Tales, öklid ve pisagor bağıntıları Ders Notu

Merhaba 9. Sınıf öğrencileri! Bu dersimizde, geometrinin temel taşlarından olan Tales, Öklid ve Pisagor bağıntılarını detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Bu bağıntılar, üçgenler ve benzerlikler üzerine kurulan güçlü matematiksel araçlardır ve birçok problemde karşımıza çıkarlar.

1. Tales Bağıntıları (Benzer Üçgenler) 📐

Tales bağıntıları, temelde benzer üçgenler arasındaki kenar oranlarını inceler. İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açıları eşit olmalıdır. Eşit açılara sahip üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.

Temel İlke:

Eğer iki üçgen benzer ise, karşılıklı kenar uzunlukları bir sabit oranla birbirine eşittir.

Örnek olarak, ABC ve DEF üçgenleri benzer olsun. Bu durumda:

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \]

Bu oranlara benzerlik oranı denir.

Günlük Yaşamdan Örnek:

Bir binanın yüksekliğini ölçmek istediğimizde, gölgesinin uzunluğunu ve yanımızdaki bir nesnenin (örneğin cetvelin) gölgesinin uzunluğunu kullanarak benzerlikten faydalanabiliriz. Güneş ışınlarının paralel geldiğini varsayarsak, bina ve gölgesi ile cetvel ve gölgesi benzer iki dik üçgen oluşturur.

Çözümlü Örnek 1:

Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir ve D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir. Eğer \( AD = 4 \) cm, \( DB = 2 \) cm ve \( AE = 6 \) cm ise, EC kaç cm'dir?

Bu durumda ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (AÇısı ortak, DE || BC olduğundan yöndeş açılar eşittir).

Benzerlik oranı:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{4}{4+2} = \frac{6}{6+EC} \] \[ \frac{4}{6} = \frac{6}{6+EC} \] \[ 4(6+EC) = 6 \times 6 \] \[ 24 + 4EC = 36 \] \[ 4EC = 12 \] \[ EC = 3 \]

Yani EC uzunluğu 3 cm'dir.

2. Öklid Bağıntıları (Dik Üçgenlerde Yükseklik ve Kenar İlişkileri) 📏

Öklid bağıntıları, dik üçgenlerde yüksekliğin ve kenarların birbirleriyle olan ilişkilerini inceler. Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan üç küçük üçgen de birbirine ve büyük üçgene benzerdir.

Öklid'in Yükseklik Bağıntısı:

Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

Bir ABC dik üçgeninde (C açısı 90 derece), C'den hipotenüs AB'ye CH yüksekliği indirilsin. H noktası AB üzerinde olsun. Bu durumda:

\[ CH^2 = AH \times HB \]

Öklid'in Kenar Bağıntıları:

Dik üçgende dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarların izdüşümlerine eşittir.

Yukarıdaki ABC dik üçgeni için:

\[ AC^2 = AH \times AB \] \[ BC^2 = HB \times AB \]

Çözümlü Örnek 2:

Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?

Önce Pisagor bağıntısını kullanarak hipotenüsü bulalım:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 36 + 64 \] \[ AB^2 = 100 \] \[ AB = 10 \]

Şimdi Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanabiliriz. Hipotenüsün uzunluğunu (10 cm) biliyoruz. Ancak hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaları bilmiyoruz. Bu yüzden Pisagor bağıntısının farklı bir yorumunu veya alan formülünü kullanabiliriz.

Üçgenin alanı:

\[ Alan = \frac{1}{2} \times dikkenar1 \times dikkenar2 \] \[ Alan = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 cm² \]

Aynı zamanda alan, hipotenüs çarpı hipotenüse ait yükseklik bölü 2'dir:

\[ Alan = \frac{1}{2} \times AB \times CH \] \[ 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times CH \] \[ 24 = 5 \times CH \] \[ CH = \frac{24}{5} = 4.8 \]

Yani yükseklik 4.8 cm'dir.

3. Pisagor Bağıntısı (Dik Üçgenlerde Kenar Uzunlukları) 📐

Pisagor bağıntısı, dik üçgenlerde dik kenarların uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğu arasındaki ilişkiyi ifade eder. En bilinen ve en sık kullanılan geometrik bağıntılardan biridir.

Temel Kural:

Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

Bir ABC dik üçgeninde (C açısı 90 derece), dik kenarlar AC ve BC, hipotenüs ise AB olsun:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Günlük Yaşamdan Örnek:

Bir merdivenin bir duvara yaslandığını düşünün. Merdivenin uzunluğu (hipotenüs), duvarın yerden yüksekliği (bir dik kenar) ve duvar ile merdivenin tabanının yere değdiği nokta arasındaki mesafe (diğer dik kenar) Pisagor bağıntısı ile ilişkilidir.

Çözümlü Örnek 3:

Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 5 cm, hipotenüsü ise 13 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

Pisagor bağıntısını kullanalım:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Burada \( a = 5 \) cm, \( c = 13 \) cm ve \( b \) bilinmeyen dik kenardır.

\[ 5^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 25 + b^2 = 169 \] \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \]

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir.

Bu üç bağıntı, geometride karşımıza çıkan birçok problemi çözmek için temel oluşturur. Özellikle benzerlik, dik üçgenler ve alan hesaplamalarında bu kuralları iyi anlamak önemlidir.