📝 9. Sınıf Matematik: Ondalıklı Sayılar Ders Notu
Ondalıklı Sayılar 🔢
Ondalıklı sayılar, tam sayılarla kesirli sayılar arasındaki değerleri ifade etmek için kullandığımız sayılardır. Günlük hayatımızda para birimleri, ölçümler (uzunluk, ağırlık, sıcaklık) gibi pek çok alanda karşılaştığımız sayılardır. Bir tam sayının yanında, virgül (,) ile ayrılmış ondalık kısma sahip olan sayılardır.
Ondalıklı Sayıların Yapısı
Ondalıklı bir sayının tam kısım ve ondalık kısım olmak üzere iki bölümü vardır. Bu iki bölümü birbirinden ayırmak için virgül kullanılır.
- Tam Kısım: Virgülün solunda yer alan kısımdır.
- Ondalık Kısım: Virgülün sağında yer alan kısımdır.
Örneğin, 12,345 sayısında:
- Tam kısım: 12
- Ondalık kısım: 345
Ondalık kısmın basamaklarının her biri, 10'un negatif kuvvetlerine karşılık gelir:
- Virgülden sonraki ilk basamak: onda birler (\( \frac{1}{10} \) veya \( 10^{-1} \))
- Virgülden sonraki ikinci basamak: yüzde birler (\( \frac{1}{100} \) veya \( 10^{-2} \))
- Virgülden sonraki üçüncü basamak: binde birler (\( \frac{1}{1000} \) veya \( 10^{-3} \)) ve bu şekilde devam eder.
Dolayısıyla, 12,345 sayısını şu şekilde açabiliriz:
\[ 12,345 = 12 + \frac{3}{10} + \frac{4}{100} + \frac{5}{1000} \]Bu da şu şekilde ifade edilebilir:
\[ 12,345 = 12 + 0,3 + 0,04 + 0,005 \]Ondalıklı Sayıları Okuma
Ondalıklı sayıları okurken, tam kısmı okur, ardından virgülü "virgül" olarak okur ve ondalık kısmı basamak değerlerine göre söyleriz.
- 0,5: Sıfır tam onda beş
- 3,14: Üç tam onda dört
- 25,07: Yirmi beş tam yüzde yedi
- 1,234: Bir tam binde üç yüz kırk dört
Ondalıklı Sayıları Kesir Olarak Yazma
Ondalıklı bir sayıyı kesir olarak yazmak için, ondalık kısmı paya, payda ise ondalık kısmın basamak sayısına göre 1'in yanına aynı sayıda sıfır eklenerek yazılır. Tam kısım ise kesrin tam sayısı olarak kalır.
Örnek 1: 0,75 sayısını kesir olarak yazalım.
Ondalık kısımda 2 basamak var (75). Bu yüzden payda 1'in yanına 2 sıfır ekleriz (100).
\[ 0,75 = \frac{75}{100} \]Bu kesri sadeleştirebiliriz:
\[ \frac{75}{100} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{3}{4} \]Örnek 2: 2,4 sayısını kesir olarak yazalım.
Ondalık kısımda 1 basamak var (4). Bu yüzden payda 1'in yanına 1 sıfır ekleriz (10).
\[ 2,4 = 2 \frac{4}{10} \]Bu bileşik kesri de sadeleştirebiliriz:
\[ 2 \frac{4}{10} = 2 \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = 2 \frac{2}{5} \]Veya doğrudan bir kesir olarak yazarsak:
\[ 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \]Kesirleri Ondalıklı Sayı Olarak Yazma
Bir kesri ondalıklı sayı olarak yazmanın iki temel yolu vardır:
- Paydayı 10'un Kuvvetleri Şeklinde Yazma: Kesrin paydasını 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri şeklinde yazabiliyorsak, bu yöntemi kullanırız. Payda 10'un kuvveti haline getirildikten sonra, paydaki sayıyı paydadaki sıfır sayısı kadar basamak sola kaydırarak ondalıklı sayı elde ederiz.
- Bölme İşlemi Yapma: Payı paydaya bölerek ondalıklı sayıyı buluruz.
Örnek 3: \( \frac{3}{5} \) kesrini ondalıklı sayı olarak yazalım.
Paydayı 10 yapmak için hem payı hem de paydayı 2 ile çarparız:
\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} \]Şimdi paydadaki sıfır sayısı kadar basamağı sola kaydırarak ondalıklı sayıyı yazarız:
\[ \frac{6}{10} = 0,6 \]Örnek 4: \( \frac{7}{4} \) kesrini ondalıklı sayı olarak yazalım.
