💡 9. Sınıf Matematik: Thales teoremi ve Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Pisagor Teoremi Temel Uygulama:
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) olarak verilmiştir. Kenar uzunlukları \( |AB| = 9 \) birim ve \( |BC| = 12 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( |AC| = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = x^2 \)
Toplamı bulalım: \( 225 = x^2 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{225} \)
Sonuç: \( x = 15 \) birimdir. ✅
💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin 3 katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Thales Teoremi (Paralel Doğrular):
Birbirine paralel \( d1, d2, d3 \) doğruları, iki farklı kesenle kesilmektedir. Birinci kesen üzerinde ayrılan parçaların uzunlukları 4 cm ve 6 cm'dir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar \( x \) cm ve 9 cm olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Thales teoremi uyarınca, paralel doğrular kesenleri orantılı parçalara böler.
Orantı kuralı: Parçaların birbirine oranı sabittir.
Bir ABC üçgeninde \( [DE] // [BC] \) dir. D noktası \( [AB] \) üzerinde, E noktası \( [AC] \) üzerindedir.
\( |AD| = 5 \) cm, \( |DB| = 3 \) cm ve \( |DE| = 10 \) cm olduğuna göre, taban uzunluğu olan \( |BC| = x \) kaç cm'dir? 🔺
Çözüm ve Açıklama
Üçgenlerde temel benzerlik (Thales) teoremini uygulayalım:
Küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir.
Boyu 17 metre olan bir itfaiye merdiveni, bir binanın duvarına yaslanmıştır. Merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı 8 metredir. Buna göre, merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği kaç metredir? 🚒
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde yer, duvar ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Duvar yere dik kabul edilir.
Sonuç: Merdivenin üst ucu yerden 15 metre yüksekliktedir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Kelebek (Papyon) Benzerliği:
AD ve BE doğruları C noktasında kesişmektedir. \( [AB] // [DE] \) olduğu bilinmektedir.
\( |AB| = 6 \) birim, \( |DE| = 18 \) birim ve \( |AC| = 4 \) birim olduğuna göre, \( |CD| = x \) kaç birimdir? 🦋
Çözüm ve Açıklama
Paralellikten dolayı ABC ve DEC üçgenleri arasında Kelebek benzerliği vardır.
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metredir. Aynı anda yanındaki bayrak direğinin gölge boyu 12 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre, bayrak direğinin gerçek boyu kaç metredir? 🚩
Çözüm ve Açıklama
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur.
Öğrenci Oranı: \( \frac{\text{Boy}}{\text{Gölge}} = \frac{1.5}{2} \)
Direk Oranı: \( \frac{x}{12} \)
Bu iki oran birbirine eşittir: \[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \]
Kenar uzunlukları 60 metre ve 80 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir parkın A köşesinde bulunan bir karınca, parkın içinden doğrusal bir şekilde ilerleyerek zıt köşedeki C noktasına gitmek istiyor. Karıncanın gideceği bu en kısa yol kaç metredir? 🐜
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin köşegeni, iki adet dik üçgen oluşturur. En kısa yol hipotenüstür.
Kenarlar: \( a = 60 \), \( b = 80 \)
Kestirme yol (köşegen): \( x \)
Pisagor bağıntısı: \( 60^2 + 80^2 = x^2 \)
\( 3600 + 6400 = x^2 \)
\( 10000 = x^2 \)
\( x = 100 \)
Kısa Yol: \( 3-4-5 \) üçgeninin 20 katı olan \( 60-80-100 \) üçgeninden de bulunabilir.
Sonuç: Karıncanın gideceği en kısa yol 100 metredir. ✅
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
İç İçe Dik Üçgenler:
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \)'dir. \( |AB| = 8 \) birimdir. \( [BC] \) üzerinde bir D noktası işaretleniyor. \( |BD| = 6 \) birim ve \( |DC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| \) uzunluğu \( |AD| \) uzunluğundan kaç birim fazladır? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda iki kez Pisagor teoremi uygulamamız gerekir.
