📝 9. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Ders Notu
Rasyonel sayılar, matematikte sayı kümelerinden biri olup, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız kesirli ifadelerin temelini oluşturur. Bu konu, ileride göreceğiniz birçok matematiksel kavram için sağlam bir zemin hazırlar.
Rasyonel Sayıların Tanımı ve Gösterimi 📜
Bir rasyonel sayı, bir tam sayı \(a\) ve sıfırdan farklı bir tam sayı \(b\) olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.
- Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 = \frac{5}{1} \) veya \( -3 = \frac{-3}{1} \) şeklinde yazılabilir.
- Sıfır da bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 0 = \frac{0}{1} \) şeklinde yazılabilir.
- Paydası sıfır olan bir ifade rasyonel sayı değildir ve tanımsızdır. Örneğin, \( \frac{7}{0} \) bir rasyonel sayı değildir.
Örnekler:
- \( \frac{2}{3} \)
- \( -\frac{5}{4} \)
- \( 0,7 = \frac{7}{10} \)
- \( 2,35 = \frac{235}{100} \)
Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi 📍
Rasyonel sayılar, sayı doğrusu üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelir. Sayıyı doğru bir şekilde yerleştirmek için genellikle birim aralıklar (örneğin 0 ile 1 arası) payda kadar eşit parçalara bölünür.
Örnek:
Sayı doğrusunda \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{3}{4} \) ve \( \frac{5}{3} \) sayılarını gösterelim:
- \( \frac{1}{2} \): 0 ile 1 arası 2 eşit parçaya bölünür, birinci nokta \( \frac{1}{2} \)'yi gösterir.
- \( -\frac{3}{4} \): 0 ile -1 arası 4 eşit parçaya bölünür, üçüncü nokta \( -\frac{3}{4} \)'ü gösterir.
- \( \frac{5}{3} \): Bu bir bileşik kesirdir. Tam sayılı kesre çevirirsek \( 1 \frac{2}{3} \) olur. Bu sayı 1 ile 2 arasındadır. 1 ile 2 arası 3 eşit parçaya bölünür, ikinci nokta \( 1 \frac{2}{3} \)'ü (yani \( \frac{5}{3} \)'ü) gösterir.
Denk Rasyonel Sayılar ve Sadeleştirme/Genişletme 🔄
Bir rasyonel sayının pay ve paydasını aynı sıfırdan farklı bir tam sayı ile çarpmak veya bölmek, rasyonel sayının değerini değiştirmez. Bu şekilde elde edilen sayılara denk rasyonel sayılar denir.
1. Genişletme:
Bir rasyonel sayının pay ve paydasını aynı sayı ile çarpmaktır.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \]
Örnek: \( \frac{2}{3} \) sayısını 4 ile genişletirsek, \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \) olur. Yani \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{8}{12} \) denk rasyonel sayılardır.
2. Sadeleştirme:
Bir rasyonel sayının pay ve paydasını aynı sayı ile bölmektir. En sade halinde, pay ve paydanın 1'den başka ortak böleni kalmaz.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} \]
Örnek: \( \frac{15}{20} \) sayısını 5 ile sadeleştirirsek, \( \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \) olur.
Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama 📊
Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken aşağıdaki yöntemler kullanılır:
1. Paydalar Eşitse:
Pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise payı büyük olan daha küçüktür (mutlak değerce küçük olan daha büyüktür).
Örnek: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \) iken \( -\frac{5}{7} < -\frac{3}{7} \).
2. Paylar Eşitse:
Pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise paydası küçük olan daha küçüktür (mutlak değerce küçük olan daha büyüktür).
Örnek: \( \frac{2}{5} > \frac{2}{7} \) iken \( -\frac{2}{5} < -\frac{2}{7} \).
3. Pay ve Paydalar Eşit Değilse:
Rasyonel sayılar genişletilerek paydaları eşitlenir ve daha sonra paydalar eşitmiş gibi karşılaştırılır.
