💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor'dan olasılığa konu anlatımı Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Pisagor Bağıntısı Temel Uygulama
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Üçgenin dik kenar uzunlukları \( AB = 5 \) birim ve \( BC = 12 \) birimdir. Buna göre hipotenüs uzunluğu olan \( AC \) kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Pisagor bağıntısını kullanarak soruyu adım adım çözelim:
Adım 1: Pisagor formülünü hatırlayalım. Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım. \( 5^2 + 12^2 = AC^2 \)
Adım 3: Kare alma işlemlerini yapalım. \( 25 + 144 = AC^2 \)
Adım 4: Toplamı bulalım. \( 169 = AC^2 \)
Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım. \( AC = \sqrt{169} = 13 \) birim bulunur.
✅ Bu üçgen, meşhur 5-12-13 özel dik üçgenidir.
2
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
İtfaiye Merdiveni ve Pisagor
Bir itfaiye aracı, yerden yüksekliği \( 8 \) metre olan bir pencereye müdahale edecektir. İtfaiye merdiveninin tabanı, binadan \( 6 \) metre uzaklığa yerleştirilmiştir. Bu durumda, merdivenin pencereye ulaşabilmesi için uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur:
Bina yüksekliği (Dik kenar 1): \( 8 \) metre
Binaya uzaklık (Dik kenar 2): \( 6 \) metre
Merdiven uzunluğu (Hipotenüs): \( x \) metre
Çözüm adımları:
Pisagor bağıntısı: \( 6^2 + 8^2 = x^2 \)
\( 36 + 64 = x^2 \)
\( 100 = x^2 \)
\( x = 10 \) metre
💡 İpucu: Bu soru 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Özel Açılı Üçgenler (30-60-90)
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) ve B açısı \( 30^\circ \) derecedir. Hipotenüs uzunluğu \( BC = 10 \) birim olduğuna göre, \( 30^\circ \) derecelik açının karşısındaki \( AC \) kenarı ile \( 60^\circ \) derecelik açının karşısındaki \( AB \) kenarının uzunluklarını bulunuz. 📐
Sonuç olarak; \( AC = 5 \) ve \( AB = 5\sqrt{3} \) birimdir. ✨
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Öklid Bağıntıları
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) derecedir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. Eğer \( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim ise, indirilen dikmenin uzunluğu olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik bağıntısını (Öklid) kullanalım:
Formül: Yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. \( h^2 = p \times k \)
Verilenleri yerine koyalım: \( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
\( h = \sqrt{36} = 6 \) birim bulunur.
📌 Öklid bağıntısı sadece dik açıdan hipotenüse dikme indirildiğinde geçerlidir.
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Merkezi Eğilim Ölçüleri: Aritmetik Ortalama
Bir öğrencinin matematik sınavlarından aldığı notlar şöyledir: \( 70, 85, 90, 75 \). Bu öğrencinin notlarının aritmetik ortalaması kaçtır? 📝
Çözüm ve Açıklama
Aritmetik ortalamayı bulmak için tüm verileri toplayıp veri sayısına böleriz:
Toplam: \( 70 + 85 + 90 + 75 = 320 \)
Veri Sayısı: \( 4 \)
Ortalama: \( 320 \div 4 = 80 \)
✅ Öğrencinin matematik not ortalaması \( 80 \)'dir.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Veri Analizi: Açıklık (Ranj) ve Medyan
Bir basketbolcunun son 5 maçta attığı sayılar şöyledir: \( 12, 25, 18, 30, 15 \). Bu veri grubunun açıklığını ve medyanını (ortanca) bulunuz. 🏀
Çözüm ve Açıklama
Verileri analiz etmek için önce küçükten büyüğe sıralayalım:
\( 12, 15, 18, 25, 30 \)
Açıklık (Ranj): En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
\( 30 - 12 = 18 \)
Medyan (Ortanca): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki değerdir.
Sıralamada ortadaki sayı \( 18 \)'dir.
Sonuç: Açıklık \( 18 \), Medyan \( 18 \)'dir. 🎯
7
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Olasılığa Giriş: Zar Atma Deneyi
Havaya atılan hilesiz bir zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎲
Çözüm ve Açıklama
Olasılık hesabı için istenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlarız:
Örnek Uzay (Tüm Durumlar): \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Eleman sayısı \( s(E) = 6 \).
İstenen Olay (Asal Sayılar): \( A = \{2, 3, 5\} \). Eleman sayısı \( s(A) = 3 \).
Olasılık Formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
\( P(A) = \frac{3}{6} \)
Sadeleştirme yaparsak: \( P(A) = \frac{1}{2} \) veya %50 bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Torba Problemi ve Olasılık
Bir torbanın içerisinde özdeş \( 4 \) kırmızı, \( 5 \) mavi ve \( 3 \) sarı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz. En pratik yolu kullanalım:
Mavi Olmama Durumu: Bilyenin ya kırmızı ya da sarı olması demektir.
İstenen Durum Sayısı (Kırmızı + Sarı): \( 4 + 3 = 7 \)
Olasılık: \( P = \frac{7}{12} \)
Alternatif Yol: Tüm olasılıktan (%100 veya 1) mavi olma olasılığını çıkarabiliriz:
Mavi olma olasılığı: \( 5 \div 12 \)
Mavi olmama olasılığı: \( 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \)
✅ Sonuç: \( \frac{7}{12} \) olarak hesaplanır.
