Mantık Ders Notu

Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle \(p, q, r, s\) gibi küçük harflerle gösterilir. Emir, soru, ünlem veya dilek bildiren cümleler kesin bir yargı taşımadığı için önerme değildir.

🧠 1. Önerme Kavramı ve Temel Özellikler

Bir önermenin bildirdiği hüküm doğru ise doğruluk değeri 1 (veya D), yanlış ise doğruluk değeri 0 (veya Y) ile gösterilir. İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise bu önermelere denk önermeler denir ve \(p \equiv q\) biçiminde gösterilir.

📌 Doğruluk Tablosu Kuralı: Birbirinden bağımsız \(n\) tane farklı önermenin doğruluk tablosunda \(2^n\) farklı durum vardır.

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)

Bir önermenin hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde edilen yeni önermeye o önermenin olumsuzu (değili) denir ve \(p'\) veya \(\neg p\) ile gösterilir. Bir önermenin değilinin değili kendisinden ibarettir: \( (p')' \equiv p \).

🔗 2. Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar

İki veya daha fazla önermenin "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" bağlaçları ile bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir.

"Ve" Bağlacı (\(\land\))

Bileşenlerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermedir.

• \( 1 \land 1 \equiv 1 \)
• \( 1 \land 0 \equiv 0 \)
• \( 0 \land 1 \equiv 0 \)
• \( 0 \land 0 \equiv 0 \)

"Veya" Bağlacı (\(\lor\))

Bileşenlerinden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlış olan bileşik önermedir.

• \( 1 \lor 1 \equiv 1 \)
• \( 1 \lor 0 \equiv 1 \)
• \( 0 \lor 1 \equiv 1 \)
• \( 0 \lor 0 \equiv 0 \)

"Ya Da" Bağlacı (\(\underline{\lor}\))

Bileşenlerinin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlış olan bileşik önermedir.

• \( 1 \underline{\lor} 1 \equiv 0 \)
• \( 1 \underline{\lor} 0 \equiv 1 \)
• \( 0 \underline{\lor} 1 \equiv 1 \)
• \( 0 \underline{\lor} 0 \equiv 0 \)

De Morgan Kuralları

Ve ve veya bağlaçları ile kurulan bileşik önermelerin olumsuzları aşağıdaki gibidir:

\[ (p \land q)' \equiv p' \lor q' \] \[ (p \lor q)' \equiv p' \land q' \]

➡️ 3. Koşullu Önerme (\(\Rightarrow\)) ve İki Yönlü Koşullu Önerme (\(\Leftrightarrow\))

Koşullu Önerme ("İse" Bağlacı)

\(p \Rightarrow q\) koşullu önermesi, yalnızca birinci önerme doğru (\(1\)) ve ikinci önerme yanlış (\(0\)) olduğunda yanlış (\(0\)) değerini alır. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

💡 Önemli Özdeşlik: Koşullu önerme veya bağlacı türünden yazılabilir: \[ p \Rightarrow q \equiv p' \lor q \]

\(p \Rightarrow q\) önermesi için:

• Karşıtı: \(q \Rightarrow p\)
• Tersi: \(p' \Rightarrow q'\)
• Karşıt Tersi: \(q' \Rightarrow p'\)

Bir koşullu önerme, karşıt tersine daima denktir: \( (p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p') \)

İki Yönlü Koşullu Önerme ("Ancak ve Ancak" Bağlacı)

\(p \Leftrightarrow q\) önermesi, bileşenlerinin doğruluk değerleri aynı iken doğru (\(1\)), farklı iken yanlış (\(0\)) değerini alır.

\[ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \]

🔍 4. Her (\(\forall\)) ve Bazı (\(\exists\)) Niceleyicileri

• Evrensel Niceleyici (\(\forall\)): "Her" veya "Bütün" anlamına gelir. Ele aldığı kümedeki tüm elemanlar için sağlandığını belirtir.
• Varlıksal Niceleyici (\(\exists\)): "Bazı" veya "En az bir" anlamına gelir. Kümede şartı sağlayan en az bir eleman olduğunu belirtir.

Niceleyicilerin olumsuzları (değilleri):

\[ (\forall x, p(x))' \equiv \exists x, p'(x) \] \[ (\exists x, p(x))' \equiv \forall x, p'(x) \]

✏️ Çözümlü Örnekler

Örnek 1: \( (1 \land 0') \lor (0 \lor 1)' \) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:
İlk olarak parantez içlerini ve değilleri çözelim:
\( 0' \equiv 1 \) olduğundan \( (1 \land 1) \equiv 1 \)
\( (0 \lor 1) \equiv 1 \) ve değilinden dolayı \( 1' \equiv 0 \)
İfadeleri birleştirelim: \( 1 \lor 0 \equiv 1 \). Doğruluk değeri \(1\) bulunur.

Örnek 2: \( p \Rightarrow (q \lor p') \) önermesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm:
"İse" bağlacını "veya" bağlacına dönüştürelim:
\( (p \Rightarrow (q \lor p')) \equiv p' \lor (q \lor p') \)
Birleşme ve değişme özelliklerini kullanarak ifadeyi düzenleyelim:
\( \equiv (p' \lor p') \lor q \)
\( \equiv p' \lor q \)
İfade en sade haliyle \( p' \lor q \) veya \( p \Rightarrow q \) olarak yazılır.