📄 9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerlik Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

ABC üçgeni ile ACB üçgeninin eşliğini göstermek için KAK (Kenar-Açı-Kenar) eşlik kuralını kullanacağız.

1. Kenar: Soruda |AB| = |AC| olduğu verilmiştir. Bu, iki üçgenin birer kenarının eşit olduğunu gösterir.
2. Açı: ABC üçgeninde m(\hat{B}) açısı ile ACB üçgeninde m(\hat{C}) açısı m(\hat{B}) = m(\hat{C}) olarak verilmiştir. Bu, iki üçgenin birer açısının eş olduğunu gösterir.
3. Kenar: Şimdi iki kenar arasındaki açılara bakalım. ABC üçgeninde AB kenarı ile AC kenarı arasındaki açı m(\hat{A})'dır. ACB üçgeninde ise AC kenarı ile AB kenarı arasındaki açı yine m(\hat{A})'dır. Dolayısıyla, bu iki açı da birbirine eşittir (m(\hat{BAC}) = m(\hat{CAB})).

Sonuç olarak, ABC üçgeninin AB kenarı, ACB üçgeninin AC kenarına; ABC üçgeninin AC kenarı, ACB üçgeninin AB kenarına ve bu kenarlar arasındaki açılar olan m(\hat{A}) açıları da birbirine eşittir. Bu durum KAK eşlik kuralını sağlar. Bu nedenle, ABC üçgeni ile ACB üçgeni KAK eşlik kuralına göre eştir. (ABC ≅ ACB)

Not: Soruda verilen |BD| = |CE| bilgisi, eşlik için doğrudan gerekli olmasa da, şeklin simetrisini veya ek özellikleri vurgulamak için verilmiş olabilir. Ancak KAK kuralını göstermek için |AB|=|AC|, m(\hat{B})=m(\hat{C}) ve aralarındaki açının eşliği yeterlidir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgen birbirine benzediğinde, karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. Verilen kenar uzunluklarına göre benzerlik oranını hesaplayalım:

Oran 1: \frac{18 \text{ cm}}{6 \text{ cm}} = 3
Oran 2: \frac{24 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = 3

Her iki oranın da 3 olması, benzerlik oranının k=3 olduğunu gösterir. Bu, büyük üçgenin kenarlarının küçük üçgenin karşılıklı kenarlarının 3 katı olduğu anlamına gelir.

Şimdi üçüncü kenarları ele alalım. Küçük üçgenin üçüncü kenar uzunluğuna x diyelim. Büyük üçgenin üçüncü kenar uzunluğu ise benzerlik oranı 3 olduğu için 3x olacaktır.

Soruda bu iki kenarın uzunlukları toplamının 40 cm olduğu verilmiştir:
x + 3x = 40 \text{ cm}
4x = 40 \text{ cm}
x = \frac{40}{4} \text{ cm}
x = 10 \text{ cm}

Buna göre:
Küçük üçgenin üçüncü kenarı: x = 10 cm
Büyük üçgenin üçüncü kenarı: 3x = 3 \times 10 = 30 cm

Sonuç olarak, bu iki üçgenin benzerlik oranı 3'tür. Üçüncü kenarlarının uzunlukları ise 10 cm ve 30 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin eş olması için yeterli olan durumları inceleyelim:

I. Üç açıları da eş ise:
Üç açısı da eş olan üçgenler benzerdir ancak eş olmak zorunda değildirler. Örneğin, her ikisi de eşkenar olan iki üçgenin açıları 60-60-60'tır ve benzerdirler, ancak kenar uzunlukları farklı olabilir, bu yüzden eş olmayabilirler. Bu nedenle, sadece üç açının eş olması eşlik için yeterli değildir. (Bu durum benzerlik için yeterlidir.)

II. İki kenarı ve aralarındaki açıları eş ise:
Bu durum KAK (Kenar-Açı-Kenar) eşlik kuralıdır. Eğer iki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüleri birbirine eşitse, bu iki üçgen kesinlikle eştir. Bu, eşlik için yeterli bir koşuldur.

III. Üç kenar uzunlukları da eş ise:
Bu durum KKK (Kenar-Kenar-Kenar) eşlik kuralıdır. Eğer iki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da birbirine eşitse, bu iki üçgen kesinlikle eştir. Bu da eşlik için yeterli bir koşuldur.

Sonuç:
İki üçgenin eş olması için yeterli olan durumlar II ve III'tür. I. durum ise sadece benzerlik için yeterlidir.