💡 9. Sınıf Matematik: Mantık Çözümlü Örnekler

Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesinlikle doğru ya da yanlış bir yargı bildirmesi gerekir. Kişiden kişiye değişen veya emir/istek bildiren ifadeler önerme değildir.

• 1️⃣ "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." 👉 Bu ifade yanlış bir yargıdır (Türkiye'nin başkenti Ankara'dır). Ancak kesin bir yargı bildirdiği için bir önermedir. Doğruluk değeri: 0 (Yanlış).
• 2️⃣ "Bugün hava çok güzel!" 👉 Bu ifade kişiden kişiye değişen öznel bir yargı içerir. Birine göre güzel olan hava, başkasına göre kötü olabilir. Bu yüzden bir önerme değildir.
• 3️⃣ "2 + 3 = 5" 👉 Bu ifade doğru bir yargıdır. Kesin bir yargı bildirdiği için bir önermedir. Doğruluk değeri: 1 (Doğru).
• 4️⃣ "Hemen buraya gel." 👉 Bu ifade bir emir cümlesidir ve herhangi bir doğruluk değeri taşımaz. Bu yüzden bir önerme değildir.

✅ Sonuç olarak, 1 ve 3 numaralı ifadeler birer önermedir.

Bir önermenin değilini alırken, önermenin yargısını tam tersine çeviririz. Niceleyiciler (\(\forall\), \(\exists\)) varsa onların da değilleri alınır.

• 1️⃣ \(p\): "En küçük asal sayı 2'dir."
  \(p'\): "En küçük asal sayı 2 değildir." ✅
• 2️⃣ \(q\): "Her tam sayı bir doğal sayıdır."
  "Her" niceleyicisinin değili "Bazı" (veya "En az bir") niceleyicisidir.
  \(q'\): "Bazı tam sayılar doğal sayı değildir." (Örneğin, -3 bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir.) ✅
• 3️⃣ \(r\): "Bazı insanlar gözlüklüdür."
  "Bazı" niceleyicisinin değili "Her" niceleyicisidir.
  \(r'\): "Her insan gözlüklü değildir." (Veya "Hiçbir insan gözlüklü değildir." de denilebilir, ancak en doğru ifade "Her insan gözlüklü değildir" veya "Tüm insanlar gözlüksüzdür" şeklindedir.) ✅

Verilen doğruluk değerlerini yerine koyarak adım adım çözüme ulaşalım. Hatırlayalım: * \(\land\) (ve) bağlacı: İki önerme de doğru ise doğru, aksi halde yanlıştır. * \(\lor\) (veya) bağlacı: İki önerme de yanlış ise yanlış, aksi halde doğrudur. * \(p'\) (değili): \(p\) doğru ise yanlış, \(p\) yanlış ise doğrudur.

1️⃣ \( (p \land q) \lor r \)

• Önce parantez içini yapalım: \(p \land q\).
• \(1 \land 0 \equiv 0\) (Çünkü "ve" bağlacında ikisi de 1 olmalıydı).
• Şimdi bu sonucu \(r\) ile "veya" bağlacıyla birleştirelim: \(0 \lor r\).
• \(0 \lor 1 \equiv 1\) (Çünkü "veya" bağlacında biri 1 ise sonuç 1'dir).
• Sonuç: \( (p \land q) \lor r \equiv 1 \). ✅

2️⃣ \( (p \lor r') \land (q' \lor r) \)

• Önce \(r'\) ve \(q'\) değerlerini bulalım:
  • \(r \equiv 1 \implies r' \equiv 0\)
  • \(q \equiv 0 \implies q' \equiv 1\)
• İlk parantez: \(p \lor r'\)
  • \(1 \lor 0 \equiv 1\)
• İkinci parantez: \(q' \lor r\)
  • \(1 \lor 1 \equiv 1\)
• Şimdi iki parantezin sonucunu "ve" bağlacıyla birleştirelim: \(1 \land 1\).
• \(1 \land 1 \equiv 1\).
• Sonuç: \( (p \lor r') \land (q' \lor r) \equiv 1 \). ✅

"Ya da" (\(\underline{\lor}\)) bağlacını hatırlayalım: * İki önermenin doğruluk değeri farklı ise sonuç doğru (1) olur. * İki önermenin doğruluk değeri aynı ise sonuç yanlış (0) olur.

