Tek nicel değişkenli veri dağılımları Ders Notu

Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımları

Bu bölümde, tek bir nicel değişken kullanılarak elde edilen verilerin nasıl analiz edileceğini ve dağılımlarının nasıl yorumlanacağını öğreneceğiz. Nicel değişkenler, sayısal değerlerle ifade edilebilen değişkenlerdir. Örneğin, bir öğrencinin sınavdan aldığı puan, bir evin metrekaresi veya bir kişinin yaşı tek nicel değişken örnekleridir. Bu verilerin dağılımlarını anlamak, verilerin genel eğilimlerini, yayılımını ve en sık tekrar eden değerlerini görmemizi sağlar.

Veri Türleri ve Gösterim Yöntemleri

Tek nicel değişkenli veriler, genellikle iki ana kategoriye ayrılır:

Kesikli Veriler: Sayılabilen, tam sayılarla ifade edilebilen verilerdir. Örneğin, bir sınıftaki öğrenci sayısı, bir zarın atılmasıyla gelen sonuçlar.
Sürekli Veriler: Belirli bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilen verilerdir. Örneğin, bir kişinin boyu, bir cismin ağırlığı, bir olayın süresi.

Bu verileri görselleştirmek için çeşitli grafik türleri kullanılır:

Histogram: Sürekli verilerin dağılımını göstermek için kullanılır. Veriler belirli aralıklara (gruplara) ayrılır ve her aralıktaki veri sayısına göre çubuklar çizilir.
Frekans Poligonu: Histogramın çubuklarının orta noktalarını birleştirerek elde edilen eğridir. Veri dağılımının şeklini daha net görmeyi sağlar.
Demet Grafiği (Stem-and-Leaf Plot): Verileri hem gruplandırır hem de bireysel değerleri gösterir. Verilerin dağılımı ve çarpıklığı hakkında fikir verir.

Merkezi Eğilim Ölçüleri

Veri setinin merkezini temsil eden temel ölçüler şunlardır:

Aritmetik Ortalama (Mean): Tüm değerlerin toplamının, veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Ortalama \( = \frac{\sum x_i}{n} \) Burada \( \sum x_i \) tüm veri değerlerinin toplamını, \( n \) ise veri sayısını ifade eder.
Medyan (Median): Veri seti küçükten büyüğe sıralandığında ortada yer alan değerdir. Veri sayısı tek ise ortadaki değer, çift ise ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
Mod (Mode): Veri setinde en sık tekrar eden değerdir. Bir veri setinin birden fazla modu olabilir veya hiç modu olmayabilir.

Yayılım Ölçüleri

Verilerin merkeze göre ne kadar yayıldığını gösteren ölçülerdir:

Aralık (Range): En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
Aralık \( = x_{max} - x_{min} \)
Çeyrekler Açıklığı (Interquartile Range - IQR): Üçüncü çeyrek (Q3) ile birinci çeyrek (Q1) arasındaki farktır. Verilerin orta %50'lik kısmının yayılımını gösterir.
Çeyrekler Açıklığı \( = Q3 - Q1 \)

Çözümlü Örnek

Bir sınıftaki 10 öğrencinin matematik sınavından aldığı puanlar şunlardır: 55, 70, 85, 60, 75, 90, 45, 80, 70, 65.

1. Aritmetik Ortalama:

Önce tüm puanları toplarız: \( 55 + 70 + 85 + 60 + 75 + 90 + 45 + 80 + 70 + 65 = 700 \)

Veri sayısı 10'dur. Ortalama \( = \frac{700}{10} = 70 \).

2. Medyan:

Puanları küçükten büyüğe sıralayalım: 45, 55, 60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 90.

Veri sayısı çift olduğu için ortadaki iki değer (70 ve 70) alınır. Medyan \( = \frac{70 + 70}{2} = 70 \).

3. Mod:

Puanlara baktığımızda, 70 puanı iki kez tekrar etmiştir. Diğer puanlar birer kez geçmektedir. Bu nedenle mod 70'tir.

4. Aralık:

En büyük puan 90, en küçük puan 45'tir. Aralık \( = 90 - 45 = 45 \).

5. Çeyrekler Açıklığı:

Önce Q1 ve Q3'ü bulmamız gerekir. Sıralanmış veri setimiz: 45, 55, 60, 65, 70, 70, 75, 80, 85, 90.

Veri setini ikiye böldüğümüzde, ilk yarı: 45, 55, 60, 65, 70. Bu yarıdaki medyan Q1'dir. Q1 \( = 60 \).

İkinci yarı: 70, 75, 80, 85, 90. Bu yarıdaki medyan Q3'tür. Q3 \( = 80 \).

Çeyrekler Açıklığı \( = Q3 - Q1 = 80 - 60 = 20 \).

Günlük Yaşamdan Örnekler

Tek nicel değişkenli veri dağılımları günlük hayatımızda birçok alanda karşımıza çıkar:

Hava Durumu: Bir şehrin günlük ortalama sıcaklıkları, bir haftadaki yağış miktarları.
Sağlık: Bir hastanın nabız değerleri, bir kişinin günlük adım sayısı.
Ekonomi: Bir ürünün son bir aydaki fiyat değişimleri, bir şirketin hisse senedi değerleri.
Eğitim: Bir dersin ortalama başarı puanı, bir okulun mezuniyet oranları.

Bu verilerin analizi, daha bilinçli kararlar almamıza yardımcı olur. Örneğin, hava durumu verilerine bakarak giyim tercihi yapmak veya sağlık verilerini takip ederek yaşam tarzı değişiklikleri planlamak gibi.