🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklit, Tales, Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklit, Tales, Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir.
Bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 💡
Bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 💡
Çözüm:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Uygulama: Teoremi kullanarak hipotenüs \( c \) 'yi bulalım.
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \) - Hesaplama:
\( 36 + 64 = c^2 \)
\( 100 = c^2 \) - Sonuç: Her iki tarafın karekökünü alırsak, \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm bulunur.
Hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Paralel iki doğru (d1 ve d2) bir kesenle (k) kesiliyor.
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan iç ters açılardan biri \( 50^\circ \) ise, diğer iç ters açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan iç ters açılardan biri \( 50^\circ \) ise, diğer iç ters açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Tales Teoremi (Paralel Doğrular ve Kesen): Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılarla ilgili temel bilgiler içerir. İç ters açılar, zikzak çizerek oluşan ve birbirine eşit olan açılardır.
- İç Ters Açılar Kuralı: Paralel doğrular bir kesenle kesildiğinde oluşan iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Verilen: Bir iç ters açının ölçüsü \( 50^\circ \).
- Sonuç: Bu nedenle, diğer iç ters açının ölçüsü de \( 50^\circ \)'dir. 👉
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açı C köşesindedir.
AC kenarının uzunluğu 5 birim ve BC kenarının uzunluğu 12 birimdir.
AB kenarının (hipotenüs) uzunluğunu bulunuz. 📏
AC kenarının uzunluğu 5 birim ve BC kenarının uzunluğu 12 birimdir.
AB kenarının (hipotenüs) uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: \( a = BC = 12 \) birim, \( b = AC = 5 \) birim.
- Uygulama: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Hesaplama:
\( 144 + 25 = c^2 \)
\( 169 = c^2 \) - Sonuç: \( c = \sqrt{169} = 13 \) birim.
AB kenarının uzunluğu 13 birimdir. 👍
Örnek 4:
Bir duvar ustası, bir binanın köşesine yerleştireceği bir merdivenin güvenli bir şekilde durması için merdivenin duvardan ne kadar uzakta olması gerektiğini hesaplamak istiyor.
Merdivenin uzunluğu 5 metre ve duvardan çıkacağı yüksekliğin 4 metre olmasını istiyor.
Merdivenin tabanının duvardan kaç metre uzakta olması gerektiğini bulunuz. 🏠
Merdivenin uzunluğu 5 metre ve duvardan çıkacağı yüksekliğin 4 metre olmasını istiyor.
Merdivenin tabanının duvardan kaç metre uzakta olması gerektiğini bulunuz. 🏠
Çözüm:
- Konsept: Bu durum bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenar ve zemindeki uzaklık diğer dik kenardır.
- Uygulanacak Teorem: Pisagor Teoremi (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).
- Verilenler: Hipotenüs (\( c \)) = 5 metre, Bir dik kenar (duvar yüksekliği \( a \)) = 4 metre.
- Bulunacak: Diğer dik kenar (zemindeki uzaklık \( b \)).
- Hesaplama:
\( 4^2 + b^2 = 5^2 \)
\( 16 + b^2 = 25 \)
\( b^2 = 25 - 16 \)
\( b^2 = 9 \)
\( b = \sqrt{9} = 3 \) metre. - Sonuç: Merdivenin tabanının duvardan 3 metre uzakta olması gerekir. Güvenlik için bu hesaplama önemlidir. 👷
Örnek 5:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki mesafe 10 metredir. Bu iki ağacın tam ortasına bir bank yerleştirilecektir.
Ağaçların her birinden banka olan uzaklık, bankın yerden yüksekliğinin 2 katıdır.
Bankın yerden yüksekliği kaç metredir? (Bu soruda Öklit bağıntıları kullanılabilir, ancak dik üçgen mantığıyla da çözülebilir.) 🌳
Ağaçların her birinden banka olan uzaklık, bankın yerden yüksekliğinin 2 katıdır.
Bankın yerden yüksekliği kaç metredir? (Bu soruda Öklit bağıntıları kullanılabilir, ancak dik üçgen mantığıyla da çözülebilir.) 🌳
Çözüm:
- Problemi Anlama: İki ağaç ve bankın konumu bir ikizkenar üçgen oluşturur. Ağaçlar arasındaki mesafe tabandır. Bankın yerden yüksekliği, bu ikizkenar üçgenin yüksekliğidir.
- Değişken Tanımlama: Bankın yerden yüksekliği \( h \) metre olsun.
- İlişki Kurma: Ağaçlardan banka olan uzaklık \( 2h \) metredir.