9. Sınıf Matematik: Thales teoremi ve Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Pisagor Teoremi Temel Uygulama:
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) olarak verilmiştir. Kenar uzunlukları \( |AB| = 9 \) birim ve \( |BC| = 12 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( |AC| = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = x^2 \)
Toplamı bulalım: \( 225 = x^2 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{225} \)
Sonuç: \( x = 15 \) birimdir. ✅
💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin 3 katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.
Örnek 2:
Thales Teoremi (Paralel Doğrular):
Birbirine paralel \( d1, d2, d3 \) doğruları, iki farklı kesenle kesilmektedir. Birinci kesen üzerinde ayrılan parçaların uzunlukları 4 cm ve 6 cm'dir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar \( x \) cm ve 9 cm olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📏
Çözüm:
Thales teoremi uyarınca, paralel doğrular kesenleri orantılı parçalara böler.
Orantı kuralı: Parçaların birbirine oranı sabittir.
Bir ABC üçgeninde \( [DE] // [BC] \) dir. D noktası \( [AB] \) üzerinde, E noktası \( [AC] \) üzerindedir.
\( |AD| = 5 \) cm, \( |DB| = 3 \) cm ve \( |DE| = 10 \) cm olduğuna göre, taban uzunluğu olan \( |BC| = x \) kaç cm'dir? 🔺
Çözüm:
Üçgenlerde temel benzerlik (Thales) teoremini uygulayalım:
Küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir.
Boyu 17 metre olan bir itfaiye merdiveni, bir binanın duvarına yaslanmıştır. Merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı 8 metredir. Buna göre, merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği kaç metredir? 🚒
Çözüm:
Bu problemde yer, duvar ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Duvar yere dik kabul edilir.
Sonuç: Merdivenin üst ucu yerden 15 metre yüksekliktedir. ✅
Örnek 5:
Kelebek (Papyon) Benzerliği:
AD ve BE doğruları C noktasında kesişmektedir. \( [AB] // [DE] \) olduğu bilinmektedir.
\( |AB| = 6 \) birim, \( |DE| = 18 \) birim ve \( |AC| = 4 \) birim olduğuna göre, \( |CD| = x \) kaç birimdir? 🦋
Çözüm:
Paralellikten dolayı ABC ve DEC üçgenleri arasında Kelebek benzerliği vardır.
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metredir. Aynı anda yanındaki bayrak direğinin gölge boyu 12 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre, bayrak direğinin gerçek boyu kaç metredir? 🚩
Çözüm:
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur.
Öğrenci Oranı: \( \frac{\text{Boy}}{\text{Gölge}} = \frac{1.5}{2} \)
Direk Oranı: \( \frac{x}{12} \)
Bu iki oran birbirine eşittir: \[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \]
Kenar uzunlukları 60 metre ve 80 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir parkın A köşesinde bulunan bir karınca, parkın içinden doğrusal bir şekilde ilerleyerek zıt köşedeki C noktasına gitmek istiyor. Karıncanın gideceği bu en kısa yol kaç metredir? 🐜
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegeni, iki adet dik üçgen oluşturur. En kısa yol hipotenüstür.
Kenarlar: \( a = 60 \), \( b = 80 \)
Kestirme yol (köşegen): \( x \)
Pisagor bağıntısı: \( 60^2 + 80^2 = x^2 \)
\( 3600 + 6400 = x^2 \)
\( 10000 = x^2 \)
\( x = 100 \)
Kısa Yol: \( 3-4-5 \) üçgeninin 20 katı olan \( 60-80-100 \) üçgeninden de bulunabilir.
Sonuç: Karıncanın gideceği en kısa yol 100 metredir. ✅
Örnek 8:
İç İçe Dik Üçgenler:
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \)'dir. \( |AB| = 8 \) birimdir. \( [BC] \) üzerinde bir D noktası işaretleniyor. \( |BD| = 6 \) birim ve \( |DC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| \) uzunluğu \( |AD| \) uzunluğundan kaç birim fazladır? 📐
Çözüm:
Bu soruda iki kez Pisagor teoremi uygulamamız gerekir.