🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki üçgenin eş olması için gerekli şartlar nelerdir? 💡
Çözüm:
İki üçgenin eş olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunlukları ve bu kenarlar arasındaki açıları eş ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eş ise bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunlukları da eş ise bu üçgenler eştir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 8 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( DE = 5 \) cm, \( EF = 7 \) cm ve \( DF = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında nasıl bir eşlik ilişkisi vardır? 👉
Bu iki üçgen arasında nasıl bir eşlik ilişkisi vardır? 👉
Çözüm:
Verilen bilgilere göre ABC üçgeninin kenar uzunlukları 5, 7 ve 8 cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları da 5, 7 ve 8 cm'dir.
Her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği prensibine göre ABC üçgeni ile DEF üçgeninin eş olduğunu gösterir.
Yani, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde ifade edilir. 📌
Yani, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde ifade edilir. 📌
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 40^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir PQR üçgeninde ise \( \angle P = 40^\circ \) ve \( \angle Q = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Eğer \( AB = PQ \) ise, bu iki üçgen eş midir? Neden? 💡
Eğer \( AB = PQ \) ise, bu iki üçgen eş midir? Neden? 💡
Çözüm:
Öncelikle, her iki üçgenin de üçüncü açılarını bulalım.
ABC üçgeninde \( \angle C = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
PQR üçgeninde \( \angle R = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Şimdi eşlik şartlarını inceleyelim:
Dolayısıyla, \( \triangle ABC \cong \triangle PQR \) dir. ✅
ABC üçgeninde \( \angle C = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
PQR üçgeninde \( \angle R = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Şimdi eşlik şartlarını inceleyelim:
- Karşılıklı iki açıları eş: \( \angle A = \angle P = 40^\circ \) ve \( \angle B = \angle Q = 60^\circ \).
- Bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eş: \( AB = PQ \) olarak verilmiş.
Dolayısıyla, \( \triangle ABC \cong \triangle PQR \) dir. ✅
Örnek 4:
Bir KLM üçgeninde \( KL = 6 \) cm, \( \angle K = 50^\circ \) ve \( \angle L = 70^\circ \) dir. Bir XYZ üçgeninde \( XY = 6 \) cm, \( \angle X = 50^\circ \) ve \( \angle Y = 70^\circ \) dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik oranı nedir? 👉
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik oranı nedir? 👉
Çözüm:
İki üçgenin benzerliği için karşılıklı açıların eş olması gerekir.
Verilen bilgilere göre:
\( \angle M = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
\( \angle Z = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Yani, \( \angle M = \angle Z = 60^\circ \).
Aynı zamanda, bu açılara karşılık gelen kenarlar da orantılıdır. \( \angle K \) ile \( \angle X \) arasındaki kenarlar \( LM \) ve \( YZ \) olurken, \( \angle L \) ile \( \angle Y \) arasındaki kenarlar \( KM \) ve \( XZ \) olur. Ancak burada verilen kenar \( KL \) ve \( XY \) dir ve bu kenarlar \( \angle K \) ve \( \angle L \) ile \( \angle X \) ve \( \angle Y \) arasındaki kenarlardır.
Açı-Açı (AA) benzerlik teoremi gereği, ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.
Bu durumda, \( \triangle KLM \sim \triangle XYZ \) dir.
Benzerlik oranı, karşılıklı eş kenarların oranına eşittir. Burada \( KL \) ve \( XY \) kenarları eş açılar olan \( \angle K \) ve \( \angle L \) ile \( \angle X \) ve \( \angle Y \) arasında yer aldığı için, benzerlik oranı \( \frac{KL}{XY} = \frac{6}{6} = 1 \) olur. 📌
Verilen bilgilere göre:
- \( \angle K = \angle X = 50^\circ \)
- \( \angle L = \angle Y = 70^\circ \)
\( \angle M = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
\( \angle Z = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Yani, \( \angle M = \angle Z = 60^\circ \).
Aynı zamanda, bu açılara karşılık gelen kenarlar da orantılıdır. \( \angle K \) ile \( \angle X \) arasındaki kenarlar \( LM \) ve \( YZ \) olurken, \( \angle L \) ile \( \angle Y \) arasındaki kenarlar \( KM \) ve \( XZ \) olur. Ancak burada verilen kenar \( KL \) ve \( XY \) dir ve bu kenarlar \( \angle K \) ve \( \angle L \) ile \( \angle X \) ve \( \angle Y \) arasındaki kenarlardır.
