💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid, Pisagor Bağıntıları Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız. Pisagor Bağıntısı, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

• Dik kenarlarımız \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun.
• Hipotenüsümüz \(c\) olsun.
• Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• Değerleri yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
• Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
• Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
• Hipotenüsün uzunluğu: \(c = 10\) cm

Sonuç olarak, hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir. ✅

Bu soruda, Thales Teoremi'nin temel mantığı olan kenar uzunluklarının toplamı ile çevrenin bulunması prensibini kullanacağız.

• Üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir:
• AB kenarı = 10 birim
• AC kenarı = 12 birim
• BC kenarı = 14 birim
• Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
• Çevre = AB + AC + BC
• Değerleri yerine koyalım: Çevre = 10 + 12 + 14
• Toplamı hesaplayalım: Çevre = 36 birim

Bu ABC üçgeninin çevresi 36 birim'dir. 💡

Bu soruda Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız. Bu bağıntı, dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki izdüşümünün uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşit olduğunu ifade eder. Ancak bu soruda doğrudan dik kenarı bulmak için Pisagor bağıntısını kullanmak daha pratiktir. Öklid'in dik kenar bağıntısını kullanmak için ek bilgilere (örneğin, dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü) ihtiyaç duyarız. Bu nedenle, Pisagor bağıntısını kullanarak soruyu çözeceğiz.

• Dik kenarlardan biri \(a = 5\) cm ve hipotenüs \(c = 13\) cm olsun.
• Diğer dik kenar \(b\) olsun.
• Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\)
• Kareleri hesaplayalım: \(25 + b^2 = 169\)
• \(b^2\) 'yi yalnız bırakalım: \(b^2 = 169 - 25\)
• Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 144\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{144}\)
• Diğer dik kenarın uzunluğu: \(b = 12\) cm

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. ✅

Bu problemde, Pisagor Bağıntısı'nı kullanarak iki ağaç arasındaki mesafeyi bulacağız. Bahçıvanın durduğu nokta, ilk ağaç ve ikinci ağaç bir dik üçgen oluşturmaktadır.

• Dik kenarlardan biri, bahçıvanın ilk ağaca olan uzaklığıdır: \(a = 10\) metre.
• Diğer dik kenar, bahçıvanın ikinci ağaca doğru ilerlediği mesafedir: \(b = 8\) metre.
• İki ağaç arasındaki gerçek mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür: \(c\).
• Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• Değerleri yerine koyalım: \(10^2 + 8^2 = c^2\)
• Kareleri hesaplayalım: \(100 + 64 = c^2\)
• Toplamı bulalım: \(164 = c^2\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{164}\)
• Hipotenüsün uzunluğu yaklaşık olarak \(c \approx 12.8\) metredir.

İki ağaç arasındaki gerçek mesafe yaklaşık olarak 12.8 metre'dir. 📏

Bu durum, Pisagor Bağıntısı'nın bir uygulamasıdır. 3-4-5 üçgeni, kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 olan bir dik üçgendir. Bu kuralın genelleştirilmiş hali, kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\) olan bir dik üçgen için \(a^2 + b^2 = c^2\) bağıntısının sağlanmasıdır.

• Duvar boyunca ölçülen mesafe bir dik kenar (örneğin \(a\)) olarak alınır.
• Yere dik olarak ölçülen mesafe diğer dik kenar (örneğin \(b\)) olarak alınır.
• Duvarın dik olması durumunda, bu iki nokta arasındaki mesafe hipotenüs (\(c\)) olur.
• Bu soruda, duvar boyunca \(a = 6\) birim ve yere dik olarak \(b = 8\) birim ölçülüyor.
• Duvarın dik olması için hipotenüs \(c\) şu şekilde hesaplanır:
• \(c^2 = a^2 + b^2\)
• \(c^2 = 6^2 + 8^2\)
• \(c^2 = 36 + 64\)
• \(c^2 = 100\)
• \(c = \sqrt{100}\)
• \(c = 10\) birim

Duvarın dik olması için iki nokta arasındaki mesafe 10 birim olmalıdır. Bu, 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir. ✅

Bu soruda Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı ve Pisagor Bağıntısı'nı birlikte kullanacağız. Öklid'in yükseklik bağıntısı, dik üçgende yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu söyler: \(h^2 = BD \times DC\). Ancak bu bağıntıyı doğrudan kullanabilmek için önce yükseklik ve kenar parçalarını bulmamız gerekir.