- Dik Üçgen Oluşturma: İkizkenar üçgenin yüksekliği (bankın yerden yüksekliği), tabanı iki eşit parçaya böler. Dolayısıyla, bir ağaçtan banka olan uzaklık \( 2h \), bankın yerden yüksekliği \( h \) ve ağaçlar arasındaki mesafenin yarısı (10 m / 2 = 5 m) bir dik üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Pisagor Teoremi Uygulama: \( h^2 + 5^2 = (2h)^2 \)
- Denklemi Çözme:
\( h^2 + 25 = 4h^2 \)
\( 25 = 4h^2 - h^2 \)
\( 25 = 3h^2 \)
\( h^2 = \frac{25}{3} \)
\( h = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) metre. - Sonuç: Bankın yerden yüksekliği \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \) metredir. 🏞️
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 12 cm, BC kenarı 9 cm ve AC kenarı 15 cm'dir.
Bu üçgenin bir dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoreminin tersiyle kontrol ediniz.
Eğer dik üçgen ise, dik açının hangi köşede olduğunu belirtiniz. 📐
Bu üçgenin bir dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoreminin tersiyle kontrol ediniz.
Eğer dik üçgen ise, dik açının hangi köşede olduğunu belirtiniz. 📐
Çözüm:
- Pisagor Teoreminin Tersi: Eğer bir üçgenin en uzun kenarının karesi, diğer iki kenarının karelerinin toplamına eşitse, bu üçgen bir dik üçgendir ve dik açı, en uzun kenarın karşısındaki köşededir.
- Kenar Uzunlukları: \( AB = 12 \) cm, \( BC = 9 \) cm, \( AC = 15 \) cm.
- En Uzun Kenar: En uzun kenar \( AC = 15 \) cm'dir.
- Kontrol:
\( BC^2 + AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \)
\( AC^2 = 15^2 = 225 \) - Karşılaştırma: \( BC^2 + AB^2 = AC^2 \) olduğundan, \( 225 = 225 \).
- Sonuç: Eşitlik sağlandığı için ABC üçgeni bir dik üçgendir. Dik açı, en uzun kenar olan AC'nin karşısındaki B köşesindedir. ✅
Örnek 7:
İki paralel doğru (d1 ve d2) bir kesenle (k) kesiliyor.
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan bir açının ölçüsü \( 130^\circ \) ise, bu açı ile yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🧭
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan bir açının ölçüsü \( 130^\circ \) ise, bu açı ile yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🧭
Çözüm:
- Yöndeş Açılar Kuralı: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş açılar, aynı yöne bakan ve aynı konumda bulunan açılardır. Bu açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Verilen: Bir açının ölçüsü \( 130^\circ \).
- Sonuç: Bu açı ile yöndeş olan açının ölçüsü de \( 130^\circ \)'dir. 👉
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir köprünün ayakları arasındaki mesafeyi ve yüksekliğini ölçüyor.
Ayaklar arasındaki yatay mesafe 20 metre ve bir ayağın diğerine göre yüksekliği 15 metredir.
Bu iki ayak arasındaki eğimli mesafeyi (köprünün eğimi boyunca ölçülen uzaklık) hesaplamak için hangi teoremi kullanır ve sonuç ne olur? 🌉
Ayaklar arasındaki yatay mesafe 20 metre ve bir ayağın diğerine göre yüksekliği 15 metredir.
Bu iki ayak arasındaki eğimli mesafeyi (köprünün eğimi boyunca ölçülen uzaklık) hesaplamak için hangi teoremi kullanır ve sonuç ne olur? 🌉
Çözüm:
- Problemi Anlama: Bu durum, yatay mesafe, dikey yükseklik ve eğimli mesafe ile bir dik üçgen oluşturur.
- Uygulanacak Teorem: Pisagor Teoremi (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).
- Verilenler: Dik kenarlardan biri (yatay mesafe \( a \)) = 20 metre, Diğer dik kenar (dikey yükseklik \( b \)) = 15 metre.
- Bulunacak: Hipotenüs (eğimi mesafe \( c \)).
- Hesaplama:
\( 20^2 + 15^2 = c^2 \)
\( 400 + 225 = c^2 \)
\( 625 = c^2 \)
\( c = \sqrt{625} = 25 \) metre. - Sonuç: İki ayak arasındaki eğimli mesafe 25 metredir. Bu, köprünün eğimini belirlemek için önemlidir. 🏗️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklit-tales-pisagor/sorular