💡 9. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler

• 👉 A) \( \frac{3}{5} \) zaten bu formdadır. (Rasyoneldir)
• 👉 B) \( -7 \) sayısı \( \frac{-7}{1} \) olarak yazılabilir. (Rasyoneldir)
• 👉 C) \( 0 \) sayısı \( \frac{0}{1} \) olarak yazılabilir. (Rasyoneldir)
• 👉 D) \( 1.25 \) sayısı \( \frac{125}{100} \) veya \( \frac{5}{4} \) olarak yazılabilir. (Rasyoneldir)
• 👉 E) \( \sqrt{2} \) sayısı, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamayan bir sayıdır. Bu bir irrasyonel sayıdır. (Rasyonel değildir)

Şimdi \( \frac{18}{24} \) kesrini en sade haline getirelim:

• 💡 Hem payı (18) hem de paydayı (24) bölen en büyük ortak böleni (EBOB) bulmalıyız.
• 18 ve 24'ün EBOB'u 6'dır.
• Payı ve paydayı 6'ya bölelim:
\[ \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} \]

Kesrin en sade hali \( \frac{3}{4} \)'tür. ✅

• 💡 5 ve 3'ün en küçük ortak katı (EKOK) 15'tir. Bu nedenle her iki kesrin paydasını 15 yapmalıyız.
• İlk kesri ( \( \frac{2}{5} \) ) 3 ile genişletelim:
\[ \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \]
• İkinci kesri ( \( \frac{1}{3} \) ) 5 ile genişletelim:
\[ \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \]
• Şimdi paydaları eşit olan kesirleri toplayabiliriz:
\[ \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15} \]

Sonuç \( \frac{11}{15} \)'tir. Bu kesir zaten en sade halindedir. ✅

• 👉 Çarpma işlemi: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Çarpmadan önce sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır.
• \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \) işleminde:
  • 3 ile 9 sadeleşir (3'e bölünür): \( \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} \)
  • 4 ile 8 sadeleşir (4'e bölünür): \( \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} \)
• Parantez içindeki çarpma işleminin sonucu:
\[ 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]
• Şimdi bölme işlemine geçelim: \( \frac{2}{3} \div \frac{2}{3} \)
• 👉 Bölme işlemi: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip birinci kesirle çarpılır.
\[ \frac{2}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \]
• Çarpma işlemini yapalım:
\[ \frac{2 \times 3}{3 \times 2} = \frac{6}{6} = 1 \]

İşlemin sonucu 1'dir. ✅

• 👉 Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme:
• \( 3\frac{1}{4} \) için: \( (3 \times 4) + 1 = 13 \). Payda aynı kalır.
\[ 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} \]
• 👉 Ondalık sayıyı kesre çevirme:
• \( 1.5 \) için: Virgülden sonra bir basamak olduğu için paydaya 10 yazılır.
\[ 1.5 = \frac{15}{10} \]
• Bu kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 5'e bölelim):
\[ \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2} \]
• Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
\[ \frac{13}{4} - \frac{3}{2} \]
• Çıkarma işlemi için paydaları eşitlemeliyiz. 4 ve 2'nin EKOK'u 4'tür.
• \( \frac{3}{2} \) kesrini 2 ile genişletelim:
\[ \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4} \]
• Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:
\[ \frac{13}{4} - \frac{6}{4} = \frac{13-6}{4} = \frac{7}{4} \]

İşlemin sonucu \( \frac{7}{4} \)'tür. ✅

• 💡 Paydalar 2, 3 ve 5'tir. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) 30'dur.
• Her bir kesrin paydasını 30 yapalım:
• \( \frac{1}{2} \) kesrini 15 ile genişletelim:
\[ \frac{1 \times 15}{2 \times 15} = \frac{15}{30} \]
• \( \frac{2}{3} \) kesrini 10 ile genişletelim:
\[ \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30} \]
• \( \frac{3}{5} \) kesrini 6 ile genişletelim:
\[ \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30} \]
• Şimdi kesirlerin paydaları eşitlendi: \( \frac{15}{30}, \frac{20}{30}, \frac{18}{30} \)
• Payı en küçük olan kesir en küçüktür. Küçükten büyüğe sıralama:
\[ \frac{15}{30} < \frac{18}{30} < \frac{20}{30} \]