Paydayı 100 yapmak için hem payı hem de paydayı 25 ile çarparız:
\[ \frac{7}{4} = \frac{7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{175}{100} \]Paydadaki sıfır sayısı kadar basamağı sola kaydırırız:
\[ \frac{175}{100} = 1,75 \]Örnek 5: \( \frac{1}{3} \) kesrini ondalıklı sayı olarak yazalım.
Bu kesrin paydasını 10'un kuvveti şeklinde yazamayız. Bu yüzden bölme işlemi yaparız:
1'i 3'e böldüğümüzde:
\[ 1 \div 3 = 0,333... \]Bu tür sayılara devirli ondalık sayılar denir. Burada 3 rakamı sonsuza kadar tekrar eder ve bu durum \( 0,\overline{3} \) şeklinde gösterilir.
Ondalıklı Sayılarla Dört İşlem
1. Toplama ve Çıkarma
Ondalıklı sayılarla toplama ve çıkarma yaparken, virgüller alt alta gelecek şekilde sayılar hizalanır ve işlem yapılır.
Örnek 6: 15,75 + 3,2 işlemini yapalım.
\[ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 15,75 \\ + & \phantom{0}3,2\phantom{0} \\ & 18,95 \\ \end{array} \]Sonuç: 18,95
Örnek 7: 24,5 - 8,12 işlemini yapalım.
\[ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 24,5\phantom{0} \\ - & \phantom{0}8,12 \\ & 16,38 \\ \end{array} \]Sonuç: 16,38
2. Çarpma
Ondalıklı sayılarla çarpma yaparken, önce sayılar virgülsüzmüş gibi çarpılır. Elde edilen sonucun ondalık kısmındaki basamak sayısı, çarpanlardaki ondalık kısımlarındaki toplam basamak sayısına eşit olacak şekilde virgül konulur.
Örnek 8: 2,5 \(\times\) 1,2 işlemini yapalım.
Önce virgülsüz çarpalım: \( 25 \times 12 = 300 \)
İlk sayıda 1 ondalık basamak, ikinci sayıda 1 ondalık basamak var. Toplam 2 ondalık basamak.
Sonuca 2 basamak sola virgül koyarız: 3,00
\[ 2,5 \times 1,2 = 3,00 = 3 \]Örnek 9: 0,15 \(\times\) 3 işlemini yapalım.
Önce virgülsüz çarpalım: \( 15 \times 3 = 45 \)
İlk sayıda 2 ondalık basamak, ikinci sayıda 0 ondalık basamak var. Toplam 2 ondalık basamak.
Sonuca 2 basamak sola virgül koyarız: 0,45
\[ 0,15 \times 3 = 0,45 \]3. Bölme
Ondalıklı sayılarla bölme yaparken, bölen sayıyı tam sayı yapmak için virgülü sağa kaydırırız. Bölen sayının virgülünü kaç basamak sağa kaydırdıysak, bölünen sayının virgülünü de aynı sayıda basamak sağa kaydırırız. Sonrasında tam sayılarla bölme işlemi yapar gibi devam ederiz.
Örnek 10: 12,6 \(\div\) 0,3 işlemini yapalım.
Bölen 0,3'tür. Virgülü 1 basamak sağa kaydırarak tam sayı (3) yaparız.
Bölünen 12,6'dır. Virgülü 1 basamak sağa kaydırırız: 126.
Şimdi işlemimiz şu hale gelir: \( 126 \div 3 \)
\[ 126 \div 3 = 42 \]Sonuç: 42
Örnek 11: 5,25 \(\div\) 0,05 işlemini yapalım.
Bölen 0,05'tir. Virgülü 2 basamak sağa kaydırarak tam sayı (5) yaparız.
Bölünen 5,25'tir. Virgülü 2 basamak sağa kaydırırız: 525.
Şimdi işlemimiz şu hale gelir: \( 525 \div 5 \)
\[ 525 \div 5 = 105 \]Sonuç: 105
Örnek 12: 7,5 \(\div\) 2 işlemini yapalım.
Bölen zaten tam sayı (2). Bölünenin virgülünü kaydırmamıza gerek yok.
Virgülden sonraki basamak sayısı kadar bölünenin sonuna sıfır ekleyebiliriz: 7,50
Şimdi işlemimiz şu hale gelir: \( 7,50 \div 2 \)
\[ 7,50 \div 2 = 3,75 \]Sonuç: 3,75