Öteleme Ders Notu

9. Sınıf Matematik: Öteleme

Geometrik şekillerin konumlarını değiştirmek için kullanılan temel dönüşüm hareketlerinden biri olan öteleme, bir şekli veya noktayı belirli bir doğrultu ve büyüklükte kaydırma işlemidir. Öteleme sonucunda şeklin boyutu, şekli ve yönü değişmez; sadece konumu farklılaşır. Bu, koordinat sisteminde noktaların veya şekillerin yerini belirlerken oldukça kullanışlı bir yöntemdir.

Ötelemenin Temel Kavramları

Öteleme işlemi, bir vektör ile tanımlanır. Bu vektör, ötelemenin yönünü ve kaç birim öteleneceğini belirtir. Bir noktayı veya şekli ötelemek demek, o noktanın veya şeklin her bir noktasını aynı vektör kadar kaydırmak demektir.

Noktaların Ötelenmesi

Koordinat sisteminde bir \(A(x, y)\) noktasının \( \vec{v} = (a, b) \) vektörü kadar ötelenmesi demek, noktanın x-koordinatine \(a\) birim, y-koordinatine ise \(b\) birim eklenmesi demektir. Yeni noktanın koordinatları \(A'(x+a, y+b)\) olur.

Örnek 1:

Aşağıdaki noktayı \( \vec{v} = (3, -2) \) vektörü kadar öteleyelim:

Nokta: \( P(4, 5) \)

Öteleme vektörü: \( \vec{v} = (3, -2) \)

Yeni noktanın koordinatları \( P'(x+a, y+b) \) şeklinde bulunur.

\( x' = 4 + 3 = 7 \)

\( y' = 5 + (-2) = 3 \)

O halde, ötelenmiş nokta \( P'(7, 3) \) olur.

Şekillerin Ötelenmesi

Bir şeklin ötelenmesi, o şekli oluşturan tüm noktaların aynı vektör kadar ötelenmesiyle gerçekleşir. Örneğin, bir doğru parçasını ötelemek demek, o doğru parçasının uç noktalarını aynı vektör kadar ötelemek demektir. Oluşan yeni doğru parçası, orijinal doğru parçasına paralel ve eş olacaktır.

Örnek 2:

Aşağıdaki doğru parçasını \( \vec{u} = (-1, 4) \) vektörü kadar öteleyelim:

Doğru parçası uç noktaları: \( A(2, 1) \) ve \( B(5, 3) \)

Öteleme vektörü: \( \vec{u} = (-1, 4) \)

A noktasının ötelenmiş hali \( A'(x+a, y+b) \):

\( x_A' = 2 + (-1) = 1 \)

\( y_A' = 1 + 4 = 5 \)

B noktasının ötelenmiş hali \( B'(x+a, y+b) \):

\( x_B' = 5 + (-1) = 4 \)

\( y_B' = 3 + 4 = 7 \)

O halde, ötelenmiş doğru parçasının uç noktaları \( A'(1, 5) \) ve \( B'(4, 7) \) olur.

Ötelemenin Özellikleri

• Öteleme, bir izometri (uzunluk ve açıları koruyan dönüşüm) olduğu için şeklin boyutu, şekli ve açıları değişmez.
• Ötelenen şekil, orijinal şekle daima paraleldir.
• Öteleme vektörü, orijinal şekil ile ötelenmiş şekil arasındaki uzaklığı ve yönü belirtir.

Günlük Yaşamdan Örnekler

Öteleme kavramı günlük hayatımızda karşımıza sıkça çıkar:

• Bir trenin raylar üzerinde düz bir hat boyunca ilerlemesi.
• Bir asansörün katlar arasında dikey olarak hareket etmesi.
• Bir kapının menteşeleri etrafında dönmeden, düz bir çizgide açılması (bu tam olarak öteleme olmasa da, hareket prensibi benzerdir).
• Bir arabanın park halinden ileri doğru hareket etmesi.

Çözümlü Örnek

Soru: Köşe koordinatları \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \) ve \( C(2, 5) \) olan bir ABC üçgenini \( \vec{k} = (2, -3) \) vektörü kadar öteleyiniz. Yeni üçgenin köşe koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

Her bir köşe noktasını öteleme vektörü kadar kaydıracağız.

A noktasının yeni koordinatları \( A'(x+a, y+b) \):

\( x_A' = 1 + 2 = 3 \)

\( y_A' = 2 + (-3) = -1 \)

Dolayısıyla \( A'(3, -1) \).

B noktasının yeni koordinatları \( B'(x+a, y+b) \):

\( x_B' = 3 + 2 = 5 \)

\( y_B' = 4 + (-3) = 1 \)

Dolayısıyla \( B'(5, 1) \).

C noktasının yeni koordinatları \( C'(x+a, y+b) \):

\( x_C' = 2 + 2 = 4 \)

\( y_C' = 5 + (-3) = 2 \)

Dolayısıyla \( C'(4, 2) \).

Yeni üçgenin köşe koordinatları \( A'(3, -1) \), \( B'(5, 1) \) ve \( C'(4, 2) \) olur.