💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Tales Çözümlü Örnekler

• 👉 Dik kenarlar \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olarak verilmiştir.
• 👉 Hipotenüs uzunluğunu \(c\) ile gösterelim.
• 👉 Pisagor Teoremi'ne göre: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
• ✅ Hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
• ✅ Toplayalım: \(100 = c^2\)
• ✅ Karekök alarak \(c\)'yi bulalım: \(c = \sqrt{100}\)
• ✅ Sonuç: \(c = 10\) cm'dir.

Hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir. ✅

• 👉 Hipotenüs üzerindeki parçalar \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm olarak verilmiştir.
• 👉 Yüksekliği \(h\) ile gösterelim.
• 👉 Öklid Yükseklik Bağıntısı'na göre: \(h^2 = p \cdot k\)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \(h^2 = 4 \cdot 9\)
• ✅ Çarpalım: \(h^2 = 36\)
• ✅ Karekök alarak \(h\)'yi bulalım: \(h = \sqrt{36}\)
• ✅ Sonuç: \(h = 6\) cm'dir.

Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. ✅

• 👉 Hipotenüsün tamamı \(a = 12\) cm'dir.
• 👉 3 cm'lik parça \(k = 3\) cm olarak verilmiştir.
• 👉 Dik kenarı \(b\) ile gösterelim.
• 👉 Öklid Dik Kenar Bağıntısı'na göre: \(b^2 = k \cdot a\)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \(b^2 = 3 \cdot 12\)
• ✅ Çarpalım: \(b^2 = 36\)
• ✅ Karekök alarak \(b\)'yi bulalım: \(b = \sqrt{36}\)
• ✅ Sonuç: \(b = 6\) cm'dir.

Dik kenarın uzunluğu 6 cm'dir. ✅

• 👉 Birinci kesen üzerindeki parçalar: \(x_1 = 5\) cm ve \(x_2 = 10\) cm.
• 👉 İkinci kesen üzerindeki bilinen parça: \(y_1 = 7\) cm.
• 👉 İkinci kesen üzerindeki aranan parça: \(y_2\).
• 👉 Tales Teoremi'ne göre: \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \( \frac{5}{10} = \frac{7}{y_2} \)
• ✅ Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{7}{y_2} \)
• ✅ İçler dışlar çarpımı yapalım: \(1 \cdot y_2 = 2 \cdot 7\)
• ✅ Sonuç: \(y_2 = 14\) cm'dir.

İkinci kesen üzerinde aranan parça 14 cm'dir. ✅

• Adım 1: Hipotenüsü bulalım (Pisagor Teoremi).
• 👉 Dik kenarlar \(a = 9\) cm ve \(b = 12\) cm.
• 👉 Hipotenüs \(c\).
• 👉 \(a^2 + b^2 = c^2\)
• ✅ \(9^2 + 12^2 = c^2\)
• ✅ \(81 + 144 = c^2\)
• ✅ \(225 = c^2\)
• ✅ \(c = \sqrt{225} \Rightarrow c = 15\) cm.
• Adım 2: Yüksekliği bulalım (Öklid Alan Bağıntısı).
• 👉 Dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır: Alan = \( \frac{a \cdot b}{2} \)
• 👉 Aynı zamanda, alan hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: Alan = \( \frac{c \cdot h}{2} \)
• 👉 Bu iki ifadeyi eşitleyelim: \( \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2} \)
• 👉 Denklemi sadeleştirelim: \(a \cdot b = c \cdot h\)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \(9 \cdot 12 = 15 \cdot h\)
• ✅ Çarpalım: \(108 = 15 \cdot h\)
• ✅ \(h\)'yi yalnız bırakalım: \(h = \frac{108}{15}\)
• ✅ Sonuç: \(h = 7.2\) cm.

Marangozun yerleştireceği yeni desteğin uzunluğu 7.2 cm olmalıdır. ✅

• 👉 Binanın yüksekliği (dik kenar) \(a = 15\) metre.
• 👉 Merdivenin binadan uzaklığı (diğer dik kenar) \(b = 8\) metre.
• 👉 Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \(c\).
• 👉 Pisagor Teoremi'ne göre: \(a^2 + b^2 = c^2\)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \(15^2 + 8^2 = c^2\)
• ✅ Hesaplayalım: \(225 + 64 = c^2\)
• ✅ Toplayalım: \(289 = c^2\)
• ✅ Karekök alarak \(c\)'yi bulalım: \(c = \sqrt{289}\)
• ✅ Sonuç: \(c = 17\) metredir.

İtfaiyecinin kullanması gereken merdivenin uzunluğu en az 17 metre olmalıdır. ✅

• 👉 Birinci patika üzerindeki mesafeler: \(d_1 = 60\) metre ve \(d_2 = 90\) metre.
• 👉 İkinci patika üzerindeki bilinen mesafe: \(m_1 = 40\) metre.
• 👉 İkinci patika üzerindeki aranan mesafe: \(m_2\).
• 👉 Tales Teoremi'ne göre: \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{m_1}{m_2} \)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \( \frac{60}{90} = \frac{40}{m_2} \)
• ✅ Oranı sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{40}{m_2} \)
• ✅ İçler dışlar çarpımı yapalım: \(2 \cdot m_2 = 3 \cdot 40\)
• ✅ Çarpalım: \(2 \cdot m_2 = 120\)
• ✅ \(m_2\)'yi yalnız bırakalım: \(m_2 = \frac{120}{2}\)
• ✅ Sonuç: \(m_2 = 60\) metredir.

İkinci patika üzerinde, ikinci ve üçüncü yol arası mesafe 60 metredir. ✅

• 👉 Üçgenin kenarları üzerinde ayrılan parçalar verilmiştir:
• AD = 4 cm
• DB = 6 cm
• AE = 3 cm
• 👉 Aranan uzunluk: EC = \(x\).
• 👉 Tales Teoremi'ne göre (DE // BC olduğu için): \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{3}{x} \)
• ✅ Oranı sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{3}{x} \)
• ✅ İçler dışlar çarpımı yapalım: \(2 \cdot x = 3 \cdot 3\)
• ✅ Çarpalım: \(2x = 9\)
• ✅ \(x\)'i yalnız bırakalım: \(x = \frac{9}{2}\)
• ✅ Sonuç: \(x = 4.5\) cm'dir.

EC uzunluğu 4.5 cm'dir. ✅