📝 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonu Ve Nitel Özellikleri Ders Notu
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri
Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerin sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır. Mutlak değer, \( |x| \) sembolü ile gösterilir.
Mutlak Değerin Tanımı
Bir \( x \) reel sayısı için mutlak değer şu şekilde tanımlanır:
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \ge 0 \text{ ise} \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \text{ ise} \end{cases} \]Bu tanıma göre:
- Pozitif bir sayının mutlak değeri kendisine eşittir. Örneğin, \( |5| = 5 \).
- Negatif bir sayının mutlak değeri, o sayının işareti değiştirilmiş halidir. Örneğin, \( |-3| = -(-3) = 3 \).
- Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. Örneğin, \( |0| = 0 \).
Mutlak Değerin Nitel Özellikleri
Mutlak değerin bazı önemli özellikleri şunlardır:
- Her \( x \) reel sayısı için \( |x| \ge 0 \) 'dır. (Mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.)
- Her \( x \) reel sayısı için \( |x| = |-x| \) 'dir. (Bir sayının mutlak değeri ile tersinin mutlak değeri eşittir.)
- Her \( x \) reel sayısı için \( |x|^2 = x^2 \) 'dir.
- Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) 'dir. (Çarpımın mutlak değeri, mutlak değerlerin çarpımına eşittir.)
- Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için \( |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \) 'dir ( \( y \ne 0 \) olmak üzere). (Bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir.)
- Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için Üçgen Eşitsizliği olarak bilinen \( |x+y| \le |x| + |y| \) özelliği geçerlidir.
Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz:
a) \( |-7| \)
b) \( |12| \)
c) \( |0| \)
Çözüm:
a) Negatif bir sayının mutlak değeri kendisine eşittir (işareti değiştirilmiş hali). Bu nedenle, \( |-7| = -(-7) = 7 \).
b) Pozitif bir sayının mutlak değeri kendisine eşittir. Bu nedenle, \( |12| = 12 \).
c) Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. Bu nedenle, \( |0| = 0 \).
Örnek 2:
\( |3 \cdot (-4)| \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerin çarpma özelliği \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) kullanılırsa:
\( |3 \cdot (-4)| = |3| \cdot |-4| = 3 \cdot 4 = 12 \).
Alternatif olarak, önce çarpma işlemi yapılır:
\( |3 \cdot (-4)| = |-12| = 12 \).
Örnek 3:
\( |\frac{-18}{6}| \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerin bölme özelliği \( |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \) kullanılırsa:
\( |\frac{-18}{6}| = \frac{|-18|}{|6|} = \frac{18}{6} = 3 \).
Alternatif olarak, önce bölme işlemi yapılır:
\( |\frac{-18}{6}| = |-3| = 3 \).
Örnek 4:
\( |x-5| = 3 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bu denklem iki farklı durumu ifade eder:
Durum 1: \( x-5 = 3 \)
\( x = 3 + 5 \)
\( x = 8 \)
Durum 2: \( x-5 = -3 \)
\( x = -3 + 5 \)
\( x = 2 \)
Bu nedenle, denklemi sağlayan \( x \) değerleri 8 ve 2'dir. Kontrol edelim:
\( |8-5| = |3| = 3 \)
\( |2-5| = |-3| = 3 \)
Günlük Yaşamdan Örnekler
Mutlak değer kavramı, günlük yaşamda uzaklıkları ifade ederken karşımıza çıkar. Örneğin, bir kişinin evinden okula olan uzaklığı 2 km ise, ister okula doğru yürüsün ister evine doğru yürüsün, başlangıç noktasına (evine) olan uzaklığı 2 km'dir. Bu uzaklık negatif olamaz.
Bir diğer örnek, bir banka hesabındaki bakiyedir. Eğer hesabınızda 100 TL varsa, bu \( +100 \) TL'dir. Eğer 50 TL borcunuz varsa, bu \( -50 \) TL'dir. Ancak bu borcun büyüklüğü, yani mutlak değeri 50 TL'dir.
Mutlak Değerli Denklemler
Genel olarak \( |ax+b| = c \) (burada \( c \ge 0 \)) şeklindeki denklemler çözülürken iki durum göz önünde bulundurulur:
- \( ax+b = c \)
- \( ax+b = -c \)
Eğer \( c < 0 \) ise, mutlak değerli denklemin çözümü yoktur çünkü mutlak değer negatif olamaz.
Örnek 5:
\( |2x+1| = 5 \) denklemini çözünüz.
Çözüm:
Durum 1: \( 2x+1 = 5 \)
\( 2x = 5-1 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Durum 2: \( 2x+1 = -5 \)
\( 2x = -5-1 \)
\( 2x = -6 \)
\( x = -3 \)
Denklemin çözüm kümesi \( \{2, -3\} \)'tür.