🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales teoremi öklid pasaport teoremleri üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales teoremi öklid pasaport teoremleri üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 10 cm, AC kenarı 15 cm ve BC kenarı 12 cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin çevresinin, tüm kenar uzunluklarının toplamı olduğunu hatırlamalıyız.
- Adım 1: Verilen kenar uzunluklarını belirleyelim: AB = 10 cm, AC = 15 cm, BC = 12 cm.
- Adım 2: Çevreyi hesaplamak için bu uzunlukları toplayalım: Çevre = AB + AC + BC
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: Çevre = 10 cm + 15 cm + 12 cm
- Adım 4: Toplama işlemini yapalım: Çevre = 37 cm.
Örnek 2:
Bir doğru parçası üzerinde A, B ve C noktaları bulunmaktadır. A ile B arasındaki mesafe 8 birim, B ile C arasındaki mesafe ise 5 birimdir. A ile C arasındaki mesafe kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu problemde, doğru üzerindeki noktaların mesafelerini toplama prensibini kullanacağız.
- Adım 1: Noktaların sıralamasını göz önünde bulunduralım. Eğer B noktası A ve C arasındaysa, AC mesafesi AB ve BC mesafelerinin toplamıdır.
- Adım 2: Verilen mesafeleri toplayalım: AC = AB + BC
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: AC = 8 birim + 5 birim
- Adım 4: Toplama işlemini tamamlayalım: AC = 13 birim.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası AB kenarına paraleldir ve D noktası AC kenarı üzerindedir, E noktası BC kenarı üzerindedir. AC = 20 cm, DC = 8 cm ve DE = 6 cm ise AB uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soru, Thales Teoremi'nin bir uygulamasıdır. Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantıları kullanacağız.
- Adım 1: DE // AB olduğundan, Thales Teoremi'ne göre C noktasından çıkan ışınlar üzerinde orantılılık vardır.
- Adım 2: Orantıyı kuralım: \( \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} \)
- Adım 3: Bize verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{8}{20} = \frac{6}{AB} \)
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak AB'yi bulalım: \( 8 \times AB = 20 \times 6 \)
- Adım 5: Denklemi çözelim: \( 8 \times AB = 120 \)
- Adım 6: AB'yi yalnız bırakalım: \( AB = \frac{120}{8} \)
- Adım 7: Bölme işlemini yapalım: \( AB = 15 \) cm.
Örnek 4:
Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse bir dikme indiriliyor. Bu dikme hipotenüsü iki parçaya ayırıyor. Hipotenüs üzerindeki bu parçaların uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problem, Öklid'in dikme teoremi (yükseklik teoremi) ile çözülür.
- Adım 1: Öklid'in dikme teoremi şunu söyler: Dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
- Adım 2: Teoremi formüle edelim: \( h^2 = p \times k \), burada \( h \) dikmenin uzunluğu, \( p \) ve \( k \) hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarıdır.
- Adım 3: Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( h^2 = 4 \times 9 \)
- Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 36 \)
- Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \)'yi bulalım: \( h = \sqrt{36} \)
- Adım 6: Karekökü hesaplayalım: \( h = 6 \) cm.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB kenarı 6 cm ve AC kenarı 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü BC kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
- Adım 1: Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Formülü şöyledir: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( 6^2 + 8^2 = BC^2 \)
- Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = BC^2 \)
- Adım 4: Toplama işlemini yapalım: \( 100 = BC^2 \)
- Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alarak BC'yi bulalım: \( BC = \sqrt{100} \)
- Adım 6: Karekökü hesaplayalım: \( BC = 10 \) cm.
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın planını çizerken, iki paralel duvar arasında kalan bir merdivenin basamaklarını tasarlıyor. Merdivenin başlangıç noktası ile bitiş noktası arasındaki yatay mesafe 3 metre, dikey mesafe ise 2 metredir. Eğer merdivenin her bir basamağının genişliği (yatayda) 0.3 metre ise, bu merdiven kaç basamaklıdır? 📏
Çözüm:
Bu problem, bir bütünün parçalara ayrılması ve oranlama mantığı ile çözülebilir.
- Adım 1: Merdivenin toplam yatay mesafesini belirleyelim: 3 metre.
