Mutlak Değer Fonksiyonları Ders Notu

Mutlak Değer Fonksiyonları 🔢

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bu uzaklık her zaman pozitif veya sıfır olacaktır. Mutlak değer, \( |x| \) sembolü ile gösterilir. Örneğin, \( |5| = 5 \) ve \( |-5| = 5 \) olur. Mutlak değerin temel özellikleri şunlardır:

Her \( x \) reel sayısı için \( |x| \ge 0 \) olur.
\( |x| = |-x| \) olur.
\( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) olur.
\( |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \) olur ( \( y \ne 0 \) için).

Mutlak Değerin Tanım Kümesi ve Değer Kümesi

Mutlak değer fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılardır (\( \mathbb{R} \)). Değer kümesi ise negatif olmayan reel sayılardır (\( [0, \infty) \)).

Mutlak Değerin Denklem ve Eşitsizliklerde Kullanımı

Mutlak değerli denklemleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif değerini göz önünde bulundururuz.

Mutlak Değerli Denklemler

Eğer \( |ax + b| = c \) şeklinde bir denklem verilmişse, bu denklem iki ayrı denkleme ayrılır:

\( ax + b = c \)
\( ax + b = -c \)

Bu iki denklemden elde edilen çözümlerin birleşimi denklemin çözüm kümesini oluşturur.

Örnek 1:

\( |2x - 1| = 5 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Burada iki durum söz konusudur:

\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x - 1 = -5 \)

Bu denklemin çözüm kümesi \( \{ -2, 3 \} \) olur.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikler için de benzer yaklaşımlar kullanılır.

Eğer \( |x| < a \) ise, bu durum \( -a < x < a \) anlamına gelir.
Eğer \( |x| > a \) ise, bu durum \( x < -a \) veya \( x > a \) anlamına gelir.

Örnek 2:

\( |x + 3| \le 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Bu eşitsizlik şu şekilde ifade edilebilir:

\( -7 \le x + 3 \le 7 \)

Her taraftan 3 çıkaralım:

\( -7 - 3 \le x \le 7 - 3 \)

\( -10 \le x \le 4 \)

Çözüm kümesi \( [-10, 4] \) aralığıdır.

Örnek 3:

\( |3x - 2| > 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Bu eşitsizlik iki ayrı duruma ayrılır:

\( 3x - 2 > 4 \)
\( 3x - 2 < -4 \)

Çözüm kümesi \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (2, \infty) \) olur.

Günlük Yaşamdan Örnekler

Mutlak değer kavramı günlük yaşamda da karşımıza çıkar. Örneğin, bir aracın belirli bir noktadan ne kadar uzakta olduğunu ifade ederken mutlak değer kullanabiliriz. Bir banka hesabındaki para çekme veya yatırma işlemleri sonucunda oluşan bakiyenin sıfıra olan uzaklığı da mutlak değer ile modellenebilir.

Örnek 4:

Bir mağaza, bir ürün için belirlediği fiyatın en fazla 20 TL farkla indirim veya zam yapabileceğini duyuruyor. Ürünün başlangıç fiyatı 100 TL olduğuna göre, indirimli veya zamlı fiyatların alabileceği değer aralığını mutlak değer kullanarak ifade edelim.

Eğer \( x \) indirimli veya zamlı fiyatı temsil ederse, fiyat farkı \( |x - 100| \) olur. Bu fark en fazla 20 TL olacağına göre:

\( |x - 100| \le 20 \)

Bu eşitsizliği çözersek:

\( -20 \le x - 100 \le 20 \)

\( -20 + 100 \le x \le 20 + 100 \)

\( 80 \le x \le 120 \)

Yani, indirimli veya zamlı fiyatlar 80 TL ile 120 TL arasında olacaktır.