🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklit Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Öklit Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. 💡
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere, formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere, formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- 👉 Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- 👉 Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- 👉 Karelerini alalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
- 👉 Toplayalım: \( 100 = c^2 \).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \).
- ✅ Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 2:
📐 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin (yükseklik) ayağı H olsun. AH uzunluğu \( 6 \) cm, BH uzunluğu \( 4 \) cm ise, HC uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soru, Öklit Teoremi'nin yükseklik bağıntısı ile çözülür. 💡
Öklit Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yükseklik \(h\), ayırdığı parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere, formül: \( h^2 = p \cdot k \).
Öklit Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yükseklik \(h\), ayırdığı parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere, formül: \( h^2 = p \cdot k \).
- 👉 Verilenler: Yükseklik \( AH = h = 6 \) cm. Hipotenüs üzerindeki parçalardan biri \( BH = p = 4 \) cm.
- 👉 Aranan: Hipotenüs üzerindeki diğer parça \( HC = k \).
- 👉 Formülde yerine koyalım: \( 6^2 = 4 \cdot k \).
- 👉 Kareyi alalım: \( 36 = 4 \cdot k \).
- 👉 \( k \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 4 \)e bölelim: \( k = \frac{36}{4} \).
- ✅ Sonuç: \( k = 9 \) cm.
HC uzunluğu 9 cm'dir.
Örnek 3:
📏 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H olsun. BH uzunluğu \( 3 \) cm ve HC uzunluğu \( 9 \) cm ise, AB kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, Öklit Teoremi'nin dik kenar bağıntısı ile çözülür. 💡
Öklit Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi dik izdüşümünün uzunluğu ile tüm hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.
Dik kenar \(c\), kendi izdüşümü \(k\), tüm hipotenüs \(a\) olmak üzere, formül: \( c^2 = k \cdot a \).
Öklit Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi dik izdüşümünün uzunluğu ile tüm hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.
Dik kenar \(c\), kendi izdüşümü \(k\), tüm hipotenüs \(a\) olmak üzere, formül: \( c^2 = k \cdot a \).
- 👉 Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( BH = 3 \) cm ve \( HC = 9 \) cm.
- 👉 Tüm hipotenüs uzunluğu \( BC = BH + HC = 3 + 9 = 12 \) cm.
- 👉 AB kenarı \( c \) ve hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( BH = 3 \) cm.
- 👉 Formülde yerine koyalım: \( AB^2 = BH \cdot BC \).
- 👉 \( AB^2 = 3 \cdot 12 \).
- 👉 Çarpımı yapalım: \( AB^2 = 36 \).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{36} \).
- ✅ Sonuç: \( AB = 6 \) cm.
AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 4:
➡️ Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları, \( k_1 \) ve \( k_2 \) kesenleri tarafından kesilmektedir. \( k_1 \) keseni \( d_1 \) doğrusunu A'da, \( d_2 \) doğrusunu B'de; \( k_2 \) keseni ise \( d_1 \) doğrusunu C'de, \( d_2 \) doğrusunu D'de kesmektedir. Eğer AC uzunluğu \( 4 \) cm, CD uzunluğu \( 6 \) cm ve AB uzunluğu \( 8 \) cm ise, BD uzunluğu kaç cm'dir? (Tales Teoremi'ni kullanınız.)
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) bir uygulamasıdır. 💡
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır.
Yani, \( \frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BD} \).
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır.
Yani, \( \frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BD} \).
- 👉 Verilenler: \( AC = 4 \) cm, \( CD = 6 \) cm, \( AB = 8 \) cm.
- 👉 Aranan: \( BD \) uzunluğu.
- 👉 Tales Teoremi formülünde yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{8}{BD} \).
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \cdot BD = 6 \cdot 8 \).
- 👉 Çarpımı yapalım: \( 4 \cdot BD = 48 \).
- 👉 \( BD \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 4 \)e bölelim: \( BD = \frac{48}{4} \).
- ✅ Sonuç: \( BD = 12 \) cm.
BD uzunluğu 12 cm'dir.
Örnek 5:
🏗️ Bir ABC üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \) dir. B köşesinden AC kenarına indirilen dikmenin ayağı H olsun. AH uzunluğu \( 2 \) cm ve HC uzunluğu \( 8 \) cm'dir. Buna göre, AB kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde hem Öklit Teoremi hem de Pisagor Teoremi kullanılabilir. 💡
Öncelikle, Öklit Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanarak AB kenarını bulabiliriz.
- 👉 Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( AH = 2 \) cm ve \( HC = 8 \) cm.