- Adım 2: Her bir basamağın yatay genişliğini belirleyelim: 0.3 metre.
- Adım 3: Toplam yatay mesafeyi, bir basamağın yatay genişliğine bölerek basamak sayısını bulalım: Basamak Sayısı = Toplam Yatay Mesafe / Bir Basamak Genişliği
- Adım 4: Değerleri yerine koyalım: Basamak Sayısı = \( \frac{3 \text{ metre}}{0.3 \text{ metre}} \)
- Adım 5: Bölme işlemini yapalım: Basamak Sayısı = 10.
Örnek 7:
Bir fotoğrafçı, bir manzarayı çekerken, kadrajının önündeki bir ağacın fotoğrafın ortasında görünmesini istiyor. Ağacın fotoğraf makinesine olan uzaklığı 20 metre. Ağacın boyu 5 metre. Fotoğraf makinesinin lensinin görüş açısı 60 derece ise, ağacın fotoğrafın ne kadarını kaplayacağını yaklaşık olarak nasıl hesaplayabilir? 📏
Çözüm:
Bu problem, trigonometrinin temel prensiplerini ve benzerlik kavramını kullanarak çözülebilir. Ancak 9. sınıf müfredatı kapsamında, daha çok benzerlik ve oranlarla açıklanabilir. Basit bir yaklaşım sunalım.
- Adım 1: Görüş açısı 60 derece olduğunda, bu açının tepe noktası lensin merkezidir. Bu açının kolları, fotoğraf makinesinin görebildiği en geniş alanı temsil eder.
- Adım 2: Basit bir yaklaşımla, ağacın fotoğraf makinesine olan uzaklığı (20 metre) ile ağacın boyu (5 metre) arasındaki oranı düşünebiliriz.
- Adım 3: Eğer ağaç, fotoğraf makinesinin görüş açısının tam ortasında ve görüş alanının önemli bir kısmını kaplıyorsa, ağacın boyunun, makinenin görüş alanının dikey olarak ne kadarını kapladığını tahmin edebiliriz.
- Adım 4: Tam bir hesaplama için trigonometri (tanjant) gerekir, ancak bu seviyede şunu söyleyebiliriz: Ağacın boyu (5m), makinenin uzaklığına (20m) oranla \( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \) kadardır.
- Adım 5: Bu oran, ağacın makinenin görüş alanının dikey olarak yaklaşık olarak 1/4'ünü kaplayacağını gösterir. Eğer görüş açısı simetrik ise, ağaç kadrajın orta kısmında yer alacaktır.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası veriliyor. AD = 6 cm, DC = 4 cm ve BE = 9 cm'dir. Eğer AB // DE ise, AE uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soru, Thales Teoremi'nin (Benzer Üçgenler) bir uygulamasıdır.
- Adım 1: AB // DE olduğundan, C noktasından çıkan ışınlar üzerinde orantılılık vardır. Bu durum, CDE üçgeninin CAB üçgenine benzer olmasını sağlar.
- Adım 2: Benzerlik oranını kuralım: \( \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} \)
- Adım 3: Verilen değerleri kullanarak CA ve CB uzunluklarını bulalım:
- CA = CD + DA = 4 cm + 6 cm = 10 cm
- CB = CE + EB. EB = 9 cm olarak verilmiş. CE'yi bulmamız gerekiyor.
- Adım 4: Orantının ilk iki kısmını kullanarak CE'yi bulalım: \( \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} \)
- Adım 5: Bilinen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{10} = \frac{CE}{CE + 9} \)
- Adım 6: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times (CE + 9) = 10 \times CE \)
- Adım 7: Denklemi çözelim: \( 4 \times CE + 36 = 10 \times CE \)
- Adım 8: \( 36 = 10 \times CE - 4 \times CE \)
- Adım 9: \( 36 = 6 \times CE \)
- Adım 10: \( CE = \frac{36}{6} = 6 \) cm.
- Adım 11: Şimdi AE uzunluğunu bulmak için AC kenarının tamamını (10 cm) ve CE'yi (6 cm) kullanabiliriz. AE = AC - CE
- Adım 12: AE = 10 cm - 6 cm = 4 cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-teoremi-oklid-pasaport-teoremleri-ucgenler/sorular