Açı-Açı (AA) benzerlik teoremi gereği, ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.
Bu durumda, \( \triangle KLM \sim \triangle XYZ \) dir.
Benzerlik oranı, karşılıklı eş kenarların oranına eşittir. Burada \( KL \) ve \( XY \) kenarları eş açılar olan \( \angle K \) ve \( \angle L \) ile \( \angle X \) ve \( \angle Y \) arasında yer aldığı için, benzerlik oranı \( \frac{KL}{XY} = \frac{6}{6} = 1 \) olur. 📌
Örnek 5:
Bir parkta bulunan iki farklı salıncak direğinin uzunlukları ve aralarındaki açılar verilmiştir. Birinci salıncak direği AB doğru parçası ile gösterilmekte olup, A noktasında yere sabitlenmiş ve B noktasında salıncak mekanizmasına bağlıdır. \( AB = 4 \) metre ve yerden yüksekliği olan B noktasından direğe dik inen bir destek çubuğu BC'dir. \( BC = 3 \) metredir. İkinci salıncak direği DE doğru parçasıdır. D noktasında yere sabitlenmiş ve E noktasında salıncak mekanizmasına bağlıdır. \( DE = 8 \) metre ve yerden yüksekliği olan E noktasından direğe dik inen bir destek çubuğu EF'dir. \( EF = 6 \) metredir.
Eğer birinci direğin yere yaptığı açı \( \angle BAC = 90^\circ \) ve ikinci direğin yere yaptığı açı \( \angle EDF = 90^\circ \) ise, bu iki salıncak direği ve destek çubukları ile oluşan üçgenler benzer midir? Benzerse, bu durum günlük hayatta neyi ifade eder? 🤔
Eğer birinci direğin yere yaptığı açı \( \angle BAC = 90^\circ \) ve ikinci direğin yere yaptığı açı \( \angle EDF = 90^\circ \) ise, bu iki salıncak direği ve destek çubukları ile oluşan üçgenler benzer midir? Benzerse, bu durum günlük hayatta neyi ifade eder? 🤔
Çözüm:
Birinci salıncak direği, destek çubuğu ve yer ile oluşan üçgen ABC'dir.
İkinci salıncak direği, destek çubuğu ve yer ile oluşan üçgen DEF'dir.
Verilen bilgilere göre:
Dik üçgenlerde benzerlik için, birer dik açıları eş olmalarının yanı sıra, birer dar açıların da eş olması gerekir. Veya dik kenarların oranlarının da birbirine eşit olması durumunda benzerlik söz konusu olabilir.
Kenar uzunluklarının oranına bakalım:
\( \frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Dik kenarların oranları eşit olduğundan, bu iki dik üçgen Kenar-Kenar (KK) benzerliği prensibine göre benzerdir. (Bu durum aslında dik üçgenler için özel bir durumdur ve \( \frac{dik kenar 1}{dik kenar 1} = \frac{dik kenar 2}{dik kenar 2} \) olduğunda, bu oranlar hipotenüslerin oranına da eşittir.)
Bu nedenle, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) dir.
Bu durumun günlük hayattaki anlamı şudur:
İkinci salıncak direği, birinci salıncak direğinin iki katı uzunluktadır ve destek çubuğu da iki katı uzunluktadır. Bu, salıncakların daha geniş bir alana yayılmasını veya daha dengeli bir yapıya sahip olmasını sağlayabilir. Ayrıca, şekillerin benzer olması, orantılı bir büyüme veya küçülme olduğunu gösterir. 💡
- \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) dik üçgenlerdir.
- \( \angle BAC = \angle EDF = 90^\circ \)
- \( AB = 4 \) m ve \( BC = 3 \) m
- \( DE = 8 \) m ve \( EF = 6 \) m
Dik üçgenlerde benzerlik için, birer dik açıları eş olmalarının yanı sıra, birer dar açıların da eş olması gerekir. Veya dik kenarların oranlarının da birbirine eşit olması durumunda benzerlik söz konusu olabilir.
