Öklid, Pisagor, Tales Ders Notu

Geometri, şekillerin ve uzayın özelliklerini inceleyen matematik dalıdır. Bu derste, dik üçgenlerdeki özel bağıntıları ve paralellik kavramının getirdiği orantıları inceleyeceğiz: Pisagor Teoremi, Öklid Bağıntıları ve Tales Teoremi.

1. Pisagor Teoremi 📐

Pisagor Teoremi, sadece dik üçgenlerde geçerli olan temel bir bağıntıdır. Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.

📍 Pisagor Teoremi Kuralı

Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

Eğer bir dik üçgenin dik kenarları \( a \) ve \( b \), hipotenüsü ise \( c \) ile gösterilirse:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

📝 Örnek 1

Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. AB kenarının uzunluğu 3 birim, AC kenarının uzunluğu 4 birim ise BC kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç birimdir?

• AB = \( a = 3 \)
• AC = \( b = 4 \)
• BC = \( c = ? \)

Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

\[ 3^2 + 4^2 = c^2 \] \[ 9 + 16 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \]

\( c \) pozitif bir uzunluk olduğundan:

\[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]

BC kenarının uzunluğu 5 birimdir.

2. Öklid Bağıntıları 📏

Öklid Bağıntıları da dik üçgenlerde uygulanır, ancak ek bir koşul vardır: dik açıdan hipotenüse bir dikme (yükseklik) indirilmelidir.

Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) olsun. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı H olsun. Bu durumda AB ve AC dik kenarlar, BC hipotenüs, AH ise yüksekliktir.

• BH uzunluğuna \( p \)
• HC uzunluğuna \( k \)
• AH uzunluğuna \( h \)
• AB dik kenarına \( c \)
• AC dik kenarına \( b \)
• BC hipotenüsüne \( a \)

dersek, aşağıdaki bağıntılar geçerlidir:

📍 Yükseklik Bağıntısı

Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

\[ h^2 = p \times k \]

📍 Dik Kenar Bağıntıları

Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

AB kenarı için:

\[ c^2 = p \times a \]

AC kenarı için:

\[ b^2 = k \times a \]

📝 Örnek 2

Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen dikme (yükseklik), hipotenüsü 2 birim ve 8 birim uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Buna göre yüksekliğin uzunluğu kaç birimdir?

• Parçalar: \( p = 2 \), \( k = 8 \)
• Yükseklik: \( h = ? \)

Yükseklik bağıntısını kullanalım:

\[ h^2 = p \times k \] \[ h^2 = 2 \times 8 \] \[ h^2 = 16 \]

\( h \) pozitif bir uzunluk olduğundan:

\[ h = \sqrt{16} \] \[ h = 4 \]

Yüksekliğin uzunluğu 4 birimdir.

3. Tales Teoremi (Temel Orantı Teoremi ve Paralel Doğrular) ↔️

Tales Teoremi, paralellik ve orantı kavramlarını birleştirir. İki ana durumu vardır:

📍 Temel Orantı Teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır.

Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde ve DE doğrusu BC doğrusuna paralel olsun (\( DE \parallel BC \)).

Bu durumda, aşağıdaki orantılar geçerlidir:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

veya

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]

📝 Örnek 3

Bir ABC üçgeninde, D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde yer almaktadır. DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. AD uzunluğu 3 birim, DB uzunluğu 6 birim ve AE uzunluğu 2 birim ise EC uzunluğu kaç birimdir?

• AD = \( 3 \)
• DB = \( 6 \)
• AE = \( 2 \)
• EC = \( x \)

Temel Orantı Teoremi'ni uygulayalım:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] \[ \frac{3}{6} = \frac{2}{x} \]

İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:

\[ 3 \times x = 6 \times 2 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = \frac{12}{3} \] \[ x = 4 \]

EC uzunluğu 4 birimdir.

📍 Paralel Doğruların Kestiği Orantılı Parçalar

Paralel en az üç doğru, kendilerini kesen iki farklı doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır.

Üç tane paralel doğru, \( d_1 \), \( d_2 \) ve \( d_3 \) olsun. Bu doğruları kesen iki farklı doğru \( k_1 \) ve \( k_2 \) olsun.

• \( k_1 \) doğrusu üzerinde \( d_1, d_2, d_3 \) doğrularının kesim noktaları sırasıyla A, B, C olsun.
• \( k_2 \) doğrusu üzerinde \( d_1, d_2, d_3 \) doğrularının kesim noktaları sırasıyla D, E, F olsun.

Bu durumda, aşağıdaki orantı geçerlidir:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]

📝 Örnek 4

Üç paralel doğru, kendilerini kesen bir doğru üzerinde 5 birim ve 10 birim uzunluğunda parçalar oluşturuyor. Bu paralel doğruların, kendilerini kesen başka bir doğru üzerinde oluşturduğu ilk parçanın uzunluğu 4 birim ise ikinci parçanın uzunluğu kaç birimdir?

• Birinci doğru üzerindeki parçalar: \( AB = 5 \), \( BC = 10 \)
• İkinci doğru üzerindeki ilk parça: \( DE = 4 \)
• İkinci doğru üzerindeki ikinci parça: \( EF = y \)

Paralel Doğruların Kestiği Orantılı Parçalar Teoremi'ni uygulayalım:

\[ \frac{5}{10} = \frac{4}{y} \]

İçler dışlar çarpımı yaparak \( y \)'yi bulalım:

\[ 5 \times y = 10 \times 4 \] \[ 5y = 40 \] \[ y = \frac{40}{5} \] \[ y = 8 \]

İkinci parçanın uzunluğu 8 birimdir.