9. Sınıf Matematik: Pisagor'dan olasılığa konu anlatımı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Pisagor Bağıntısı Temel Uygulama
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Üçgenin dik kenar uzunlukları \( AB = 5 \) birim ve \( BC = 12 \) birimdir. Buna göre hipotenüs uzunluğu olan \( AC \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Pisagor bağıntısını kullanarak soruyu adım adım çözelim:
Adım 1: Pisagor formülünü hatırlayalım. Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım. \( 5^2 + 12^2 = AC^2 \)
Adım 3: Kare alma işlemlerini yapalım. \( 25 + 144 = AC^2 \)
Adım 4: Toplamı bulalım. \( 169 = AC^2 \)
Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım. \( AC = \sqrt{169} = 13 \) birim bulunur.
✅ Bu üçgen, meşhur 5-12-13 özel dik üçgenidir.
Örnek 2:
İtfaiye Merdiveni ve Pisagor
Bir itfaiye aracı, yerden yüksekliği \( 8 \) metre olan bir pencereye müdahale edecektir. İtfaiye merdiveninin tabanı, binadan \( 6 \) metre uzaklığa yerleştirilmiştir. Bu durumda, merdivenin pencereye ulaşabilmesi için uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur:
Bina yüksekliği (Dik kenar 1): \( 8 \) metre
Binaya uzaklık (Dik kenar 2): \( 6 \) metre
Merdiven uzunluğu (Hipotenüs): \( x \) metre
Çözüm adımları:
Pisagor bağıntısı: \( 6^2 + 8^2 = x^2 \)
\( 36 + 64 = x^2 \)
\( 100 = x^2 \)
\( x = 10 \) metre
💡 İpucu: Bu soru 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.
Örnek 3:
Özel Açılı Üçgenler (30-60-90)
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) ve B açısı \( 30^\circ \) derecedir. Hipotenüs uzunluğu \( BC = 10 \) birim olduğuna göre, \( 30^\circ \) derecelik açının karşısındaki \( AC \) kenarı ile \( 60^\circ \) derecelik açının karşısındaki \( AB \) kenarının uzunluklarını bulunuz. 📐
Sonuç olarak; \( AC = 5 \) ve \( AB = 5\sqrt{3} \) birimdir. ✨
Örnek 4:
Öklid Bağıntıları
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) derecedir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. Eğer \( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim ise, indirilen dikmenin uzunluğu olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik bağıntısını (Öklid) kullanalım:
Formül: Yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. \( h^2 = p \times k \)
Verilenleri yerine koyalım: \( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
\( h = \sqrt{36} = 6 \) birim bulunur.
📌 Öklid bağıntısı sadece dik açıdan hipotenüse dikme indirildiğinde geçerlidir.
Örnek 5:
Merkezi Eğilim Ölçüleri: Aritmetik Ortalama
Bir öğrencinin matematik sınavlarından aldığı notlar şöyledir: \( 70, 85, 90, 75 \). Bu öğrencinin notlarının aritmetik ortalaması kaçtır? 📝
Çözüm:
Aritmetik ortalamayı bulmak için tüm verileri toplayıp veri sayısına böleriz:
Toplam: \( 70 + 85 + 90 + 75 = 320 \)
Veri Sayısı: \( 4 \)
Ortalama: \( 320 \div 4 = 80 \)
✅ Öğrencinin matematik not ortalaması \( 80 \)'dir.
Örnek 6:
Veri Analizi: Açıklık (Ranj) ve Medyan
Bir basketbolcunun son 5 maçta attığı sayılar şöyledir: \( 12, 25, 18, 30, 15 \). Bu veri grubunun açıklığını ve medyanını (ortanca) bulunuz. 🏀
Çözüm:
Verileri analiz etmek için önce küçükten büyüğe sıralayalım:
\( 12, 15, 18, 25, 30 \)
Açıklık (Ranj): En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
\( 30 - 12 = 18 \)
Medyan (Ortanca): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki değerdir.
Sıralamada ortadaki sayı \( 18 \)'dir.
Sonuç: Açıklık \( 18 \), Medyan \( 18 \)'dir. 🎯
Örnek 7:
Olasılığa Giriş: Zar Atma Deneyi
Havaya atılan hilesiz bir zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎲
Çözüm:
Olasılık hesabı için istenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlarız:
Örnek Uzay (Tüm Durumlar): \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Eleman sayısı \( s(E) = 6 \).
İstenen Olay (Asal Sayılar): \( A = \{2, 3, 5\} \). Eleman sayısı \( s(A) = 3 \).
Olasılık Formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
\( P(A) = \frac{3}{6} \)
Sadeleştirme yaparsak: \( P(A) = \frac{1}{2} \) veya %50 bulunur.
Örnek 8:
Torba Problemi ve Olasılık
Bir torbanın içerisinde özdeş \( 4 \) kırmızı, \( 5 \) mavi ve \( 3 \) sarı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz. En pratik yolu kullanalım: