🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonu Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonu Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığı olarak tanımlanır. Bu uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerin sonucu her zaman pozitiftir veya sıfırdır.
Örneğin, \( |-5| \) ifadesi, -5 sayısının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığını gösterir. Bu uzaklık 5 birimdir. Benzer şekilde, \( |7| \) ifadesi de 7 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir ve bu da 7 birimdir.
Bu tanıma göre, \( |-5| \) ve \( |7| \) ifadelerinin değerlerini bulunuz. 💡
Örneğin, \( |-5| \) ifadesi, -5 sayısının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığını gösterir. Bu uzaklık 5 birimdir. Benzer şekilde, \( |7| \) ifadesi de 7 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir ve bu da 7 birimdir.
Bu tanıma göre, \( |-5| \) ve \( |7| \) ifadelerinin değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Adım 1: \( |-5| \) ifadesini ele alalım. -5 sayısının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu nedenle, \( |-5| = 5 \) olur.
- Adım 2: \( |7| \) ifadesini ele alalım. 7 sayısının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığı 7 birimdir. Bu nedenle, \( |7| = 7 \) olur.
Örnek 2:
Mutlak değerin temel özelliklerinden biri, pozitif sayıların mutlak değerlerinin kendilerine eşit olması ve negatif sayıların mutlak değerlerinin işaret değiştirmiş hallerine eşit olmasıdır.
Matematiksel olarak bu özellik şu şekilde ifade edilir:
Matematiksel olarak bu özellik şu şekilde ifade edilir:
- Eğer \( x \ge 0 \) ise, \( |x| = x \)
- Eğer \( x < 0 \) ise, \( |x| = -x \)
Çözüm:
- Adım 1: \( |12| \) ifadesini inceleyelim. Buradaki \( x \) değeri 12'dir ve \( 12 \ge 0 \) olduğundan, ilk kural geçerlidir. Dolayısıyla, \( |12| = 12 \) olur.
- Adım 2: \( |-9| \) ifadesini inceleyelim. Buradaki \( x \) değeri -9'dur ve \( -9 < 0 \) olduğundan, ikinci kural geçerlidir. Dolayısıyla, \( |-9| = -(-9) = 9 \) olur.
Örnek 3:
Mutlak değerli denklemlerin çözümünde, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif durumlarını göz önünde bulundurmamız gerekir.
Örneğin, \( |x - 3| = 5 \) denklemini çözerken iki farklı senaryo vardır:
Örneğin, \( |x - 3| = 5 \) denklemini çözerken iki farklı senaryo vardır:
- Mutlak değerin içindeki ifade \( x - 3 \) pozitiftir veya sıfırdır.
- Mutlak değerin içindeki ifade \( x - 3 \) negatiftir.
Çözüm:
- Senaryo 1: Mutlak değerin içi pozitif veya sıfır ise: \( x - 3 = 5 \). Bu durumda \( x = 5 + 3 \), yani \( x = 8 \) olur.
- Senaryo 2: Mutlak değerin içi negatif ise: \( x - 3 = -5 \). Bu durumda \( x = -5 + 3 \), yani \( x = -2 \) olur.
Örnek 4:
Mutlak değerin bir diğer önemli özelliği ise iki sayının farkının mutlak değerinin, o iki sayının sayı doğrusu üzerindeki uzaklığına eşit olmasıdır.
Yani, \( |a - b| \) ifadesi, \( a \) ve \( b \) sayıları arasındaki uzaklığı verir.
Sayı doğrusunda 4 noktasına karşılık gelen \( A \) noktası ile -3 noktasına karşılık gelen \( B \) noktası arasındaki uzaklığı, mutlak değer kullanarak hesaplayınız. 📏
Yani, \( |a - b| \) ifadesi, \( a \) ve \( b \) sayıları arasındaki uzaklığı verir.
Sayı doğrusunda 4 noktasına karşılık gelen \( A \) noktası ile -3 noktasına karşılık gelen \( B \) noktası arasındaki uzaklığı, mutlak değer kullanarak hesaplayınız. 📏
Çözüm:
- Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için, noktaların temsil ettiği sayıların farkının mutlak değerini alırız.
