🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, tales, pisagor, algoritma, istatistiksel araştırma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid, tales, pisagor, algoritma, istatistiksel araştırma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Pisagor Teoremi Uygulaması:
Bir ABC dik üçgeninde, \( [AB] \perp [BC] \) olarak verilmiştir.
Üçgenin dik kenar uzunlukları:
\( |AB| = 6 \) birim
\( |BC| = 8 \) birim
olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( |AC| \) kaç birimdir? 📐
Bir ABC dik üçgeninde, \( [AB] \perp [BC] \) olarak verilmiştir.
Üçgenin dik kenar uzunlukları:
\( |AB| = 6 \) birim
\( |BC| = 8 \) birim
olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( |AC| \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Adım 1: Teoremi formülize edelim: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
- Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = |AC|^2 \)
- Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = |AC|^2 \)
- Adım 4: Toplamı bulalım: \( 100 = |AC|^2 \)
- Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( |AC| = 10 \) birim.
Örnek 2:
Öklid Bağıntıları:
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı \( 90^\circ \) derecedir. \( [AH] \perp [BC] \) olacak şekilde hipotenüse bir dikme indirilmiştir.
Verilenler:
\( |BH| = 4 \) birim
\( |HC| = 9 \) birim
Buna göre, dikmeden inen yüksekliğin uzunluğu olan \( |AH| = h \) kaç birimdir? 💡
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı \( 90^\circ \) derecedir. \( [AH] \perp [BC] \) olacak şekilde hipotenüse bir dikme indirilmiştir.
Verilenler:
\( |BH| = 4 \) birim
\( |HC| = 9 \) birim
Buna göre, dikmeden inen yüksekliğin uzunluğu olan \( |AH| = h \) kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Yükseklik Bağıntısı).
- Adım 1: Öklid formülünü yazalım: \( h^2 = p \cdot k \)
- Adım 2: Burada \( p = |BH| = 4 \) ve \( k = |HC| = 9 \) değerlerini kullanalım.
- Adım 3: Değerleri çarpalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- Adım 4: İşlemi yapalım: \( h^2 = 36 \)
- Adım 5: Karekök alarak yüksekliği bulalım: \( h = 6 \) birim.
Örnek 3:
Tales Teoremi (Temel Orantı):
Bir ABC üçgeninde, \( [DE] // [BC] \) (DE paraleldir BC) olacak şekilde D noktası \( [AB] \) üzerinde, E noktası ise \( [AC] \) üzerindedir.
Verilen uzunluklar:
\( |AD| = 3 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 4 \) cm
Olduğuna göre, \( |EC| = x \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Bir ABC üçgeninde, \( [DE] // [BC] \) (DE paraleldir BC) olacak şekilde D noktası \( [AB] \) üzerinde, E noktası ise \( [AC] \) üzerindedir.
Verilen uzunluklar:
\( |AD| = 3 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 4 \) cm
Olduğuna göre, \( |EC| = x \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Tales Teoremi'ne göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.
- Adım 1: Orantıyı kuralım: \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
- Adım 2: Sayıları yerleştirelim: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \)
- Adım 3: Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \)
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \cdot x = 2 \cdot 4 \)
- Adım 5: Sonucu bulalım: \( x = 8 \) cm.
Örnek 4:
Pisagor Teoremi Günlük Hayat Örneği:
Bir itfaiye eri, yerden 12 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor. İtfaiye merdiveninin alt ucunu, binadan 5 metre uzağa yerleştiriyor.
Buna göre, itfaiye erinin kullandığı merdivenin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Bir itfaiye eri, yerden 12 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor. İtfaiye merdiveninin alt ucunu, binadan 5 metre uzağa yerleştiriyor.
Buna göre, itfaiye erinin kullandığı merdivenin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Bina ile zemin arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir.
- Adım 1: Dik kenarları belirleyelim: Yükseklik \( a = 12 \) m, Uzaklık \( b = 5 \) m.
- Adım 2: Merdiven hipotenüs \( c \) konumundadır. Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Adım 3: Hesaplayalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Adım 4: Kareleri alalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Adım 5: Toplayalım: \( 169 = c^2 \)
- Adım 6: Karekök alalım: \( c = 13 \) m.
Örnek 5:
İstatistiksel Araştırma Süreci:
Bir okul kantinindeki öğrencilerin en çok hangi meyveyi sevdiğini belirlemek isteyen bir öğrenci grubu, bir araştırma planlıyor.
Bu araştırmanın temel adımlarını sırasıyla yazınız. 📊
Bir okul kantinindeki öğrencilerin en çok hangi meyveyi sevdiğini belirlemek isteyen bir öğrenci grubu, bir araştırma planlıyor.
Bu araştırmanın temel adımlarını sırasıyla yazınız. 📊
Çözüm:
İstatistiksel bir araştırma süreci belirli bilimsel basamaklardan oluşur:
- 1. Araştırma Sorusu Oluşturma: "Öğrencilerin en sevdiği meyve hangisidir?" sorusu belirlenir.