• Öncelikle, ABC üçgeninin çevresini hesaplayalım: Çevre = 13 + 15 + 14 = 42 birim.
• Bu üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplayabiliriz (ancak 9. sınıf müfredatında Heron formülü olmayabilir, bu nedenle farklı bir yol izleyelim).
• ABC üçgeninde yükseklik \(h\) olsun ve BC kenarı üzerindeki ayağı D noktası olsun.
• ABD dik üçgeninde Pisagor Bağıntısı: \(h^2 + BD^2 = AB^2 \Rightarrow h^2 + BD^2 = 13^2 = 169\)
• ADC dik üçgeninde Pisagor Bağıntısı: \(h^2 + DC^2 = AC^2 \Rightarrow h^2 + DC^2 = 15^2 = 225\)
• Ayrıca biliyoruz ki \(BD + DC = BC = 14\). Buradan \(DC = 14 - BD\) yazabiliriz.
• İlk denklemden \(h^2 = 169 - BD^2\).
• İkinci denklemde \(h^2\) yerine bunu yazalım: \((169 - BD^2) + (14 - BD)^2 = 225\)
• Denklemi açalım: \(169 - BD^2 + (196 - 28 BD + BD^2) = 225\)
• \(BD^2\) terimleri birbirini götürür: \(169 + 196 - 28 BD = 225\)
• \(365 - 28 BD = 225\)
• \(28 BD = 365 - 225\)
• \(28 BD = 140\)
• \(BD = \frac{140}{28} = 5\) birim
• Şimdi \(DC\) 'yi bulalım: \(DC = 14 - BD = 14 - 5 = 9\) birim
• Son olarak yüksekliği bulalım: \(h^2 = 169 - BD^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)
• \(h = \sqrt{144} = 12\) birim
• Öklid'in Yükseklik Bağıntısı ile kontrol edelim: \(h^2 = BD \times DC \Rightarrow 12^2 = 5 \times 9 \Rightarrow 144 = 45\). Bu bir hata olduğunu gösterir. Öklid'in yükseklik bağıntısı sadece dik üçgenler için geçerlidir. Bu üçgen dik üçgen değildir.
• Bu nedenle, Öklid'in yükseklik bağıntısı bu üçgen için doğrudan uygulanamaz. Ancak yükseklik ve kenar parçalarını bulmak için Pisagor teoremini kullandık.

Yüksekliğin uzunluğu 12 birim, BD uzunluğu 5 birim ve DC uzunluğu 9 birim'dir. 📏

Bu soruda hem Pisagor Bağıntısı hem de Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız.
1. Hipotenüsün Uzunluğunu Bulma (Pisagor Bağıntısı):

• Dik kenarlar \(a = BC = 15\) cm ve \(b = AC = 8\) cm olsun.
• Hipotenüs \(c = AB\) olsun.
• Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• Değerleri yerine koyalım: \(15^2 + 8^2 = c^2\)
• Kareleri hesaplayalım: \(225 + 64 = c^2\)
• Toplamı bulalım: \(289 = c^2\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{289}\)
• Hipotenüsün uzunluğu: \(c = 17\) cm

Hipotenüs AB'nin uzunluğu 17 cm'dir. ✅
2. Yüksekliğin Uzunluğunu Bulma (Öklid'in Yükseklik Bağıntısı):

• Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir: Alan = \(\frac{a \times b}{2}\).
• Alan = \(\frac{15 \times 8}{2} = \frac{120}{2} = 60\) cm².
• Aynı zamanda alan, hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısına da eşittir: Alan = \(\frac{c \times h}{2}\).
• Burada \(h\), C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.
• \(60 = \frac{17 \times h}{2}\)
• \(120 = 17 \times h\)
• \(h = \frac{120}{17}\) cm

Öklid'in yükseklik bağıntısı \(h^2 = BD \times DC\) şeklindedir, ancak bu bağıntıyı kullanmak için önce BD ve DC uzunluklarını bulmamız gerekir. Onları bulmak yerine, alanı kullanarak yüksekliği daha kolay hesapladık.
Eğer Öklid'in dik kenar bağıntılarını kullanmak istersek:

• \(a^2 = c \times BD \Rightarrow 15^2 = 17 \times BD \Rightarrow 225 = 17 \times BD \Rightarrow BD = \frac{225}{17}\) cm
• \(b^2 = c \times DC \Rightarrow 8^2 = 17 \times DC \Rightarrow 64 = 17 \times DC \Rightarrow DC = \frac{64}{17}\) cm
• Şimdi yükseklik bağıntısını uygulayabiliriz: \(h^2 = BD \times DC\)
• \(h^2 = \frac{225}{17} \times \frac{64}{17} = \frac{14400}{289}\)
• \(h = \sqrt{\frac{14400}{289}} = \frac{120}{17}\) cm

Yüksekliğin uzunluğu \(\frac{120}{17}\) cm'dir. 📏

Bu soruda, Thales Teoremi'nin temelindeki orantı mantığını kullanarak harita üzerindeki mesafeyi gerçek mesafeye çevireceğiz.

• Harita üzerindeki mesafe = 5 cm
• Harita ölçeği = 1:500.000
• Bu ölçek, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 500.000 cm'ye karşılık geldiğini belirtir.
• Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçek ile çarparız:
• Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi (cm) × Ölçek Değeri
• Gerçek Mesafe (cm) = 5 cm × 500.000
• Gerçek Mesafe (cm) = 2.500.000 cm
• Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
• 1 kilometre = 100.000 cm
• Gerçek Mesafe (km) = Gerçek Mesafe (cm) / 100.000
• Gerçek Mesafe (km) = 2.500.000 cm / 100.000 cm/km
• Gerçek Mesafe (km) = 25 km

A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe 25 kilometre'dir. 💡

Bu problemde, Pisagor Bağıntısı'nı kullanarak K ve L noktaları arasındaki en kısa mesafeyi bulacağız. K noktasından O noktasına olan uzaklık ve L noktasından O noktasına olan uzaklık, dik kenarları oluşturur.

• O noktasından K noktasına olan uzaklık bir dik kenardır: \(a = 7\) metre.
• O noktasından L noktasına olan uzaklık diğer dik kenardır: \(b = 24\) metre.
• K ve L noktaları arasındaki en kısa mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür: \(c\).
• Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• Değerleri yerine koyalım: \(7^2 + 24^2 = c^2\)
• Kareleri hesaplayalım: \(49 + 576 = c^2\)
• Toplamı bulalım: \(625 = c^2\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{625}\)
• Hipotenüsün uzunluğu: \(c = 25\) metre

K ve L noktaları arasındaki en kısa mesafe 25 metre'dir. ✅