- Adım 2: \( A \) noktası 4'ü, \( B \) noktası ise -3'ü temsil ettiğine göre, aralarındaki uzaklık \( |4 - (-3)| \) veya \( |-3 - 4| \) şeklinde hesaplanabilir.
- Adım 3: İlk ifadeyi hesaplayalım: \( |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \).
- Adım 4: İkinci ifadeyi hesaplayalım: \( |-3 - 4| = |-7| = 7 \).
Örnek 5:
Bir hareketli, başlangıç noktasından (0 noktası) başlayarak önce \( a \) birim sağa, sonra \( b \) birim sola hareket ediyor. Hareketlinin son konumu \( x \) olsun.
Eğer hareketli önce 5 birim sağa gidip, ardından 8 birim sola giderse, son konumu \( x \) kaç olur?
Bu hareketi mutlak değer kullanarak ifade edebilir miyiz? Hareketlinin toplam yer değiştirmesini (mutlak değerin anlamı) düşünerek son konumu bulunuz. 🚀
Eğer hareketli önce 5 birim sağa gidip, ardından 8 birim sola giderse, son konumu \( x \) kaç olur?
Bu hareketi mutlak değer kullanarak ifade edebilir miyiz? Hareketlinin toplam yer değiştirmesini (mutlak değerin anlamı) düşünerek son konumu bulunuz. 🚀
Çözüm:
- Adım 1: Başlangıç noktası 0'dır.
- Adım 2: 5 birim sağa hareket, sayı doğrusunda +5 olarak gösterilir.
- Adım 3: Ardından 8 birim sola hareket, sayı doğrusunda -8 olarak gösterilir.
- Adım 4: Hareketlinin son konumu, başlangıç noktasından itibaren yapılan hareketlerin toplamıdır: \( 0 + 5 - 8 = -3 \).
- Adım 5: Hareketlinin son konumu \( x = -3 \) olur.
- Adım 6: Hareketlinin toplam yer değiştirmesinin mutlak değeri, başlangıç noktası ile son konum arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık \( |-3 - 0| = |-3| = 3 \) birimdir.
Örnek 6:
Bir mağaza, indirim döneminde bir ürünün fiyatını önce \( 20 \) TL artırıyor, sonra da \( 30 \) TL indiriyor.
Ürünün başlangıçtaki fiyatı \( P \) TL olsun. İndirim sonrası ürünün fiyatı, başlangıç fiyatına göre ne kadar değişmiştir?
Bu değişimi mutlak değer ile ifade edebilir miyiz? Fiyat değişiminin büyüklüğünü bulunuz. 💰
Ürünün başlangıçtaki fiyatı \( P \) TL olsun. İndirim sonrası ürünün fiyatı, başlangıç fiyatına göre ne kadar değişmiştir?
Bu değişimi mutlak değer ile ifade edebilir miyiz? Fiyat değişiminin büyüklüğünü bulunuz. 💰
Çözüm:
- Adım 1: Başlangıç fiyatı \( P \) TL'dir.
- Adım 2: Fiyat önce \( 20 \) TL artırılıyor, yani yeni fiyat \( P + 20 \) olur.
- Adım 3: Sonra \( 30 \) TL indiriliyor, yani son fiyat \( (P + 20) - 30 = P - 10 \) olur.
- Adım 4: Fiyat değişimi, son fiyat ile başlangıç fiyatı arasındaki farktır: \( (P - 10) - P = -10 \) TL.
- Adım 5: Fiyat değişiminin büyüklüğü, bu farkın mutlak değeridir: \( |-10| = 10 \) TL.
Örnek 7:
\( |2x - 6| + |x + 1| = 9 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamını bulunuz.
Bu tür denklemleri çözerken, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktaları belirlemek ve ifadeyi bu noktalara göre aralıklara ayırmak önemlidir.
Kritik noktalar: \( 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \) ve \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Bu kritik noktalara göre oluşan aralıkları ( \( x < -1 \), \( -1 \le x < 3 \), \( x \ge 3 \) ) inceleyerek denklemin çözüm kümesini bulunuz. 🧩
Bu tür denklemleri çözerken, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktaları belirlemek ve ifadeyi bu noktalara göre aralıklara ayırmak önemlidir.
