" sorudur.
- 💡 Ali'nin boyu, gölgesi ve güneş ışınları bir dik üçgen oluşturur. Aynı şekilde, ağacın boyu, gölgesi ve güneş ışınları da başka bir dik üçgen oluşturur.
- Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için bu iki dik üçgen birbirine benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
- Yani, \( \frac{\text{Ali'nin Boyu}}{\text{Ali'nin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \).
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( \frac{1.8}{2.7} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{9} \).
- Kesri sadeleştirelim. 1.8 ve 2.7 her ikisi de 0.9'un katıdır: \( \frac{1.8 \div 0.9}{2.7 \div 0.9} = \frac{2}{3} \).
- Şimdi denklemimiz \( \frac{2}{3} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{9} \) haline geldi.
- İçler dışlar çarpımı yaparak veya paydaları eşitleyerek ağacın boyunu bulabiliriz: \( 3 \cdot \text{Ağacın Boyu} = 2 \cdot 9 \).
- \( 3 \cdot \text{Ağacın Boyu} = 18 \).
- Ağacın Boyu \( = \frac{18}{3} \).
- Buna göre, ağacın boyu \( 6 \) metredir. ✅
Örnek 8:
Bir mühendis, bir nehrin karşı kıyısındaki bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Nehrin kıyısında duran mühendis, yerden 1.5 metre yükseklikteki göz hizasından, 10 metre uzaktaki bir direğin tepesine bakıyor. Direğin tepesinden binanın tepesine olan görüş hattı, mühendisin göz hizasından direğe olan görüş hattına paraleldir. Eğer direğin yüksekliği 4.5 metre ise ve direk ile bina arasındaki mesafe 40 metre ise, binanın yüksekliği kaç metredir? (Tüm ölçümler yer seviyesinden yapılmıştır.) 🏗️
Uygulama Alanı: Tales Teoremi ve benzerlik, uzaktan ölçüm yapmak için sıkça kullanılır.
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi ve benzerlik kavramlarının günlük hayattaki kullanımına güzel bir örnektir.
- 📌 Öncelikle her şeyi mühendisin göz hizasına göre düşünelim. Mühendisin göz hizası yerden 1.5 metre yüksektedir.
- Direğin mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmı: \( 4.5 - 1.5 = 3 \) metre.
- Binanın mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmına \( x \) diyelim. Binanın toplam yüksekliği \( x + 1.5 \) olacaktır.
- Mühendis, direk ve binanın oluşturduğu üçgenler, paralel görüş hatları sayesinde benzerdir.
- Direğe olan mesafe 10 metre, direk ile bina arası 40 metre. Mühendisten binaya olan toplam mesafe \( 10 + 40 = 50 \) metredir.
- Tales Teoremi'ne göre, \( \frac{\text{Mühendisten direğe olan mesafe}}{\text{Mühendisten binaya olan mesafe}} = \frac{\text{Direğin göz hizası üstündeki kısmı}}{\text{Binanın göz hizası üstündeki kısmı}} \).
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{10}{50} = \frac{3}{x} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{5} = \frac{3}{x} \).
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım: \( 1 \cdot x = 5 \cdot 3 \).
- \( x = 15 \) metre.
- Bu \( x \) değeri, binanın mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmıdır.
- Binanın toplam yüksekliği, bu değere mühendisin göz hizası yüksekliğini ekleyerek bulunur: \( \text{Binanın Yüksekliği} = x + 1.5 = 15 + 1.5 \).
- Buna göre, binanın yüksekliği \( 16.5 \) metredir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-oklid-tales-eslik-benzerlik/sorular