Önermeler Ders Notu

9. Sınıf Matematik: Önermeler 🚀

Mantığın temel yapı taşlarından biri olan önermeler, doğru ya da yanlış kesin olarak hüküm bildiren ifadelerdir. Günlük hayatımızda farkında olmadan pek çok önerme kullanırız. Örneğin, "Bugün hava yağmurlu." ifadesi, hava durumuna göre doğru veya yanlış olabilir. Matematikte ise önermeler, ispatların ve mantıksal çıkarımların temelini oluşturur.

Önerme Nedir?

Bir önerme, doğruluk değeri (doğru veya yanlış) kesin olarak bilinen yargı bildiren bir cümledir. Bir ifadenin önerme olabilmesi için hem yargı bildirmesi hem de bu yargının doğruluğunun veya yanlışlığının tartışmasız olması gerekir.

Önerme Olan İfadeler:

• "İki tek sayının toplamı çifttir." (Doğru önerme)
• "Dünya, Güneş etrafında dönmez." (Yanlış önerme)
• "Her tam sayı pozitiftir." (Yanlış önerme)
• " \( 5 + 3 = 8 \) " (Doğru önerme)

Önerme Olmayan İfadeler:

• "Kapıyı kapat." (Emir cümlesi)
• "Ne kadar güzelsin!" (Sevinç ifadesi)
• "Bugün hava nasıl?" (Soru cümlesi)
• "Belki yarın gelir." (Belirsizlik ifadesi)

Doğruluk Değeri

Her önermenin bir doğruluk değeri vardır: doğru (1) veya yanlış (0). Bir önermenin doğruluk değeri, o önermenin içeriğine bakılarak belirlenir.

• Önermenin doğru olması durumunda doğruluk değeri 1'dir.
• Önermenin yanlış olması durumunda doğruluk değeri 0'dır.

Önermeler genellikle \( p, q, r, s \) gibi küçük harflerle gösterilir. Bir \( p \) önermesinin doğruluk değerini \( D(p) \) ile gösterebiliriz. Eğer \( p \) önermesi doğru ise \( D(p) = 1 \), yanlış ise \( D(p) = 0 \) olur.

Örnekler ve Açıklamaları:

Örnek 1: Aşağıdaki ifadelerden hangileri önermedir? Doğruluk değerlerini belirtiniz.

• a) "En küçük asal sayı 2'dir."
• b) "Her gün okul var mı?"
• c) " \( \sqrt{9} = 3 \) "
• d) "Bugün çok yorgunum."

Çözüm 1:

• a) Bu bir yargı bildiren ve doğruluğu kesin olan bir ifadedir. Dolayısıyla önermedir. Doğruluk değeri 1'dir (Doğru).
• b) Bu bir soru cümlesidir, yargı bildirmez. Dolayısıyla önerme değildir.
• c) Bu bir matematiksel yargı bildiren ve doğruluğu kesin olan bir ifadedir. Dolayısıyla önermedir. Doğruluk değeri 1'dir (Doğru).
• d) Bu bir duygu ifadesidir, doğruluğu veya yanlışlığı kişiden kişiye değişir, kesin bir yargı bildirmez. Dolayısıyla önerme değildir.

Örnek 2: \( p \) önermesi "Bir haftada 7 gün vardır." olarak tanımlansın. \( q \) önermesi ise "Her ay 30 gün çeker." olarak tanımlansın. Bu önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm 2:

• \( p \) önermesi doğrudur. Dolayısıyla \( D(p) = 1 \).
• \( q \) önermesi yanlıştır (bazı aylar 31, bazıları 28 veya 29 gün çeker). Dolayısıyla \( D(q) = 0 \).

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. Denk önermeler \( p \equiv q \) şeklinde gösterilir.

Örnek 3:

• \( p \): "10 sayısı çift bir sayıdır." (\( D(p) = 1 \))
• \( q \): " \( 2 + 2 = 4 \) " (\( D(q) = 1 \))
• \( r \): "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (\( D(r) = 1 \))

Bu durumda \( p, q, r \) önermeleri birbirine denktir. \( p \equiv q \equiv r \) yazılabilir.

Örnek 4:

• \( a \): "En büyük tek rakam 9'dur." (\( D(a) = 1 \))
• \( b \): "Her tam sayı pozitiftir." (\( D(b) = 0 \))
• \( c \): "Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir." (\( D(c) = 1 \))

Bu durumda \( a \) ve \( c \) önermeleri birbirine denktir. \( a \equiv c \). \( b \) önermesi ise bunlardan farklı bir doğruluk değerine sahiptir.

Niceleyiciler (Nicelik Belirteçleri)

Niceleyiciler, bir kümedeki elemanların bir özelliğe sahip olup olmadığını belirten ifadelerdir. 9. Sınıf müfredatında iki temel niceleyici bulunur:

1. Evrensel Niceleyici (Her, Bütün)

Bu niceleyici, bir kümedeki bütün elemanların bir özelliği taşıdığını ifade eder. Sembolü \( \forall \) şeklindedir.

• Örnek: \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 \) (Her gerçel sayının karesi sıfıra eşittir veya sıfırdan büyüktür.) Bu önerme doğrudur.
• Örnek: \( \forall x \in \mathbb{Z}, x > 0 \) (Her tam sayı pozitiftir.) Bu önerme yanlıştır, çünkü negatif tam sayılar da vardır.

2. Varoluşsal Niceleyici (Bazı, En az bir)

Bu niceleyici, bir kümede özelliği taşıyan en az bir elemanın var olduğunu ifade eder. Sembolü \( \exists \) şeklindedir.

• Örnek: \( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 4 \) (Karesi 4'e eşit olan en az bir gerçel sayı vardır.) Bu önerme doğrudur (örneğin \( x=2 \) veya \( x=-2 \)).
• Örnek: \( \exists x \in \mathbb{N}, x < 0 \) (Negatif bir doğal sayı vardır.) Bu önerme yanlıştır, çünkü doğal sayılar kümesi pozitif tam sayılardan oluşur.

Niceleyicili Önermelerin Doğruluk Değerleri

• Evrensel niceleyici ile kurulan önermenin doğru olabilmesi için, kümedeki tüm elemanların özelliği sağlaması gerekir. Tek bir eleman bile sağlamazsa önerme yanlış olur.
• Varoluşsal niceleyici ile kurulan önermenin doğru olabilmesi için, kümede özelliği sağlayan en az bir elemanın bulunması yeterlidir.

Örnek 5: Aşağıdaki niceleyicili önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

• a) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x \) bir tam sayıdır.
• b) \( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1 \)
• c) \( \forall x \in \mathbb{N}, x \ge 1 \)
• d) \( \exists x \in \mathbb{Z}, x \cdot x = 9 \)

Çözüm 5:

• a) Her tam sayı zaten bir tam sayıdır. Bu önerme doğrudur. \( D(a) = 1 \).
• b) Karesi -1'e eşit olan gerçel sayı yoktur. Bu önerme yanlıştır. \( D(b) = 0 \).
• c) Doğal sayılar kümesi \( \{1, 2, 3, ...\} \) olarak tanımlanırsa (bazı kaynaklarda \( \{0, 1, 2, ...\} \) olarak da tanımlanabilir, ancak bu seviyede genellikle 1'den başlar), bu önerme doğrudur. \( D(c) = 1 \).
• d) Karesi 9'a eşit olan tam sayılar vardır (3 ve -3). Bu önerme doğrudur. \( D(d) = 1 \).