🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor ve öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor ve öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm.
- Teoremi uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Hesaplamayı yapalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm ve bir dik kenar uzunluğu 5 cm'dir. Diğer dik kenar uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) cm, bir dik kenar \( a = 5 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- \( b \) değerini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. AC kenarı 9 cm ve BC kenarı 12 cm'dir. Bu üçgenin AB hipotenüsüne ait yükseklik kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanabiliriz. Ancak 9. Sınıf müfredatında Öklid'in Alan bağıntısı daha sık kullanılır.
Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu bulma (Pisagor Teoremi)
Adım 2: Alan formülü ile yüksekliği bulma
Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu bulma (Pisagor Teoremi)
- \( a = 12 \) cm, \( b = 9 \) cm. Hipotenüs \( c \)'yi bulacağız.
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 12^2 + 9^2 = c^2 \)
- \( 144 + 81 = c^2 \)
- \( 225 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{225} = 15 \) cm.
Adım 2: Alan formülü ile yüksekliği bulma
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır: Alan \( = \frac{a \times b}{2} \)
- Aynı zamanda, üçgenin alanı taban (hipotenüs) çarpı yükseklik bölü ikidir: Alan \( = \frac{c \times h_c}{2} \), burada \( h_c \) hipotenüse ait yüksekliktir.
- Alanları eşitleyelim: \( \frac{a \times b}{2} = \frac{c \times h_c}{2} \)
- \( a \times b = c \times h_c \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 12 \times 9 = 15 \times h_c \)
- \( 108 = 15 \times h_c \)
- \( h_c \) yalnız bırakalım: \( h_c = \frac{108}{15} \)
- Sadeleştirelim: \( h_c = \frac{36}{5} = 7.2 \) cm.
Örnek 4:
Bir inşaat işçisi, 4 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine 5 metre uzunluğunda bir merdiven dayamıştır. Merdivenin duvara uzaklığı kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur.
- Merdiven, hipotenüs görevi görür (\( c = 5 \) m).
- Duvarın yüksekliği, dik kenarlardan biridir (\( a = 4 \) m).
- Merdivenin duvara olan uzaklığı, diğer dik kenardır (\( b \)'yi bulacağız).
- \( 4^2 + b^2 = 5^2 \)
- \( 16 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 = 25 - 16 \)
- \( b^2 = 9 \)
- \( b = \sqrt{9} \)
- \( b = 3 \) m.
Örnek 5:
Bir televizyon ekranının boyutu, köşegen uzunluğu ile ifade edilir. Eğer bir televizyonun kenar uzunlukları 48 cm ve 36 cm ise, bu televizyonun ekran boyutu (köşegen uzunluğu) kaç cm'dir? 📺
Çözüm:
Televizyon ekranı bir dikdörtgendir. Köşegen, bu dikdörtgeni iki dik üçgene ayırır.
- Dik kenarlar: \( a = 48 \) cm, \( b = 36 \) cm.
- Köşegen uzunluğu, hipotenüstür (\( c \)'yi bulacağız).
- \( 48^2 + 36^2 = c^2 \)
- \( 2304 + 1296 = c^2 \)
- \( 3600 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{3600} \)
- \( c = 60 \) cm.
Örnek 6:
Bir dik üçgende, dik kenarlar arasındaki ilişki \( 3x \) ve \( 4x \) olarak verilmiştir. Hipotenüs uzunluğu ise 25 cm'dir. Bu üçgenin dik kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Dik kenarlar: \( a = 3x \), \( b = 4x \).
- Hipotenüs: \( c = 25 \) cm.
- Kareleri alalım: \( 9x^2 + 16x^2 = 625 \)
- \( x^2 \) terimlerini toplayalım: \( 25x^2 = 625 \)
- \( x^2 \) yalnız bırakalım: \( x^2 = \frac{625}{25} \)
- \( x^2 = 25 \)
- \( x \) değerini bulalım: \( x = \sqrt{25} \)
- \( x = 5 \) cm.
- Birinci dik kenar: \( 3x = 3 \times 5 = 15 \) cm.
- İkinci dik kenar: \( 4x = 4 \times 5 = 20 \) cm.
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde (C açısı 90 derece), AC = 8 cm ve BC = 6 cm'dir. C köşesinden AB kenarına bir dikme çiziliyor ve bu dikmenin AB kenarını kestiği nokta D'dir. AD uzunluğu kaç cm'dir? 📍
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid'in Kenar Teoremi'ni kullanabiliriz. Önce Pisagor ile hipotenüsü bulalım, sonra Öklid'in Kenar Teoremi'ni uygulayalım.
Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu bulma (Pisagor Teoremi)
Adım 2: Öklid'in Kenar Teoremi'ni kullanma
Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu bulma (Pisagor Teoremi)
- Dik kenarlar: \( b = AC = 8 \) cm, \( a = BC = 6 \) cm.
- Hipotenüs \( c = AB \)'yi bulacağız.
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm.
Adım 2: Öklid'in Kenar Teoremi'ni kullanma
- Öklid'in Kenar Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarlar üzerindeki izdüşümleri ile hipotenüsün çarpımına eşittir.
- AC kenarının (b) hipotenüs üzerindeki izdüşümü AD uzunluğudur.
- Teorem: \( b^2 = c \times AD \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 = 10 \times AD \)
- \( 64 = 10 \times AD \)
- AD uzunluğunu bulalım: \( AD = \frac{64}{10} \)
- \( AD = 6.4 \) cm.
Örnek 8:
Bir parkın içinde, birbirine dik olan iki yol bulunmaktadır. Bu yolların kesişim noktasından başlayarak, bir yol boyunca 70 metre ve diğer yol boyunca 240 metre ilerleyen iki arkadaş, parkın dışına çıkmadan birbirlerine en kısa mesafede ulaşmak istiyorlar. Bu iki arkadaş arasındaki en kısa mesafe kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu senaryo, iki dik kenarı 70 metre ve 240 metre olan bir dik üçgen oluşturur. İki arkadaş arasındaki en kısa mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Dik kenarlar: \( a = 70 \) m, \( b = 240 \) m.
- Hipotenüs \( c \)'yi bulacağız.
- \( 70^2 + 240^2 = c^2 \)
- \( 4900 + 57600 = c^2 \)
- \( 62500 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{62500} \)
- \( c = 250 \) m.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ve-oklid-teoremleri/sorular