Kritik noktalar: \( 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \) ve \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Bu kritik noktalara göre oluşan aralıkları ( \( x < -1 \), \( -1 \le x < 3 \), \( x \ge 3 \) ) inceleyerek denklemin çözüm kümesini bulunuz. 🧩
Çözüm:
- Aralık 1: \( x < -1 \)
- Bu aralıkta \( 2x - 6 \) negatiftir, yani \( |2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x \).
- Bu aralıkta \( x + 1 \) negatiftir, yani \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \).
- Denklem: \( (6 - 2x) + (-x - 1) = 9 \Rightarrow 5 - 3x = 9 \Rightarrow -3x = 4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \).
- \( -\frac{4}{3} < -1 \) olduğundan bu çözüm geçerlidir.
- Aralık 2: \( -1 \le x < 3 \)
- Bu aralıkta \( 2x - 6 \) negatiftir, yani \( |2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x \).
- Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir, yani \( |x + 1| = x + 1 \).
- Denklem: \( (6 - 2x) + (x + 1) = 9 \Rightarrow 7 - x = 9 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 \).
- Ancak \( -2 \) bu aralıkta \( (-1 \le x < 3) \) değildir, bu yüzden bu çözüm geçersizdir.
- Aralık 3: \( x \ge 3 \)
- Bu aralıkta \( 2x - 6 \) pozitiftir, yani \( |2x - 6| = 2x - 6 \).
- Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir, yani \( |x + 1| = x + 1 \).
- Denklem: \( (2x - 6) + (x + 1) = 9 \Rightarrow 3x - 5 = 9 \Rightarrow 3x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{3} \).
- \( \frac{14}{3} \ge 3 \) olduğundan bu çözüm geçerlidir.
Örnek 8:
Bir robot, başlangıç noktasından (0) itibaren aşağıdaki komutları sırayla alıyor:
- 3 birim sağa git.
- Mutlak değer kadar sola git (mutlak değer, 1. adımdaki konumun mutlak değeridir).
- 2 birim sağa git.
Çözüm:
- Adım 1: Başlangıç Konumu: Robot 0 noktasındadır.
- Adım 2: 1. Komut (3 birim sağa git): Robotun konumu \( 0 + 3 = 3 \) olur.
- Adım 3: 2. Komut (Mutlak değer kadar sola git):
- 1. adımdaki konum 3'tür. Bu konumun mutlak değeri \( |3| = 3 \) olur.
- Robot bu değer kadar (yani 3 birim) sola gidecektir.
- Robotun yeni konumu \( 3 - 3 = 0 \) olur.
- Adım 4: 3. Komut (2 birim sağa git): Robotun konumu \( 0 + 2 = 2 \) olur.
Örnek 9:
Bir hava durumu istasyonu, bir şehrin günlük ortalama sıcaklık değişimini takip ediyor.
Pazartesi günü sıcaklık, önceki güne göre \( 5^\circ C \) artmış. Salı günü ise önceki güne göre \( 8^\circ C \) azalmış. Çarşamba günü ise önceki güne göre \( 3^\circ C \) artmış.
Bu üç günde gerçekleşen sıcaklık değişimlerinin büyüklüklerini mutlak değer kullanarak hesaplayınız. 🌡️
Pazartesi günü sıcaklık, önceki güne göre \( 5^\circ C \) artmış. Salı günü ise önceki güne göre \( 8^\circ C \) azalmış. Çarşamba günü ise önceki güne göre \( 3^\circ C \) artmış.
Bu üç günde gerçekleşen sıcaklık değişimlerinin büyüklüklerini mutlak değer kullanarak hesaplayınız. 🌡️
Çözüm:
- Pazartesi Günü Değişimi: Sıcaklık \( 5^\circ C \) artmış. Değişimin büyüklüğü \( |+5| = 5^\circ C \).
- Salı Günü Değişimi: Sıcaklık \( 8^\circ C \) azalmış. Değişimin büyüklüğü \( |-8| = 8^\circ C \).
- Çarşamba Günü Değişimi: Sıcaklık \( 3^\circ C \) artmış. Değişimin büyüklüğü \( |+3| = 3^\circ C \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-mutlak-deger-fonksiyonu-ve-nitel-ozellikleri/sorular