📝 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid, Pisagor Bağıntıları Ders Notu
9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid ve Pisagor Bağıntıları
Bu derste, geometriye temel oluşturan üç önemli bağıntıyı inceleyeceğiz: Thales Bağıntıları, Öklid Bağıntıları ve Pisagor Bağıntısı. Bu kavramlar, özellikle dik üçgenler ve benzerlik konularında karşımıza çıkarak birçok problem çözümünde bize yardımcı olacaktır.
Thales Bağıntıları (Benzerlikten Türeyenler)
Thales bağıntıları, temelde benzer üçgenler arasındaki kenar oranlarından yola çıkarak elde edilir. Paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu benzer üçgenlerde kenarlar arasında sabit bir oran vardır.
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. A noktası D ve E noktalarının dışındadır. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm ise EC uzunluğunu bulalım.
Bu durumda ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı şu şekildedir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]Verilen değerleri yerine koyarsak:
\[ \frac{4}{4+6} = \frac{5}{5+EC} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{5}{5+EC} \]İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 4 \times (5+EC) = 10 \times 5 \] \[ 20 + 4 \times EC = 50 \] \[ 4 \times EC = 30 \] \[ EC = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm} \]Öklid Bağıntıları (Dik Üçgenlerde Yükseklik ve Kenar İlişkileri)
Öklid bağıntıları, dik üçgenlerde hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan yeni üçgenler arasındaki ilişkileri inceler. Dik üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır ve bu parçalarla dik kenarlar arasında özel bağıntılar oluşur.
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. CH, C köşesinden AB hipotenüsüne indirilen yüksekliktir. H noktası AB üzerindedir. AH = p, HB = q ve CH = h olsun.
1. Yükseklik Bağıntısı (Dikme Bağıntısı):
Dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerinin çarpımı, yüksekliğin karesine eşittir.
\[ h^2 = p \times q \]2. Kenar Bağıntıları:
Dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarların üzerindeki izdüşümleri ile hipotenüsün çarpımına eşittir.
\[ b^2 = p \times c \] \[ a^2 = q \times c \]Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarları, \( c \) ise hipotenüsü temsil eder (\( c = p+q \)).
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü 4 cm ve 9 cm'lik iki parçaya ayırmaktadır. Bu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını bulalım.
Burada \( p = 4 \) cm ve \( q = 9 \) cm'dir.
Önce yüksekliği bulalım:
\[ h^2 = p \times q = 4 \times 9 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \]Şimdi dik kenarları bulalım. Hipotenüs \( c = p+q = 4+9 = 13 \) cm'dir.
Bir dik kenar \( a \):
\[ a^2 = q \times c = 9 \times 13 = 117 \] \[ a = \sqrt{117} \text{ cm} \]Diğer dik kenar \( b \):
\[ b^2 = p \times c = 4 \times 13 = 52 \] \[ b = \sqrt{52} \text{ cm} \]Pisagor Bağıntısı
Pisagor bağıntısı, en temel geometri kurallarından biridir ve dik üçgenlerde dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu bağıntı, Öklid bağıntılarının özel bir durumudur ve her dik üçgen için geçerlidir.
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
Dik kenarlar \( a \) ve \( b \), hipotenüs \( c \) ise bağıntı şöyledir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]Örnek 3:
Dik kenarlarından biri 6 cm, diğeri 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.
Burada \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm'dir. Hipotenüs \( c \) 'yi arıyoruz.
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \] \[ c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]Örnek 4 (Günlük Yaşamdan):
Bir duvarın dibinden 3 metre uzağa yerleştirilmiş 5 metre uzunluğundaki bir merdiven, duvarda kaç metre yüksekliğe ulaşır?
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Merdivenin uzunluğu hipotenüs ( \( c = 5 \) m), duvarın dibinden uzaklığı bir dik kenar ( \( a = 3 \) m) ve merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik ise diğer dik kenardır ( \( b \)).
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 3^2 + b^2 = 5^2 \] \[ 9 + b^2 = 25 \] \[ b^2 = 25 - 9 \] \[ b^2 = 16 \] \[ b = \sqrt{16} = 4 \text{ m} \]Merdiven duvarda 4 metre yüksekliğe ulaşır.
Thales, Öklid ve Pisagor Bağıntılarının Bir Arada Kullanımı
Bu üç bağıntı genellikle birbirini tamamlar ve karmaşık geometrik problemlerin çözümünde birlikte kullanılırlar. Özellikle dik üçgenler içeren sorularda, verilen bilgilere göre hangi bağıntının kullanılacağına karar vermek önemlidir.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde ( \( \angle C = 90^\circ \) ), AC = 8 cm ve BC = 15 cm'dir. C köşesinden AB hipotenüsüne bir CH yüksekliği çizilmiştir. AH uzunluğunu bulalım.
Önce Pisagor bağıntısını kullanarak hipotenüs AB'yi bulalım:
\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] \[ 8^2 + 15^2 = AB^2 \] \[ 64 + 225 = AB^2 \] \[ 289 = AB^2 \] \[ AB = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} \]Şimdi Öklid'in kenar bağıntısını kullanarak AH uzunluğunu bulabiliriz. AC kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü AH'dir.
\[ AC^2 = AH \times AB \] \[ 8^2 = AH \times 17 \] \[ 64 = AH \times 17 \] \[ AH = \frac{64}{17} \text{ cm} \]