Mod medyan aritmetik ortalama Ders Notu

Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama 📊

Veri analizinin temel taşlarından olan mod, medyan ve aritmetik ortalama, bir veri grubunun merkezi eğilimini anlamamıza yardımcı olan önemli istatistiksel kavramlardır. Bu kavramlar, günlük yaşamdan bilimsel araştırmalara kadar pek çok alanda karşımıza çıkar.

Aritmetik Ortalama (Mean) ➕➖

Bir veri grubundaki tüm sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesiyle elde edilen değere aritmetik ortalama denir. En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür.

Formül:

\[ \text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Verilerin Toplamı}}{\text{Veri Sayısı}} \]

Örnek 1: Bir öğrencinin matematik dersi sınav notları 70, 85, 90, 75 ve 80 ise, bu öğrencinin notlarının aritmetik ortalaması kaçtır?

Çözüm:

Verilerin toplamı: \( 70 + 85 + 90 + 75 + 80 = 400 \)

Veri sayısı: \( 5 \)

Aritmetik Ortalama = \( \frac{400}{5} = 80 \)

Öğrencinin not ortalaması 80'dir.

Mod (Tepe Değer) 📈

Bir veri grubunda en sık tekrar eden (en çok görülen) değere mod denir. Bir veri grubunun birden fazla modu olabilir (çok modlu) veya hiç modu olmayabilir.

Örnek 2: Bir mağazadaki tişörtlerin beden dağılımı şu şekildedir: S, M, L, M, XL, M, L, S, M. Bu veri grubunun modu nedir?

Çözüm:

Verileri incelediğimizde:

• S: 2 kez
• M: 4 kez
• L: 2 kez
• XL: 1 kez

En sık tekrar eden beden M'dir. Dolayısıyla bu veri grubunun modu M'dir.

Örnek 3: Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları (cm): 150, 155, 160, 165, 170. Bu veri grubunun modu yoktur, çünkü her değer yalnızca bir kez tekrar etmiştir.

Örnek 4: Bir veri grubunda 10, 12, 12, 13, 14, 14, 15 değerleri bulunuyorsa, bu veri grubunun modları 12 ve 14'tür (iki modludur).

Medyan (Ortanca) ↔️

Bir veri grubunu küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıraladığımızda, tam ortada kalan değere medyan denir. Medyan, veri grubunu iki eşit parçaya böler.

Tek Sayıda Veri İçin: Veriler sıralandıktan sonra tam ortadaki değer medyandır.

Çift Sayıda Veri İçin: Veriler sıralandıktan sonra ortada kalan iki değerin aritmetik ortalaması medyandır.

Örnek 5: Bir futbol takımının maçlarda attığı gol sayıları: 2, 0, 3, 1, 2, 0, 1. Bu veri grubunun medyanı kaçtır?

Çözüm:

Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3

Veri sayısı 7'dir (tek sayı). Ortadaki değer 4. sıradaki 1'dir.

Medyan = 1

Örnek 6: Bir öğrencinin 5 deneme sınavı sonuçları: 65, 70, 80, 75, 90. Bu veri grubunun medyanı kaçtır?

Çözüm:

Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: 65, 70, 75, 80, 90

Veri sayısı 5'tir (tek sayı). Ortadaki değer 3. sıradaki 75'tir.

Medyan = 75

Örnek 7: Bir grup insanın yaşı: 22, 25, 20, 30, 28, 24. Bu veri grubunun medyanı kaçtır?

Çözüm:

Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: 20, 22, 24, 25, 28, 30

Veri sayısı 6'dır (çift sayı). Ortada kalan iki değer 3. ve 4. sıradaki 24 ve 25'tir.

Medyan = \( \frac{24 + 25}{2} = \frac{49}{2} = 24.5 \)

Bu veri grubunun medyanı 24.5'tir.

Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişki 🔗

Bu üç ölçü, veri grubunun dağılımı hakkında farklı bilgiler verir. Simetrik bir veri dağılımında bu üç değer birbirine yakın olur. Çarpık dağılımlarda ise aralarında belirgin farklar olabilir.

Örnek 8: Bir şirketteki çalışanların aylık maaşları (TL): 5000, 5500, 6000, 6000, 6500, 7000, 15000.

Çözüm:

• Aritmetik Ortalama: \( \frac{5000+5500+6000+6000+6500+7000+15000}{7} = \frac{51000}{7} \approx 7285.7 \) TL
• Mod: En sık tekrar eden maaş 6000 TL'dir.
• Medyan: Verileri sıralayalım: 5000, 5500, 6000, 6000, 6500, 7000, 15000. Ortadaki değer 6000 TL'dir.

Bu örnekte, yüksek bir maaş (15000 TL) aritmetik ortalamayı yukarı çekmiş, ancak mod ve medyan daha tipik maaşları temsil etmektedir. Bu durum, veri grubunun sağa çarpık olduğunu gösterir.