1️⃣ \( p \underline{\lor} q \)

• Verilen değerleri yerine koyalım: \(1 \underline{\lor} 0\).
• Önermelerin doğruluk değerleri farklı (1 ve 0) olduğu için sonuç 1'dir.
• Sonuç: \( p \underline{\lor} q \equiv 1 \). ✅

2️⃣ \( (p' \land q) \underline{\lor} (p \lor q') \)

• Önce \(p'\) ve \(q'\) değerlerini bulalım:
  • \(p \equiv 1 \implies p' \equiv 0\)
  • \(q \equiv 0 \implies q' \equiv 1\)
• İlk parantez: \(p' \land q\)
  • \(0 \land 0 \equiv 0\)
• İkinci parantez: \(p \lor q'\)
  • \(1 \lor 1 \equiv 1\)
• Şimdi iki parantezin sonucunu "ya da" bağlacıyla birleştirelim: \(0 \underline{\lor} 1\).
• Önermelerin doğruluk değerleri farklı (0 ve 1) olduğu için sonuç 1'dir.
• Sonuç: \( (p' \land q) \underline{\lor} (p \lor q') \equiv 1 \). ✅

"İse" (\(\implies\)) bağlacının denkliğini hatırlayalım: \(p \implies q \equiv p' \lor q\). Bu denkliği kullanarak önermeleri sadeleştireceğiz.

1️⃣ \( (p \implies q) \land p \)

• "İse" bağlacını açalım: \( (p' \lor q) \land p \).
• Dağılma özelliğini kullanalım: \( (p' \land p) \lor (q \land p) \).
• \(p' \land p\) önermesi her zaman yanlıştır (0), çünkü bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz. Yani \(p' \land p \equiv 0\).
• İfade şu hale gelir: \( 0 \lor (q \land p) \).
• "Veya" bağlacında 0 ile yapılan işlemde sonuç diğer önermeye eşittir: \(0 \lor A \equiv A\).
• Bu durumda en sade hali: \( q \land p \). ✅

2️⃣ \( (p \lor q') \implies (p \land q) \)

• Bu ifadeyi \(A \implies B\) şeklinde düşünebiliriz, burada \(A = (p \lor q')\) ve \(B = (p \land q)\).
• \(A \implies B \equiv A' \lor B\) kuralını uygulayalım.
• Önce \(A'\) değerini bulalım: \(A' = (p \lor q')'\).
• De Morgan kurallarını kullanalım: \((p \lor q')' \equiv p' \land (q')' \equiv p' \land q\).
• Şimdi \(A' \lor B\) ifadesini yazalım: \( (p' \land q) \lor (p \land q) \).
• Bu ifadede \(q\) ortak parantezine alabiliriz: \( q \land (p' \lor p) \).
• \(p' \lor p\) önermesi her zaman doğrudur (1), çünkü bir önerme ya doğru ya yanlıştır. Yani \(p' \lor p \equiv 1\).
• İfade şu hale gelir: \( q \land 1 \).
• "Ve" bağlacında 1 ile yapılan işlemde sonuç diğer önermeye eşittir: \(A \land 1 \equiv A\).
• Bu durumda en sade hali: \( q \). ✅