- 2. Veri Toplama: Anket, gözlem veya görüşme yöntemlerinden biri seçilerek öğrencilerden cevaplar alınır.
- 3. Verilerin Düzenlenmesi: Toplanan veriler çetele tablosu veya sıklık tablosuna dönüştürülür.
- 4. Verilerin Analizi ve Yorumlanması: Sütun grafiği veya daire grafiği oluşturularak en çok tercih edilen meyve belirlenir.
- 5. Sonuç Çıkarma: Araştırma sonucuna göre kantine hangi meyvelerin alınması gerektiğine karar verilir.
Örnek 6:
Algoritma Mantığı:
Kullanıcıdan alınan iki sayıdan büyük olanı ekrana yazdıran bir algoritma tasarlayınız. Adımları listeleyiniz. 💻
Kullanıcıdan alınan iki sayıdan büyük olanı ekrana yazdıran bir algoritma tasarlayınız. Adımları listeleyiniz. 💻
Çözüm:
Algoritma, bir problemi çözmek için takip edilen sonlu işlem basamaklarıdır.
- Adım 1: Başla.
- 2. Adım: Birinci sayıyı oku ve x değişkenine ata.
- 3. Adım: İkinci sayıyı oku ve y değişkenine ata.
- 4. Adım: Eğer \( x > y \) ise ekrana x değerini yaz.
- 5. Adım: Eğer \( y > x \) ise ekrana y değerini yaz.
- 6. Adım: Eğer \( x = y \) ise ekrana "Sayılar Eşittir" yaz.
- 7. Adım: Bitir.
Örnek 7:
Öklid ve Geometrik Tasarım:
Bir mimar, dik üçgen şeklindeki bir bahçenin içine, dik köşeden karşı kenara en kısa yoldan bir yürüyüş yolu yapacaktır.
Bahçenin dik kenarları 15 metre ve 20 metredir.
Buna göre, yapılacak olan yürüyüş yolunun (yüksekliğin) uzunluğu kaç metredir? 🌳
Bir mimar, dik üçgen şeklindeki bir bahçenin içine, dik köşeden karşı kenara en kısa yoldan bir yürüyüş yolu yapacaktır.
Bahçenin dik kenarları 15 metre ve 20 metredir.
Buna göre, yapılacak olan yürüyüş yolunun (yüksekliğin) uzunluğu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu soruda önce hipotenüsü bulup, sonra alan bağıntısı veya Öklid'in alanla ilişkili bağıntısını kullanmalıyız.
- Adım 1: Pisagor ile hipotenüsü bulalım. Kenarlar 15 ve 20 (3-4-5'in 5 katı).
\( 15^2 + 20^2 = c^2 \Rightarrow 225 + 400 = 625 \Rightarrow c = 25 \) m. - Adım 2: Üçgenin alanını iki farklı yoldan yazalım:
Alan = \( \frac{15 \cdot 20}{2} \) veya Alan = \( \frac{25 \cdot h}{2} \) - Adım 3: Eşitliği kuralım: \( 15 \cdot 20 = 25 \cdot h \)
- Adım 4: İşlemi yapalım: \( 300 = 25 \cdot h \)
- Adım 5: Her iki tarafı 25'e bölelim: \( h = 12 \) m.
Örnek 8:
İleri Tales Uygulaması:
Bir ABC üçgeninde \( [DE] // [FG] // [BC] \) verilmiştir.
D ve F noktaları \( [AB] \) üzerinde, E ve G noktaları \( [AC] \) üzerindedir.
Verilenler:
\( |AD| = 2 \) birim
\( |DF| = 3 \) birim
\( |FB| = 5 \) birim
\( |DE| = 4 \) birim
Buna göre, \( |BC| = y \) uzunluğu kaç birimdir? 📐
Bir ABC üçgeninde \( [DE] // [FG] // [BC] \) verilmiştir.
D ve F noktaları \( [AB] \) üzerinde, E ve G noktaları \( [AC] \) üzerindedir.
Verilenler:
\( |AD| = 2 \) birim
\( |DF| = 3 \) birim
\( |FB| = 5 \) birim
\( |DE| = 4 \) birim
Buna göre, \( |BC| = y \) uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Burada benzerlik oranlarını (Tales'in genel hali) kullanmalıyız. ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
- Adım 1: Küçük üçgenin (ADE) kenarının, büyük üçgenin (ABC) kenarına oranını bulalım.
- Adım 2: \( |AB| = |AD| + |DF| + |FB| = 2 + 3 + 5 = 10 \) birim.
- Adım 3: Benzerlik oranını kuralım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
- Adım 4: Değerleri yerleştirelim: \( \frac{2}{10} = \frac{4}{y} \)
- Adım 5: Sadeleştirme yapalım: \( \frac{1}{5} = \frac{4}{y} \)
- Adım 6: İçler dışlar çarpımı ile: \( y = 20 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-tales-pisagor-algoritma-istatistiksel-arastirma/sorular