- 👉 Tüm hipotenüs uzunluğu \( AC = AH + HC = 2 + 8 = 10 \) cm.
- 👉 AB kenarı \( c \) ve hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( AH = 2 \) cm.
- 👉 Öklit formülü: \( AB^2 = AH \cdot AC \).
- 👉 Yerine koyalım: \( AB^2 = 2 \cdot 10 \).
- 👉 \( AB^2 = 20 \).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \) cm.
Alternatif olarak, önce yüksekliği (BH) bulup sonra Pisagor kullanabiliriz:
- 👉 Öklit yükseklik bağıntısı: \( BH^2 = AH \cdot HC \).
- 👉 \( BH^2 = 2 \cdot 8 = 16 \).
- 👉 \( BH = \sqrt{16} = 4 \) cm.
- 👉 Şimdi ABH dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
- 👉 \( AB^2 = 2^2 + 4^2 \).
- 👉 \( AB^2 = 4 + 16 = 20 \).
- ✅ Sonuç: \( AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) cm.
AB kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{5} \) cm'dir.
Örnek 6:
🪜 Bir itfaiyeci, yanan bir binanın penceresine ulaşmak için \( 13 \) metre uzunluğunda bir merdiveni kullanıyor. Merdivenin ayağı, bina duvarından \( 5 \) metre uzakta yere dayandırılmıştır. Pencerenin yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu durum, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki klasik bir uygulamasıdır. 💡
Bina duvarı ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \) olduğu için, merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
Bina duvarı ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \) olduğu için, merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- 👉 Merdivenin uzunluğu hipotenüs \( c = 13 \) metredir.
- 👉 Merdivenin duvardan uzaklığı dik kenarlardan biri \( a = 5 \) metredir.
- 👉 Pencerenin yerden yüksekliği, diğer dik kenar \( b \) dir.
- 👉 Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- 👉 Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \).
- 👉 Karelerini alalım: \( 25 + b^2 = 169 \).
- 👉 \( b^2 \)yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \).
- 👉 Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \).
- ✅ Sonuç: \( b = 12 \) metre.
Pencerenin yerden yüksekliği 12 metredir.
Örnek 7:
🏞️ Bir parkta, iki paralel yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolların arasında, yolcuların dinlenmesi için iki adet bank yerleştirilmiştir. İlk bank, birinci yola \( 3 \) metre, ikinci yola \( 6 \) metre uzaklıktadır. İkinci bank ise birinci yola \( x \) metre, ikinci yola \( 8 \) metre uzaklıktadır. Banklar, yollar arasında bir doğru boyunca yerleştirildiğine göre, \( x \) değeri kaçtır? (Yolların genişliği önemsizdir ve banklar yollara dik değildir, sadece yollar arasındaki mesafeleri orantılı olarak böler.)
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi'nin (paralel doğruların kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırması) yeni nesil bir uygulamasıdır. 💡
Paralel yürüyüş yolları \( d_1 \) ve \( d_2 \) olsun. Banklar ise bu yolları kesen bir doğru üzerinde yer almaktadır.
Paralel yürüyüş yolları \( d_1 \) ve \( d_2 \) olsun. Banklar ise bu yolları kesen bir doğru üzerinde yer almaktadır.
- 👉 İlk bankın \( d_1 \) yoluna uzaklığı \( 3 \) metre, \( d_2 \) yoluna uzaklığı \( 6 \) metredir.
- 👉 İkinci bankın \( d_1 \) yoluna uzaklığı \( x \) metre, \( d_2 \) yoluna uzaklığı \( 8 \) metredir.
- 👉 Tales Teoremi'ne göre, bu uzaklıklar orantılıdır: \( \frac{\text{ilk bankın } d_1 \text{ uzaklığı}}{\text{ilk bankın } d_2 \text{ uzaklığı}} = \frac{\text{ikinci bankın } d_1 \text{ uzaklığı}}{\text{ikinci bankın } d_2 \text{ uzaklığı}} \).
- 👉 Formülde yerine koyalım: \( \frac{3}{6} = \frac{x}{8} \).
- 👉 Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{x}{8} \).
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot x = 1 \cdot 8 \).
- 👉 Çarpımı yapalım: \( 2x = 8 \).
- 👉 \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \( x = \frac{8}{2} \).
- ✅ Sonuç: \( x = 4 \) metre.
İkinci bankın birinci yola uzaklığı 4 metredir.
Örnek 8:
📐 Bir dik yamukta, dik açılı köşelerden biri A, diğeri D olsun. AB kenarı DC kenarına paraleldir. AD kenarı \( 12 \) cm, AB kenarı \( 10 \) cm ve DC kenarı \( 15 \) cm'dir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin bir yamuk problemi içinde uygulanışını gösterir. 💡
Yamuğu bir dik üçgene dönüştürerek çözüme ulaşabiliriz.
Yamuğu bir dik üçgene dönüştürerek çözüme ulaşabiliriz.
- 👉 D noktasından AB kenarına paralel olacak şekilde BC kenarına bir dikme indirelim ve bu dikmenin BC üzerindeki ayağına E diyelim. (Bu, D'den AB'ye değil, C'den AD'ye paralel çizmek gibi düşünebiliriz, veya D'den AB'ye dikme indirmeliyiz, ancak bu bir dik yamuk, dolayısıyla AD zaten dik.)
- 👉 Daha doğru bir çizim ve çözüm için, C noktasından AD kenarına paralel ve AB kenarına dik bir doğru çizelim. Bu doğru AB kenarını (veya uzantısını) F noktasında kessin.
- 👉 Oluşan ADCF dörtgeni bir dikdörtgen olur, çünkü AD ve CF diktir, DC ve AF paraleldir.
- 👉 Bu durumda \( AF = DC = 15 \) cm ve \( CF = AD = 12 \) cm olur.
- 👉 Ancak bu bir dik yamuk olduğu için, A ve D köşeleri 90 derecedir ve AD kenarı tabanlara diktir.
- 👉 Çözüm için, C noktasından AB kenarına bir dikme indirelim ve bu dikmenin AB üzerindeki ayağına H diyelim.
- 👉 Oluşan ADCH dörtgeni bir dikdörtgendir, çünkü AD \( || \) CH (ikiside dik), ve AH \( || \) DC.
- 👉 Bu durumda \( AH = DC = 15 \) cm ve \( CH = AD = 12 \) cm olur.
- 👉 AB kenarının tamamı \( 10 \) cm idi. Ancak soruda AB ve DC'nin paralel olduğu ve AD'nin dik kenar olduğu belirtilmiş. Bir dik yamukta paralel kenarlar tabanlardır. Yani AB ve DC tabanlar. AD ise dik yükseklik.
- 👉 AB ve DC paralel ise, AD dik kenar ve BC yan kenardır. A ve D açıları \( 90^\circ \) dir.
- 👉 C noktasından AD'ye paralel bir doğru çizmek yerine, C noktasından AB kenarına bir dikme indirelim. Bu dikmenin AB kenarı üzerindeki ayağına H diyelim.
- 👉 Oluşan ADCH bir dikdörtgendir. Bu durumda \( AH = DC = 15 \) cm ve \( CH = AD = 12 \) cm olur.
- 👉 Bu durumda AB uzunluğu \( AH + HB \) olmalıdır. Ama \( AB = 10 \) cm ve \( DC = 15 \) cm. Bu durumda AB ve DC tabanlar olamaz. Dik yamukta AD ve BC yan kenarlar, AB ve DC tabanlardır.
- 👉 Tekrar düşünelim: Bir dik yamuk ABCD (AD \( || \) BC değil, AB \( || \) DC). A ve D köşeleri dik açılı. AD dik kenar.
- 👉 \( AD = 12 \) cm (yükseklik). \( AB = 10 \) cm (üst taban). \( DC = 15 \) cm (alt taban).
- 👉 C noktasından AB kenarına bir dikme indirelim ve bu dikmenin DC kenarı üzerindeki ayağına H diyelim. Bu olmaz.
- 👉 En doğrusu, C noktasından AB kenarına (uzantısına) bir dikme indirelim. Bu dikme AB kenarının uzantısı üzerinde bir H noktası oluştursun.
- 👉 Veya, B noktasından DC kenarına bir dikme indirelim. Bu dikmenin DC kenarı üzerindeki ayağına H diyelim.
- 👉 Oluşan ABHD dörtgeni bir dikdörtgen olur. Bu durumda \( DH = AB = 10 \) cm ve \( BH = AD = 12 \) cm olur.
- 👉 Şimdi HC uzunluğunu bulalım: \( HC = DC - DH = 15 - 10 = 5 \) cm.
- 👉 BCH bir dik üçgendir. Dik kenarları \( BH = 12 \) cm ve \( HC = 5 \) cm'dir.
- 👉 BC hipotenüstür. Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
- 👉 \( BC^2 = 12^2 + 5^2 \).
- 👉 \( BC^2 = 144 + 25 \).
- 👉 \( BC^2 = 169 \).
- ✅ Sonuç: \( BC = \sqrt{169} = 13 \) cm.
BC kenarının uzunluğu 13 cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklit-pisagor/sorular