Öncelikle "Ancak ve ancak" (\(\iff\)) ve "Ya da" (\(\underline{\lor}\)) bağlaçlarının doğruluk değerlerini hatırlayalım: * \(p \iff q\): \(p\) ve \(q\) aynı doğruluk değerine sahipse 1, farklıysa 0. * \(p \underline{\lor} q\): \(p\) ve \(q\) farklı doğruluk değerine sahipse 1, aynıysa 0. Bu iki bağlacın doğruluk değerleri birbirinin tam tersidir. Yani, \( (p \iff q) \equiv (p \underline{\lor} q)' \) diyebiliriz. Verilen ifadeyi bu bilgi ışığında yeniden yazalım: \[ (p \iff q) \lor (p \underline{\lor} q) \] Bu ifadeyi \(A \lor A'\) şeklinde düşünebiliriz, burada \(A = (p \iff q)\) ve \(A' = (p \underline{\lor} q)\). Bir önerme ile kendi değilinin "veya" bağlacıyla birleştirilmesi her zaman doğru (1) sonucunu verir. Yani, \( A \lor A' \equiv 1 \). Bu durumda, verilen bileşik önerme her zaman doğru olduğu için bir totolojidir. ✅

Niceleyicili önermelerin değilini alırken şu kuralları uygularız: * \(\forall\) (her) niceleyicisinin değili \(\exists\) (bazı) niceleyicisidir. * \(\exists\) (bazı) niceleyicisinin değili \(\forall\) (her) niceleyicisidir. * Önermenin kendisinin de değili alınır. * İşaret eşitsizlikleri tersine çevrilir ve eşitlik ise eşitsizlik olur (veya tam tersi).

1️⃣ \[ \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 \ge 0 \]

• \(\forall x\) niceleyicisinin değili \(\exists x\) olur.
• \(x^2 \ge 0\) önermesinin değili \(x^2 < 0\) olur.
• Sonuç: \[ \exists x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 < 0 \] ✅

2️⃣ \[ \exists x \in \mathbb{N}, \quad x+1 = 5 \]

• \(\exists x\) niceleyicisinin değili \(\forall x\) olur.
• \(x+1 = 5\) önermesinin değili \(x+1 \ne 5\) olur.
• Sonuç: \[ \forall x \in \mathbb{N}, \quad x+1 \ne 5 \] ✅

Öncelikle verilen kampanya koşulunu mantık önermeleriyle ifade edelim. "Eğer... ve... o zaman..." yapısı bir "ise" (\(\implies\)) bağlacını gösterir.

Kampanya koşulu: \( (p \land q) \implies r \)

Bir "ise" önermesinin doğruluk değeri yalnızca bir durumda yanlış (0) olur: * Ön koşul (sol taraf) doğru (1) iken, sonuç (sağ taraf) yanlış (0) olursa. * Yani, \(1 \implies 0\) durumu yanlıştır. Diğer tüm durumlarda "ise" önermesi doğrudur. Kampanya koşulunun ihlal edildiği (yani yanlış olduğu) durum, \( (p \land q) \implies r \equiv 0 \) olduğu durumdur. Bu durumun gerçekleşmesi için:

• Ön koşulun doğru olması gerekir: \(p \land q \equiv 1\).
• Sonucun yanlış olması gerekir: \(r \equiv 0\).

Şimdi bu koşulları günlük hayat senaryosuna uygulayalım:

• \(p \land q \equiv 1\) olması için hem \(p \equiv 1\) (Müşteri pizza sipariş eder) hem de \(q \equiv 1\) (Müşteri yanında içecek alır) gereklidir.
• \(r \equiv 0\) olması için ise "Müşteriye salata bedava olmaz" durumunun gerçekleşmesi gerekir.

Bu durumda, kampanya koşullarının ihlal edildiği tek senaryo şudur:

Bir müşteri pizza sipariş eder (\(p \equiv 1\)) VE yanında içecek alır (\(q \equiv 1\)), ANCAK buna rağmen salatası bedava olmaz (\(r \equiv 0\)).

Bu durum dışında, örneğin müşteri pizza sipariş etmezse veya içecek almazsa, salatanın bedava olup olmaması kampanyanın ihlal edildiği anlamına gelmez çünkü ön koşul sağlanmamıştır. ✅