Kenar uzunluklarının oranına bakalım:
\( \frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Dik kenarların oranları eşit olduğundan, bu iki dik üçgen Kenar-Kenar (KK) benzerliği prensibine göre benzerdir. (Bu durum aslında dik üçgenler için özel bir durumdur ve \( \frac{dik kenar 1}{dik kenar 1} = \frac{dik kenar 2}{dik kenar 2} \) olduğunda, bu oranlar hipotenüslerin oranına da eşittir.)
Bu nedenle, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) dir.
Bu durumun günlük hayattaki anlamı şudur:
İkinci salıncak direği, birinci salıncak direğinin iki katı uzunluktadır ve destek çubuğu da iki katı uzunluktadır. Bu, salıncakların daha geniş bir alana yayılmasını veya daha dengeli bir yapıya sahip olmasını sağlayabilir. Ayrıca, şekillerin benzer olması, orantılı bir büyüme veya küçülme olduğunu gösterir. 💡
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın maketini yapmaktadır. Maketin ölçeği 1:100'dür. Yani maketteki her uzunluk, gerçekteki uzunluğun 100'de 1'ine eşittir.
Mimar, maketin ön cephesinde yer alan bir üçgen pencere tasarlamıştır. Bu üçgen pencerenin maketteki kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir.
Bu maketteki pencere üçgeni ile binanın gerçekteki pencere üçgeni arasında nasıl bir ilişki vardır? Gerçek pencerenin kenar uzunlukları ne kadardır? 🤔
Mimar, maketin ön cephesinde yer alan bir üçgen pencere tasarlamıştır. Bu üçgen pencerenin maketteki kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir.
Bu maketteki pencere üçgeni ile binanın gerçekteki pencere üçgeni arasında nasıl bir ilişki vardır? Gerçek pencerenin kenar uzunlukları ne kadardır? 🤔
Çözüm:
Maketteki pencere üçgeni ile binanın gerçekteki pencere üçgeni arasında benzerlik ilişkisi vardır.
Çünkü maket ölçeği, tüm boyutların sabit bir oranla küçültülmüş halidir. Bu da geometrik olarak benzerlik anlamına gelir.
Ölçek 1:100 olduğuna göre, maketteki her uzunluk gerçekte 100 katıdır.
Çünkü maket ölçeği, tüm boyutların sabit bir oranla küçültülmüş halidir. Bu da geometrik olarak benzerlik anlamına gelir.
Ölçek 1:100 olduğuna göre, maketteki her uzunluk gerçekte 100 katıdır.
- Maketteki birinci kenar: 6 cm. Gerçekteki uzunluğu: \( 6 \text{ cm} \times 100 = 600 \text{ cm} = 6 \text{ metre} \).
- Maketteki ikinci kenar: 8 cm. Gerçekteki uzunluğu: \( 8 \text{ cm} \times 100 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ metre} \).
- Maketteki üçüncü kenar: 10 cm. Gerçekteki uzunluğu: \( 10 \text{ cm} \times 100 = 1000 \text{ cm} = 10 \text{ metre} \).
Örnek 7:
İki üçgenin benzer olması için hangi şartlar gereklidir? 💡
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:
- Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eş ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunlukları da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 4 \) cm, \( BC = 6 \) cm ve \( AC = 8 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( DE = 2 \) cm, \( EF = 3 \) cm ve \( DF = 4 \) cm'dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranı nedir? 👉
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranı nedir? 👉
Çözüm:
Verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını inceleyelim.
ABC üçgeninin kenarları: 4 cm, 6 cm, 8 cm.
DEF üçgeninin kenarları: 2 cm, 3 cm, 4 cm.
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
Benzerlik oranı, bu orantı sabitine eşittir, yani 2'dir. 📌
ABC üçgeninin kenarları: 4 cm, 6 cm, 8 cm.
DEF üçgeninin kenarları: 2 cm, 3 cm, 4 cm.
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{AB}{DE} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( \frac{BC}{EF} = \frac{6}{3} = 2 \)
- \( \frac{AC}{DF} = \frac{8}{4} = 2 \)
Benzerlik oranı, bu orantı sabitine eşittir, yani 2'dir. 📌
Örnek 9:
Bir inşaat mühendisi, bir köprü ayağının tasarımını yapmaktadır. Tasarımda, birbirine paralel iki kiriş arasındaki mesafeyi ve bu kirişlere bağlanan çapraz desteklerin uzunluğunu belirlemesi gerekmektedir.
