💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler

Pisagor bağıntısını kullanarak çözüme ulaşalım:

• Adım 1: Dik üçgende Pisagor bağıntısı formülünü hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = x^2 \).
• Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 16 = x^2 \).
• Adım 4: Toplamı bulalım: \( 25 = x^2 \).
• Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 5 \) cm.

Bilinmeyen dik kenarı bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayalım:

• Adım 1: Bağıntıyı kuralım: \( 5^2 + y^2 = 13^2 \).
• Adım 2: Sayıların karelerini alalım: \( 25 + y^2 = 169 \).
• Adım 3: Bilinmeyeni yalnız bırakmak için \( 25 \) sayısını karşıya atalım: \( y^2 = 169 - 25 \).
• Adım 4: Çıkarma işlemini yapalım: \( y^2 = 144 \).
• Adım 5: Karekök alalım: \( y = 12 \) cm.

Kenar oranlarını kullanarak değişken atayalım:

• Adım 1: Kenarlara \( 3k \) ve \( 4k \) diyelim. Bu durumda hipotenüs \( 5k \) olur (3-4-5 üçgeninin katları).
• Adım 2: Hipotenüs değeri verildiği için eşitleme yapalım: \( 5k = 15 \).
• Adım 3: Her iki tarafı \( 5 \)'e bölerek \( k \) değerini bulalım: \( k = 3 \).
• Adım 4: Kenar uzunluklarını hesaplayalım:
  Kısa kenar: \( 3k = 3 \times 3 = 9 \) cm.
  Uzun dik kenar: \( 4k = 4 \times 3 = 12 \) cm.

Pisagor bağıntısını doğrudan uygulayalım:

• Adım 1: Denklem: \( 8^2 + 15^2 = z^2 \).
• Adım 2: Kareleri alalım: \( 64 + 225 = z^2 \).
• Adım 3: Toplayalım: \( 289 = z^2 \).
• Adım 4: Karekök alalım: \( 289 \) sayısı \( 17 \)'nin karesidir.
• Adım 5: Sonuç: \( z = 17 \) cm.

Bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur:

• Adım 1: Bina yüksekliği (dik kenar) = \( 12 \) m.
• Adım 2: Binaya olan uzaklık (diğer dik kenar) = \( 5 \) m.
• Adım 3: Merdiven boyu (hipotenüs) = \( x \) olsun.
• Adım 4: Pisagor uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = x^2 \).
• Adım 5: İşlemler: \( 25 + 144 = 169 \).
• Adım 6: Karekök: \( x = 13 \) m.

Sırasıyla iki kez Pisagor uygulayalım:

• Adım 1: Önce ABC üçgeninde hipotenüsü bulalım: \( 7^2 + 24^2 = AC^2 \).
• Adım 2: \( 49 + 576 = 625 \). Buradan \( AC = 25 \) cm bulunur (7-24-25 üçgeni).
• Adım 3: Şimdi ACD üçgenine bakalım. Burada hipotenüs \( AD \), dik kenarlar ise \( AC \) ve \( CD \)'dir.
• Adım 4: Pisagor kuralım: \( AC^2 + CD^2 = AD^2 \).
• Adım 5: Değerleri yazalım: \( 25^2 + 20^2 = t^2 \).
• Adım 6: \( 625 + 400 = 1025 \).
• Adım 7: \( t = \sqrt{1025} \). Bu sayı \( 25 \times 41 \) olarak yazılabilir.
• Adım 8: Sonuç: \( t = 5\sqrt{41} \) cm.

Kuzey ve doğu yönleri birbirine diktir (\( 90^\circ \)). Bu yüzden bir dik üçgen oluşur:

• Adım 1: Dik kenarlar \( 20 \) m ve \( 21 \) m'dir.
• Adım 2: En kısa mesafe hipotenüstür (\( x \)).
• Adım 3: Formül: \( 20^2 + 21^2 = x^2 \).
• Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 400 + 441 = 841 \).
• Adım 5: \( 841 \) sayısının karekökünü bulalım. \( 29 \times 29 = 841 \) olduğundan \( x = 29 \).

Direğin kırılan parçası ile ayakta kalan parçası bir dik üçgen oluşturur:

• Adım 1: Ayakta kalan kısma \( h \) diyelim.
• Adım 2: Direğin toplam boyu \( 18 \) m olduğu için, devrilen parçanın uzunluğu \( 18 - h \) olur.
• Adım 3: Yere düşen uç ile direk dibi arası mesafe \( 12 \) m'dir.
• Adım 4: Pisagor bağıntısı: \( h^2 + 12^2 = (18 - h)^2 \).
• Adım 5: Denklemi açalım: \( h^2 + 144 = 324 - 36h + h^2 \).
• Adım 6: Her iki taraftaki \( h^2 \) terimleri birbirini yok eder: \( 144 = 324 - 36h \).
• Adım 7: \( 36h = 324 - 144 \) ise \( 36h = 180 \).
• Adım 8: \( h = 180 / 36 = 5 \) m.