Mantık Ders Notu

Mantık, doğru düşünmenin ve akıl yürütmenin ilkelerini inceleyen bir bilim dalıdır. Matematikte ise önermeler, bu önermelerin doğruluk değerleri ve birbirleriyle ilişkileri temel alınır. 9. sınıf matematik müfredatında mantık konusu, günlük hayatta karşılaşılan durumları matematiksel bir dille ifade etme ve analiz etme becerilerini geliştirir.

Önermeler ve Doğruluk Değeri 🧐

Matematiksel mantığın temelini oluşturan kavramlardan biri önermedir.

• Önerme Nedir?

  Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Bir ifadenin önerme olabilmesi için kişiden kişiye değişmeyen, net bir yargı belirtmesi gerekir.

  Örnekler:

  • "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." (Doğru bir önermedir.)
  • "2 + 3 = 6." (Yanlış bir önermedir.)
  • "En büyük asal sayı 10'dur." (Yanlış bir önermedir.)

  Önerme Olmayan İfadeler:

  • "Bugün hava çok güzel!" (Kişiden kişiye değişir, net bir hüküm bildirmez.)
  • "Kalemi bana ver." (Soru veya emir cümlesidir.)
  • "Keşke sınavdan yüksek alsam." (Dilek cümlesidir.)

• Doğruluk Değeri

  Bir önermenin doğru veya yanlış olma durumuna doğruluk değeri denir.

  • Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile gösterilir.
  • Bir önerme yanlış ise doğruluk değeri "0" veya "Y" ile gösterilir.

  Önermeler genellikle küçük harflerle \( p, q, r, ... \) ile gösterilir.

  Örnek:

  \( p \): "Ay Dünya'nın uydusudur."

  Bu önerme doğru olduğu için doğruluk değeri \( 1 \) dir. Yani \( p \equiv 1 \).

  Örnek:

  \( q \): "En küçük iki basamaklı tek sayı 11'dir."

  Bu önerme yanlış olduğu için doğruluk değeri \( 0 \) dır. Yani \( q \equiv 0 \).

Denk Önermeler (Eş Değer Önermeler) 🤝

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk (eş değer) önermeler denir.

\( p \) ve \( q \) önermeleri denk ise bu durum \( p \equiv q \) şeklinde gösterilir.

Örnek:

\( p \): "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." (\( p \equiv 0 \))

\( q \): "2 + 2 = 5." (\( q \equiv 0 \))

Bu durumda \( p \equiv q \) diyebiliriz, çünkü ikisinin de doğruluk değeri \( 0 \) dır.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) 🙅‍♀️

Bir önermenin hükmünün olumsuzlanmasıyla elde edilen yeni önermeye, o önermenin değili (olumsuzu) denir.

Bir \( p \) önermesinin değili \( p' \) veya \( \neg p \) sembolleriyle gösterilir.

• Eğer \( p \equiv 1 \) ise, \( p' \equiv 0 \) olur.
• Eğer \( p \equiv 0 \) ise, \( p' \equiv 1 \) olur.

Bir önermenin değilinin değili kendisidir: \( (p')' \equiv p \).

Örnek:

\( p \): "Bugün hava güneşlidir."

\( p' \): "Bugün hava güneşli değildir."

Örnek:

\( q \): "3 tek sayıdır." (\( q \equiv 1 \))

\( q' \): "3 tek sayı değildir." veya "3 çift sayıdır." (\( q' \equiv 0 \))

İfadelerin değilleri alınırken kullanılan bazı semboller ve değilleri:

Sembol	Anlamı	Değili
\( = \)	Eşittir	\( \neq \) (Eşit değildir)
\( > \)	Büyüktür	\( \le \) (Küçük veya eşittir)
\( < \)	Küçüktür	\( \ge \) (Büyük veya eşittir)
\( \ge \)	Büyük veya eşittir	\( < \) (Küçüktür)
\( \le \)	Küçük veya eşittir	\( > \) (Büyüktür)

Bileşik Önermeler 🔗

İki veya daha fazla önermenin "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

1. "ve" Bağlacı (\( \land \))

İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme, her iki önerme de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Sembolü \( \land \) dir.

\( p \land q \) şeklinde gösterilir ve "p ve q" diye okunur.

Örnek:

\( p \): "Güneş bir yıldızdır." (\( p \equiv 1 \))

\( q \): "Ay bir gezegendir." (\( q \equiv 0 \))

\( p \land q \): "Güneş bir yıldızdır ve Ay bir gezegendir." (\( p \land q \equiv 0 \))

Doğruluk Tablosu:

\( p \)	\( q \)	\( p \land q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

"ve" Bağlacının Özellikleri:

• Tek Kuvvet Özelliği: \( p \land p \equiv p \)
• Değişme Özelliği: \( p \land q \equiv q \land p \)
• Birleşme Özelliği: \( p \land (q \land r) \equiv (p \land q) \land r \)
• Dağılma Özelliği: \( p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \)
• Birleşen Eleman: \( p \land 1 \equiv p \)
• Yutan Eleman: \( p \land 0 \equiv 0 \)
• De Morgan Kuralı: \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)

2. "veya" Bağlacı (\( \lor \))

İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme, her iki önerme de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Sembolü \( \lor \) dir.

\( p \lor q \) şeklinde gösterilir ve "p veya q" diye okunur.

Örnek:

\( p \): "2 + 3 = 5." (\( p \equiv 1 \))

\( q \): "4 bir tek sayıdır." (\( q \equiv 0 \))

\( p \lor q \): "2 + 3 = 5 veya 4 bir tek sayıdır." (\( p \lor q \equiv 1 \))

Doğruluk Tablosu:

\( p \)	\( q \)	\( p \lor q \)
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

"veya" Bağlacının Özellikleri:

• Tek Kuvvet Özelliği: \( p \lor p \equiv p \)
• Değişme Özelliği: \( p \lor q \equiv q \lor p \)
• Birleşme Özelliği: \( p \lor (q \lor r) \equiv (p \lor q) \lor r \)
• Dağılma Özelliği: \( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \)
• Birleşen Eleman: \( p \lor 0 \equiv p \)
• Yutan Eleman: \( p \lor 1 \equiv 1 \)
• De Morgan Kuralı: \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)

3. "ya da" Bağlacı (\( \underline{\lor} \)) 💡

İki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Sembolü \( \underline{\lor} \) dir.

\( p \underline{\lor} q \) şeklinde gösterilir ve "p ya da q" diye okunur.

Örnek:

\( p \): "3 tek sayıdır." (\( p \equiv 1 \))

\( q \): "4 çift sayıdır." (\( q \equiv 1 \))

\( p \underline{\lor} q \): "3 tek sayıdır ya da 4 çift sayıdır." (\( p \underline{\lor} q \equiv 0 \))

Doğruluk Tablosu:

\( p \)	\( q \)	\( p \underline{\lor} q \)
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

"ya da" Bağlacının Özellikleri:

• Değişme Özelliği: \( p \underline{\lor} q \equiv q \underline{\lor} p \)
• Tek Kuvvet Özelliği: \( p \underline{\lor} p \equiv 0 \)
• \( p \underline{\lor} 0 \equiv p \)
• \( p \underline{\lor} 1 \equiv p' \)

4. "ise" Bağlacı (\( \implies \)) ➡️

İki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme, ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur. Sembolü \( \implies \) dir.

\( p \implies q \) şeklinde gösterilir ve "p ise q" diye okunur. Burada \( p \) önermesine hipotez (varsayım), \( q \) önermesine hüküm (sonuç) denir.

"ise" Bağlacının Alternatif İfadesi: \( p \implies q \equiv p' \lor q \)

Örnek:

\( p \): "Yağmur yağar."

\( q \): "Yer ıslanır."

\( p \implies q \): "Yağmur yağarsa yer ıslanır."

Sadece yağmur yağıp yer ıslanmadığı durumda bu önerme yanlış olur. Diğer durumlarda (yağmur yağmazsa yer ıslanır/ıslanmaz, yağmur yağarsa yer ıslanır) doğru kabul edilir.