Örnek: \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{2}{5} \) sayılarını karşılaştıralım.
- Paydaları 15'te eşitleyebiliriz (3 ve 5'in en küçük ortak katı).
- \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \)
- \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \)
- \( \frac{6}{15} > \frac{5}{15} \) olduğundan, \( \frac{2}{5} > \frac{1}{3} \) olur.
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ➕➖✖️➗
1. Toplama ve Çıkarma İşlemi:
Rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitse paylar toplanır/çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \]
\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \]
Paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenerek işlem yapılır.
Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
- Paydaları 6'da eşitleyelim.
- \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
2. Çarpma İşlemi:
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]
Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)
İşlem yapmadan önce sadeleştirme varsa yapmak, işlemi kolaylaştırır.
Örnek: \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \)
- 3 ile 9 sadeleşir (1 ve 3 kalır).
- 4 ile 8 sadeleşir (1 ve 2 kalır).
- \( \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \)
3. Bölme İşlemi:
Rasyonel sayılar bölünürken birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]
Örnek: \( \frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10} \)
4. Çok Adımlı İşlemler ve İşlem Önceliği:
Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlem önceliğine dikkat edilir:
- Parantez içindeki işlemler
- Üslü sayılar (bu konuda henüz yok)
- Çarpma veya Bölme (soldan sağa doğru)
- Toplama veya Çıkarma (soldan sağa doğru)
Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi ve Devirli Ondalık Sayılar 🔢
Her rasyonel sayı bir ondalık sayı olarak yazılabilir. Bu ondalık gösterim ya sonlu (biten) ya da devirli (tekrarlayan) olur.
1. Sonlu Ondalık Sayılar:
Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti haline getirilebilen rasyonel sayılardır.
Örnek: \( \frac{3}{4} \)
- Paydayı 100 yapalım: \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 \)
Veya payı paydaya bölerek de bulabiliriz: \( 3 \div 4 = 0,75 \).
2. Devirli Ondalık Sayılar:
Paydası 10'un kuvveti haline getirilemeyen rasyonel sayılardır. Bölme işlemi yapıldığında ondalık kısımda belirli bir rakam veya rakam grubu düzenli olarak tekrarlar.
Örnek: \( \frac{1}{3} \)
- \( 1 \div 3 = 0,333... \) Bu durumu \( 0,\overline{3} \) şeklinde gösteririz. Üzerindeki çizgi, 3 rakamının sürekli tekrar ettiğini belirtir.
Örnek: \( \frac{5}{6} \)
- \( 5 \div 6 = 0,8333... \) Bu durumu \( 0,8\overline{3} \) şeklinde gösteririz.
Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme:
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirmek için belirli bir kural kullanılır:
Sayı tamamından (virgül ve devir çizgisi olmadan), devretmeyen kısım çıkarılır. Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.
\[ \text{Devirli Ondalık Sayı} = \frac{\text{Tüm Sayı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]
Örnek 1: \( 0,\overline{3} \)
- Tüm sayı: 3
- Devretmeyen kısım: 0
- Devreden basamak sayısı: 1 (bir tane 3 var)
- Devretmeyen basamak sayısı (virgülden sonra): 0
- \( \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Örnek 2: \( 0,\overline{25} \)
- Tüm sayı: 25
- Devretmeyen kısım: 0
- Devreden basamak sayısı: 2 (iki tane 25 var)
- Devretmeyen basamak sayısı (virgülden sonra): 0
- \( \frac{25-0}{99} = \frac{25}{99} \)
Örnek 3: \( 1,2\overline{3} \)
- Tüm sayı: 123
- Devretmeyen kısım: 12
- Devreden basamak sayısı: 1 (bir tane 3 var)
- Devretmeyen basamak sayısı (virgülden sonra): 1 (bir tane 2 var)
- \( \frac{123-12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \)