🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid ve pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, öklid ve pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \text{AC} = 12 \) cm ve \( \text{BC} = 5 \) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü \( \text{AB} \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız.
Pisagor Bağıntısı'na göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
Pisagor Bağıntısı'na göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlar: \( \text{AC} = 12 \) cm ve \( \text{BC} = 5 \) cm.
- Bu değerleri Pisagor Bağıntısı'nda yerine koyalım: \( 5^2 + 12^2 = AB^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 144 = AB^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = AB^2 \)
- Hipotenüs \( \text{AB} \) uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( AB = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( AB = 13 \) cm. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, \( \text{AB} \parallel \text{DE} \), \( \text{AD} = 4 \) cm, \( \text{DB} = 6 \) cm ve \( \text{CE} = 9 \) cm'dir. Buna göre \( \text{AC} \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru Temel Orantı Teoremi (Tales Bağıntısı) ile çözülür.
Teoreme göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu kenarları orantılı olarak böler.
Teoreme göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu kenarları orantılı olarak böler.
Şekildeki gibi bir durum söz konusu olduğunda, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CE} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{AC}{9} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times 9 = 6 \times AC \)
- Hesaplamayı yapalım: \( 36 = 6 \times AC \)
- \( \text{AC} \) 'yi bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim: \( AC = \frac{36}{6} \)
- Sonuç: \( AC = 6 \) cm. 👉
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \( \text{A} \) açısı dik açıdır. \( \text{AB} = 8 \) birim ve \( \text{AC} = 6 \) birimdir. \( \text{BC} \) kenarına ait yükseklik \( \text{AH} \) kaç birimdir? ⛰️
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Bağıntısı hem de Öklid Bağıntıları'nı kullanabiliriz. Öncelikle hipotenüs \( \text{BC} \) uzunluğunu bulalım.
- Pisagor Bağıntısı ile \( \text{BC} \) uzunluğunu bulma:
- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = BC^2 \)
- \( 64 + 36 = BC^2 \)
- \( 100 = BC^2 \)
- \( BC = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Alan Yöntemi ile \( \text{AH} \) yüksekliğini bulma:
- Üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır: \( \text{Alan} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{8 \times 6}{2} = 24 \) birimkare.
- Aynı zamanda alan, taban \( \text{BC} \) ile bu tabana ait yükseklik \( \text{AH} \) çarpımının yarısıdır: \( \text{Alan} = \frac{BC \times AH}{2} \)
- \( 24 = \frac{10 \times AH}{2} \)
- \( 48 = 10 \times AH \)
- \( AH = \frac{48}{10} = 4.8 \) birim. ✅
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken, iki duvar arasındaki açının dik olduğunu kontrol etmek için Pisagor teoremini kullanıyor. Eğer duvarların uzunlukları 3 metre ve 4 metre ise, bu iki duvarın birleştiği köşeden en uzak noktaya kadar olan mesafe (köşegen) kaç metre olmalıdır ki açı tam olarak 90 derece olsun? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi gösterir ve Pisagor Bağıntısı ile çözülür.
Dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
- Dik kenarlar: 3 metre ve 4 metre.
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 16 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 25 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( c = 5 \) metre. 💡
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( \text{DE} \parallel \text{BC} \), \( \text{AD} = 3 \) cm, \( \text{DE} = 4 \) cm ve \( \text{BC} = 8 \) cm'dir. Buna göre \( \text{AB} \) uzunluğu kaç cm'dir? ↔️
Çözüm:
Bu soruda Benzer Üçgenler ve Temel Orantı Teoremi kullanılır.
\( \text{DE} \parallel \text{BC} \) olduğu için, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
\( \text{DE} \parallel \text{BC} \) olduğu için, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
- Benzerlik oranı: \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( \frac{3}{AB} = \frac{4}{8} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- Denklemimiz şu hale gelir: \( \frac{3}{AB} = \frac{1}{2} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \times 2 = 1 \times AB \)
- Sonuç: \( AB = 6 \) cm. 👍
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde \( \text{A} \) açısı dik açıdır. \( \text{AB} = 6 \) birim ve \( \text{AC} = 8 \) birimdir. \( \text{BC} \) kenarına ait yükseklik \( \text{AH} \) çizilmiştir. \( \text{BH} \) uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Dikme Bağıntısı'nı kullanabiliriz.
Öklid'in dikme bağıntısı, dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalarla ilişkisini verir.
Öklid'in dikme bağıntısı, dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalarla ilişkisini verir.
Bağıntı şöyledir: \( AH^2 = BH \times HC \) ve \( AB^2 = BH \times BC \)
- Öncelikle hipotenüs \( \text{BC} \) uzunluğunu Pisagor Bağıntısı ile bulalım:
- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- \( 6^2 + 8^2 = BC^2 \)
- \( 36 + 64 = BC^2 \)
- \( 100 = BC^2 \)
- \( BC = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Şimdi Öklid'in dikme bağıntısı'nı kullanarak \( \text{BH} \) 'yi bulalım: \( AB^2 = BH \times BC \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 = BH \times 10 \)
- Hesaplayalım: \( 36 = BH \times 10 \)
- \( \text{BH} \) 'yi bulmak için her iki tarafı 10'a bölelim: \( BH = \frac{36}{10} \)
- Sonuç: \( BH = 3.6 \) birim. 📌
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafesi 15 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:500.000'dir. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu soru, ölçek bilgisi ve orijinal uzunluk hesaplaması ile ilgilidir. Harita üzerindeki mesafeyi gerçek mesafeye çevirmek için ölçek kullanılır.
Ölçek \( 1:500.000 \) demek, haritadaki 1 birimin gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Harita üzerindeki mesafe: 15 cm.
- Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki ikinci sayıyla çarparız: \( 15 \text{ cm} \times 500.000 \)
- Hesaplayalım: \( 7.500.000 \) cm.
- Bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor. 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Kilometreye çevirmek için \( 7.500.000 \) cm'yi \( 100.000 \) cm/km'ye böleriz: \( \frac{7.500.000}{100.000} \) km
- Sonuç: \( 75 \) km. ✈️
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( \text{AB} = 10 \) cm, \( \text{AC} = 15 \) cm ve \( \text{BC} = 20 \) cm'dir. Bu üçgenin \( \text{BC} \) kenarına ait yüksekliği \( \text{AH} \) kaç cm'dir? (İpucu: Alan formülünü kullanın.) 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce Heron Formülü'nü kullanarak üçgenin alanını bulmamız gerekir, çünkü üçgen dik üçgen değildir ve yükseklik doğrudan Pisagor veya Öklid ile bulunamaz.
Heron Formülü için önce yarı çevre \( u \) 'yu hesaplarız: \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
Heron Formülü için önce yarı çevre \( u \) 'yu hesaplarız: \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
- Üçgenin kenarları: \( a = 20 \) cm (BC), \( b = 15 \) cm (AC), \( c = 10 \) cm (AB).
- Yarı çevreyi hesaplayalım: \( u = \frac{20+15+10}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \) cm.
- Heron Formülü ile Alanı hesaplama: \( \text{Alan} = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- \( \text{Alan} = \sqrt{22.5(22.5-20)(22.5-15)(22.5-10)} \)
- \( \text{Alan} = \sqrt{22.5 \times 2.5 \times 7.5 \times 12.5} \)
- \( \text{Alan} = \sqrt{5273.4375} \)
- \( \text{Alan} \approx 72.618 \) cm².
- Şimdi üçgenin alanını, taban \( \text{BC} \) ve yükseklik \( \text{AH} \) kullanarak hesaplayalım: \( \text{Alan} = \frac{BC \times AH}{2} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 72.618 \approx \frac{20 \times AH}{2} \)
- \( 72.618 \approx 10 \times AH \)
- \( AH \approx \frac{72.618}{10} \)
- Sonuç: \( AH \approx 7.26 \) cm. 📏
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-bagintilari/sorular