💡 9. Sınıf Matematik: Thales teoremi ve Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler

Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.

• Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
• Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = x^2 \)
• Toplamı bulalım: \( 225 = x^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{225} \)
• Sonuç: \( x = 15 \) birimdir. ✅

💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin 3 katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.

Thales teoremi uyarınca, paralel doğrular kesenleri orantılı parçalara böler.

• Orantı kuralı: Parçaların birbirine oranı sabittir.
• Denklemi kuralım: \[ \frac{4}{6} = \frac{x}{9} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 6 \times x = 4 \times 9 \)
• \( 6x = 36 \)
• Her iki tarafı 6'ya bölelim: \( x = 6 \)
• Sonuç: \( x = 6 \) cm olarak bulunur. ✅

Üçgenlerde temel benzerlik (Thales) teoremini uygulayalım:

• Küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir.
• Benzerlik Oranı: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
• Kenar uzunluklarını toplayarak \( |AB| \) uzunluğunu bulalım: \( |AB| = 5 + 3 = 8 \) cm.
• Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{5}{8} = \frac{10}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı: \( 5 \times x = 8 \times 10 \)
• \( 5x = 80 \)
• \( x = 16 \)
• Sonuç: \( |BC| = 16 \) cm'dir. ✅

Bu problemde yer, duvar ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Duvar yere dik kabul edilir.

• Hipotenüs (Merdiven): \( c = 17 \)
• Yatay Kenar (Uzaklık): \( a = 8 \)
• Dikey Kenar (Yükseklik): \( b = x \)
• Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( 8^2 + x^2 = 17^2 \)
• \( 64 + x^2 = 289 \)
• \( x^2 = 289 - 64 \)
• \( x^2 = 225 \)
• \( x = 15 \)
• Sonuç: Merdivenin üst ucu yerden 15 metre yüksekliktedir. ✅

Paralellikten dolayı ABC ve DEC üçgenleri arasında Kelebek benzerliği vardır.

• Benzerlik Oranı: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|CD|} \)
• Değerleri yerleştirelim: \[ \frac{6}{18} = \frac{4}{x} \]
• Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1}{3} = \frac{4}{x} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \times x = 3 \times 4 \)
• Sonuç: \( x = 12 \) birim bulunur. ✅

Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur.

• Öğrenci Oranı: \( \frac{\text{Boy}}{\text{Gölge}} = \frac{1.5}{2} \)
• Direk Oranı: \( \frac{x}{12} \)
• Bu iki oran birbirine eşittir: \[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \]
• İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 1.5 \times 12 \)
• \( 2x = 18 \)
• \( x = 9 \)
• Sonuç: Bayrak direğinin boyu 9 metredir. ✅

Dikdörtgenin köşegeni, iki adet dik üçgen oluşturur. En kısa yol hipotenüstür.

• Kenarlar: \( a = 60 \), \( b = 80 \)
• Kestirme yol (köşegen): \( x \)
• Pisagor bağıntısı: \( 60^2 + 80^2 = x^2 \)
• \( 3600 + 6400 = x^2 \)
• \( 10000 = x^2 \)
• \( x = 100 \)
• Kısa Yol: \( 3-4-5 \) üçgeninin 20 katı olan \( 60-80-100 \) üçgeninden de bulunabilir.
• Sonuç: Karıncanın gideceği en kısa yol 100 metredir. ✅

Bu soruda iki kez Pisagor teoremi uygulamamız gerekir.

• 1. Adım (ABD üçgeni): \( |AB|=8 \), \( |BD|=6 \).
  \( |AD|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies |AD| = 10 \) birim.
• 2. Adım (ABC üçgeni): \( |AB|=8 \), \( |BC| = |BD| + |DC| = 6 + 9 = 15 \) birim.
  \( |AC|^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \implies |AC| = 17 \) birim.
• 3. Adım (Farkı bulma): \( |AC| - |AD| = 17 - 10 = 7 \)
• Sonuç: \( |AC| \) uzunluğu \( |AD| \)'den 7 birim fazladır. ✅