Doğruluk Tablosu:

\( p \)	\( q \)	\( p \implies q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

"ise" Bağlacının Özellikleri:

• Değişme özelliği yoktur: \( p \implies q \not\equiv q \implies p \)
• \( p \implies p \equiv 1 \)
• \( p \implies p' \equiv p' \)
• \( p \implies 1 \equiv 1 \)
• \( 1 \implies p \equiv p \)
• \( p \implies 0 \equiv p' \)
• \( 0 \implies p \equiv 1 \)

5. "ancak ve ancak" Bağlacı (\( \iff \)) ↔️

İki önermenin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme, önermelerin doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır. Sembolü \( \iff \) dir.

\( p \iff q \) şeklinde gösterilir ve "p ancak ve ancak q" diye okunur.

"ancak ve ancak" Bağlacının Alternatif İfadesi: \( p \iff q \equiv (p \implies q) \land (q \implies p) \)

Örnek:

\( p \): "Bir sayı 4'e tam bölünür."

\( q \): "Bir sayı çift sayıdır."

\( p \iff q \): "Bir sayı 4'e tam bölünür ancak ve ancak bir sayı çift sayıdır."

Bu önerme yanlıştır, çünkü 4'e bölünen her sayı çift olsa da, çift olan her sayı 4'e bölünmez (örneğin 6).

Doğruluk Tablosu:

\( p \)	\( q \)	\( p \iff q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

"ancak ve ancak" Bağlacının Özellikleri:

• Değişme Özelliği: \( p \iff q \equiv q \iff p \)
• \( p \iff p \equiv 1 \)
• \( p \iff p' \equiv 0 \)
• \( p \iff 1 \equiv p \)
• \( p \iff 0 \equiv p' \)

Totoloji ve Çelişki 🤔

• Totoloji

  Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima doğru (1) oluyorsa bu bileşik önermeye totoloji denir.

  Örnek: \( p \lor p' \)

  Eğer \( p \equiv 1 \) ise \( p \lor p' \equiv 1 \lor 0 \equiv 1 \).

  Eğer \( p \equiv 0 \) ise \( p \lor p' \equiv 0 \lor 1 \equiv 1 \).

  Her iki durumda da sonuç \( 1 \) olduğu için \( p \lor p' \) bir totolojidir.

• Çelişki

  Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış (0) oluyorsa bu bileşik önermeye çelişki denir.

  Örnek: \( p \land p' \)

  Eğer \( p \equiv 1 \) ise \( p \land p' \equiv 1 \land 0 \equiv 0 \).

  Eğer \( p \equiv 0 \) ise \( p \land p' \equiv 0 \land 1 \equiv 0 \).

  Her iki durumda da sonuç \( 0 \) olduğu için \( p \land p' \) bir çelişkidir.

Niceleyiciler (Quantifiers) 🔢

Önermelerin kapsamını belirten ifadelere niceleyiciler denir. 9. sınıf düzeyinde iki temel niceleyici kullanılır:

• Evrensel Niceleyici (Her, Bütün, Tamamı)

  "Her", "bütün", "tamamı" gibi ifadelerle belirtilen niceleyiciye evrensel niceleyici denir ve \( \forall \) sembolü ile gösterilir.

  Örnek: \( \forall x \in \mathbb{N}, x \ge 0 \)

  "Her doğal sayı sıfırdan büyüktür veya eşittir."

• Varlıksal Niceleyici (Bazı, En Az Bir)

  "Bazı", "en az bir", "kimileri" gibi ifadelerle belirtilen niceleyiciye varlıksal niceleyici denir ve \( \exists \) sembolü ile gösterilir.

  Örnek: \( \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 = 4 \)

  "Karesi 4 olan en az bir tam sayı vardır."

• Niceleyicilerin Değili

  Niceleyicilerin değilleri alınırken evrensel niceleyici varlıksal niceleyiciye, varlıksal niceleyici ise evrensel niceleyiciye dönüşür ve önermenin hükmü de olumsuzlanır.

  • \( (\forall x, P(x))' \equiv \exists x, P'(x) \)
  • \( (\exists x, P(x))' \equiv \forall x, P'(x) \)

  Örnek:

  \( p \): "\( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 \)"

  Bu önermenin değili:

  \( p' \): "\( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0 \)"