🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor, Thales, Öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor, Thales, Öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm uzunluğundadır. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. \(a^2 + b^2 = c^2\) formülü ile ifade edilir.
- Verilen dik kenarlar: \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için formülü uygulayalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
- Sonuç: \(c = 10\) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 12 cm, AC kenarı 18 cm ve bu iki kenar arasındaki açı 60 derecedir. BC kenarının uzunluğunu kosinüs teoremini kullanarak bulunuz. (Not: 9. Sınıf müfredatında kosinüs teoremi doğrudan yer almasa da, benzerlik ve oranlarla bu sonuca dolaylı yoldan ulaşılabilir. Burada basit bir uygulama örneği sunulmuştur.) 💡
Çözüm:
Kosinüs teoremi, genel bir üçgende bir kenarın uzunluğunu diğer iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının kosinüsü cinsinden hesaplamak için kullanılır. Formülü şöyledir: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\).
- Verilenler: \(a = 18\) cm (AC), \(b = 12\) cm (AB), \(C = 60^\circ\) (A açısı, dolayısıyla BC kenarı c olur)
- Formülü uygulayalım: \(c^2 = 18^2 + 12^2 - 2 \times 18 \times 12 \times \cos(60^\circ)\)
- Kareleri ve çarpımları hesaplayalım: \(c^2 = 324 + 144 - 2 \times 18 \times 12 \times 0.5\)
- \(c^2 = 468 - 216\)
- \(c^2 = 252\)
- BC kenarının uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \(c = \sqrt{252}\)
- Sadeleştirerek: \(c = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7}\) cm
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. CD, AB kenarına ait yüksekliktir. AD = 4 cm ve DB = 9 cm olduğuna göre, CD (yükseklik) uzunluğunu Öklid'in yükseklik teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Öklid'in yükseklik teoremi, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu söyler. \(h^2 = p \times k\) formülü ile ifade edilir, burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise hipotenüs üzerindeki parçalardır.
- Verilenler: AD = \(p = 4\) cm, DB = \(k = 9\) cm
- Yükseklik CD'nin uzunluğunu \(h\) ile gösterelim.
- Öklid'in yükseklik teoremini uygulayalım: \(h^2 = 4 \times 9\)
- Çarpımı bulalım: \(h^2 = 36\)
- Yüksekliğin uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \(h = \sqrt{36}\)
- Sonuç: \(h = 6\) cm
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek için gölgesini kullanıyor. Mühendisin boyu 1.80 m ve gölgesi 2.40 m'dir. Aynı anda, binanın gölgesi 12 m olarak ölçülüyor. Bina ile mühendisin boyu arasındaki benzerliği kullanarak binanın gerçek yüksekliğini hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, güneş ışınlarının paralel olduğu varsayımıyla, mühendisin boyu ve gölgesi ile binanın boyu ve gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur. Thales teoreminin bir uygulamasıdır.
- Benzerlik oranı: (Mühendisin boyu) / (Mühendisin gölgesi) = (Binanın boyu) / (Binanın gölgesi)
- Verilenler: Mühendisin boyu = 1.80 m, Mühendisin gölgesi = 2.40 m, Binanın gölgesi = 12 m
- Binanın boyunu \(H\) ile gösterelim.
- Orantıyı kuralım: \( \frac{1.80}{2.40} = \frac{H}{12} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2.40 \times H = 1.80 \times 12 \)
- \( 2.40 \times H = 21.60 \)
- Binanın boyunu bulmak için bölelim: \( H = \frac{21.60}{2.40} \)
- Sonuç: \( H = 9 \) m
Örnek 5:
Bir televizyon ekranının boyutu köşegen uzunluğu ile ifade edilir. 55 inçlik bir televizyonun ekranının genişliği 48 inç ise, yüksekliğini Pisagor teoremini kullanarak yaklaşık olarak hesaplayınız. (1 inç yaklaşık 2.54 cm'dir, ancak hesaplamada inç birimini kullanabiliriz.) 📺
Çözüm:
Televizyon ekranı bir dikdörtgen şeklindedir. Köşegen, dik kenarları (genişlik ve yükseklik) olan bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülebilir.
- Pisagor teoremi: \(genişlik^2 + yükseklik^2 = köşegen^2\)
- Verilenler: Köşegen = 55 inç, Genişlik = 48 inç
- Yüksekliği \(y\) ile gösterelim.
- Formülü uygulayalım: \(48^2 + y^2 = 55^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(2304 + y^2 = 3025\)
- \(y^2 = 3025 - 2304\)
- \(y^2 = 721\)
- Yüksekliği bulmak için karekök alalım: \(y = \sqrt{721}\)
- Yaklaşık değer: \(y \approx 26.85\) inç
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. AC = 5 birim ve BC = 12 birimdir. AB (hipotenüs) kenarının uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Pisagor teoremi \(a^2 + b^2 = c^2\) formülü ile ifade edilir.
- Dik kenarlar: \(a = 5\) birim, \(b = 12\) birim
- Hipotenüs: \(c\)
- Teoremi uygulayalım: \(5^2 + 12^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(25 + 144 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(169 = c^2\)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \(c = \sqrt{169}\)
- Sonuç: \(c = 13\) birim
Örnek 7:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki mesafe ölçülmek isteniyor. Bir kişi, ilk ağacın 10 metre güneyinde duruyor ve ikinci ağacın 24 metre doğusunda duruyor. Bu kişi, iki ağaç arasında düz bir çizgi olsaydı, bu çizginin uzunluğunun ne kadar olacağını merak ediyor. Bu iki ağaç arasındaki mesafeyi Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Kişinin bulunduğu nokta, dik açının köşesi olarak kabul edilebilir. Bir kenar kuzey-güney yönündeki mesafeyi (10 m), diğer kenar ise doğu-batı yönündeki mesafeyi (24 m) temsil eder. İki ağaç arasındaki mesafe ise hipotenüs olacaktır.
- Dik kenarlar: \(a = 10\) m, \(b = 24\) m
- Hipotenüs (ağaçlar arası mesafe): \(c\)
- Pisagor teoremini uygulayalım: \(10^2 + 24^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(100 + 576 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(676 = c^2\)
- Mesafe için karekök alalım: \(c = \sqrt{676}\)
- Sonuç: \(c = 26\) m
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB kenarı 8 cm ve AC kenarı 15 cm'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulunuz. (İpucu: Dik üçgenlerde çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır.) ⭕
Çözüm:
Dik üçgenlerde, çevrel çemberin çapı hipotenüsün uzunluğuna eşittir. Bu nedenle, çevrel çemberin yarıçapı hipotenüsün yarısıdır.
- Önce Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs AB'yi bulalım.
- Dik kenarlar: \(a = 8\) cm, \(b = 15\) cm
- Hipotenüs: \(c\)
- \(8^2 + 15^2 = c^2\)
- \(64 + 225 = c^2\)
- \(289 = c^2\)
- \(c = \sqrt{289} = 17\) cm
- Çevrel çemberin yarıçapı (r), hipotenüsün yarısıdır: \(r = \frac{c}{2}\)
- \(r = \frac{17}{2}\)
- Sonuç: \(r = 8.5\) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-thales-oklid-teoremleri/sorular