Bu durumda orijinal kesirlerin sıralaması şu şekildedir: ✅

• 👉 Adım 1: Yolun ilk kısmı gidildiğinde kalan yol.
• Otobüs yolun \( \frac{1}{4} \)'ünü gittiyse, geriye \( 1 - \frac{1}{4} \) kadarı kalmıştır.
\[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
• Yolun \( \frac{3}{4} \)'ü kalmıştır.
• 👉 Adım 2: Kalan yolun bir kısmı daha gidildiğinde yeni kalan yol.
• Kalan yolun (yani \( \frac{3}{4} \)'ünün) \( \frac{2}{3} \)'ünü daha gitmiştir.
• Ne kadar gittiğini bulmak için çarpma işlemi yaparız:
\[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} \]
• Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
• Yani, başlangıçtaki yolun \( \frac{1}{2} \)'si kadar daha yol gitmiştir.
• 👉 Adım 3: Toplamda gidilen yol ve kalan yol.
• İlk başta \( \frac{1}{4} \) gitti, sonra \( \frac{1}{2} \) gitti. Toplam gidilen yol:
\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \]
• Toplam yolun \( \frac{3}{4} \)'ü gidilmiştir.
• Gitmesi gereken yolun kaçta kaçı kaldığını bulmak için:
\[ 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

Otobüsün gitmesi gereken yolun \( \frac{1}{4} \)'ü kalmıştır. ✅

• 👉 Adım 1: Ali'ye verilen miktar.
• Toplam meyve suyu 2 litredir. Bunun \( \frac{1}{4} \)'ü Ali'ye verilmiştir.
\[ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ litre} \]
• Ali'ye \( \frac{1}{2} \) litre meyve suyu verilmiştir.
• 👉 Adım 2: Ali'ye verildikten sonra kalan meyve suyu.
• Başlangıçta 2 litre vardı, \( \frac{1}{2} \) litresi verildi.
\[ 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ litre} \]
• Geriye \( \frac{3}{2} \) litre meyve suyu kalmıştır.
• 👉 Adım 3: Elif'e verilen miktar.
• Kalan meyve suyunun (yani \( \frac{3}{2} \) litrenin) \( \frac{1}{3} \)'ü Elif'e verilmiştir.
\[ \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \text{ litre} \]
• Elif'e de \( \frac{1}{2} \) litre meyve suyu verilmiştir.
• 👉 Adım 4: Ayşe'nin elinde kalan meyve suyu.
• Elif'e verdikten sonra kalan miktarı bulalım:
\[ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ litre} \]

Ayşe'nin elinde 1 litre meyve suyu kalmıştır. ✅

• 👉 Adım 1: Sayıyı \( x \) ile gösterelim.
\[ x = 0.2\overline{5} = 0.2555... \]
• 👉 Adım 2: Devretmeyen kısım virgülden hemen sonra gelecek şekilde denklemi 10'un kuvvetleriyle çarpalım.
• Virgülden sonra devretmeyen kısım '2' olduğu için, denklemi 10 ile çarpalım:
\[ 10x = 2.555... \quad (Denklem \ 1) \]
• 👉 Adım 3: Devreden kısım virgülden hemen sonra gelecek şekilde denklemi 10'un kuvvetleriyle çarpalım.
• Virgülden sonra devreden ilk basamak '5' olduğu için, yani virgülden sonra 2 basamak devretmeyen ve devreden kısmı kapsadığı için 100 ile çarpalım:
\[ 100x = 25.555... \quad (Denklem \ 2) \]
• 👉 Adım 4: Büyük denklemi küçük denklemden çıkaralım.
• Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
\[ 100x - 10x = 25.555... - 2.555... \] \[ 90x = 23 \]
• 👉 Adım 5: \( x \)'i yalnız bırakalım.
\[ x = \frac{23}{90} \]
• 23 asal bir sayıdır ve 90'ın çarpanları arasında 23 bulunmadığı için \( \frac{23}{90} \) kesri zaten en sade halindedir.

Bu devirli ondalık sayının rasyonel karşılığı \( \frac{23}{90} \)'tır. ✅