İki kiriş arasındaki mesafe 10 metre olarak planlanmıştır. Bu kirişlere bağlanan ve bir 'X' şekli oluşturan iki çapraz destek bulunmaktadır. Bu çapraz desteklerin kesiştiği nokta, kirişlere olan uzaklıkları orantılı bir şekilde böler.
Diyelim ki, bu çapraz desteklerden biri, üst kirişe olan uzaklığı 4 metre, alt kirişe olan uzaklığı ise 6 metre olacak şekilde kesişmektedir. Bu çapraz desteğin toplam uzunluğu \( 4 + 6 = 10 \) metredir.
Bu durumda oluşan iki üçgenin (üst kirişin bir kısmını ve çapraz desteğin bir parçasını içeren küçük üçgen ile alt kirişin bir kısmını ve çapraz desteğin diğer parçasını içeren büyük üçgen) benzerliği hakkında ne söylenebilir? 💡
İki kiriş arasındaki mesafe 10 metre olarak planlanmıştır. Bu kirişlere bağlanan ve bir 'X' şekli oluşturan iki çapraz destek bulunmaktadır. Bu çapraz desteklerin kesiştiği nokta, kirişlere olan uzaklıkları orantılı bir şekilde böler.
Diyelim ki, bu çapraz desteklerden biri, üst kirişe olan uzaklığı 4 metre, alt kirişe olan uzaklığı ise 6 metre olacak şekilde kesişmektedir. Bu çapraz desteğin toplam uzunluğu \( 4 + 6 = 10 \) metredir.
Bu durumda oluşan iki üçgenin (üst kirişin bir kısmını ve çapraz desteğin bir parçasını içeren küçük üçgen ile alt kirişin bir kısmını ve çapraz desteğin diğer parçasını içeren büyük üçgen) benzerliği hakkında ne söylenebilir? 💡
Çözüm:
Bu durumda, çapraz desteklerin kesişim noktası, kirişler arasındaki mesafeyi bölen bir doğru parçasıdır. Bu doğru parçası, iki paralel kiriş ile kesiştiğinde, iç ters açılar ve yöndeş açılar kullanılarak benzer üçgenler oluşturulur.
Şekilde oluşan iki üçgeni ele alalım:
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Bu durumda, çapraz desteğin üst parçasının alt parçasına oranı, küçük üçgenin tabanının büyük üçgenin tabanına oranına eşittir.
Yani, benzerlik oranı \( \frac{4 \text{ m}}{6 \text{ m}} = \frac{2}{3} \) olur. Bu oran, küçük üçgenin tüm kenar uzunluklarının büyük üçgenin karşılıklı kenar uzunluklarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğunu gösterir. ✅
Şekilde oluşan iki üçgeni ele alalım:
- Küçük üçgen: Üst kirişin bir kısmını, çapraz desteğin üst parçasını ve kirişler arasındaki mesafenin bir bölümünü içeren üçgen.
- Büyük üçgen: Alt kirişin bir kısmını, çapraz desteğin alt parçasını ve kirişler arasındaki mesafenin tamamını içeren üçgen.
- Kirişler birbirine paralel olduğundan, çapraz destek üzerindeki kesişim noktası ile kirişler arasındaki mesafeyi bölen doğru arasındaki açılar iç ters açılardır. Dolayısıyla bu açılar eşittir.
- Ayrıca, çapraz desteklerin üst ve alt kirişlerle yaptığı açılar da birbirine eşittir (iç ters açılar veya yöndeş açılar prensibiyle).
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Bu durumda, çapraz desteğin üst parçasının alt parçasına oranı, küçük üçgenin tabanının büyük üçgenin tabanına oranına eşittir.
Yani, benzerlik oranı \( \frac{4 \text{ m}}{6 \text{ m}} = \frac{2}{3} \) olur. Bu oran, küçük üçgenin tüm kenar uzunluklarının büyük üçgenin karşılıklı kenar uzunluklarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğunu gösterir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-eslik-ve-benzerlik/sorular