💡 9. Sınıf Matematik: Mantık ve Niceleyiciler Çözümlü Örnekler

Önermeleri tek tek inceleyelim:

• P önermesi: "Her tek sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Örneğin, 3 tek bir sayıdır ve çift değildir.
• Q önermesi: "Bazı asal sayılar çifttir." Bu ifade doğrudur. Asal sayılar kümesinde sadece 2 sayısı çifttir. Diğer asal sayılar tektir.
• R önermesi: "2 + 3 = 6" Bu ifade yanlıştır. 2 + 3 işleminin sonucu 5'tir.

Bu nedenle, doğru olan önerme Q'dur. ✅

Verilen önerme "Her öğrenci çalışkandır." şeklindedir. Bu, "her" niceleyicisi ile başlayan bir önermedir.
"Her" niceleyicisinin olumsuzu "Bazı" niceleyicisidir.
"Çalışkandır" yükleminin olumsuzu ise "çalışkan değildir" olur.
Bu durumda, önermenin olumsuzu şu şekilde olur: "Bazı öğrenciler çalışkan değildir." 👉

İfadeleri sembolik mantık dilinde gösterelim:

• 1. İfade: "Her x gerçel sayısı için, x² ≥ 0'dır."
  Burada "Her" niceleyicisi kullanıldığı için evrensel niceleyici (∀) kullanılır. Gerçel sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) ile gösterilir.
  Sembolik gösterimi: \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 \)
  💡 İpucu: Evrensel niceleyici (∀) "her", "bütün", "tüm" gibi ifadelerle başlar.
• 2. İfade: "En az bir a tam sayısı vardır ki, a < 0'dır."
  Burada "En az bir" niceleyicisi kullanıldığı için varlıksal niceleyici (∃) kullanılır. Tam sayılar kümesi \( \mathbb{Z} \) ile gösterilir.
  Sembolik gösterimi: \( \exists a \in \mathbb{Z}, a < 0 \)
  📌 Not: Varlıksal niceleyici (∃) "bazı", "en az bir", "mevcut" gibi ifadelerle başlar.

Öncelikle \( p \) ve \( q \) önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p \) önermesi: "Her tam sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. (Örn: 3 tek bir tam sayıdır.) Dolayısıyla, \( p \equiv 0 \).
• \( q \) önermesi: "Bazı tam sayılar tektir." Bu ifade doğrudur. (Örn: 1, 3, 5 gibi tek tam sayılar mevcuttur.) Dolayısıyla, \( q \equiv 1 \).

Şimdi bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplayalım:

1. \( p \land q \) (p ve q):
\( p \land q \equiv 0 \land 1 \)
"Ve" bağlacında her iki önermenin de doğru olması gerekir. Bir önerme yanlış olduğu için sonuç yanlıştır. \( p \land q \equiv 0 \).
2. \( p \lor q \) (p veya q):
\( p \lor q \equiv 0 \lor 1 \)
"Veya" bağlacında önermelerden en az birinin doğru olması yeterlidir. \( q \) önermesi doğru olduğu için sonuç doğrudur. \( p \lor q \equiv 1 \).

Sonuç olarak: \( p \land q \equiv 0 \) ve \( p \lor q \equiv 1 \). ✅

Verilen önerme: "Her pozitif tam sayının karesi pozitiftir."
Bu önermenin doğru olması için, pozitif tam sayılar kümesindeki (1, 2, 3, ...) her sayının karesinin pozitif olması gerekir. Bu önerme doğrudur. Çünkü pozitif bir sayının karesi her zaman pozitiftir.
Can'ın bu önermeyi yanlışlayabilmesi için bir karşı örnek vermesi gerekir. Karşı örnek, önermenin koşulunu sağlayan ancak sonucunu sağlamayan bir durumdur.
Önermenin koşulu: "pozitif tam sayı olmak".
Önermenin sonucu: "karesi pozitiftir".
Can'ın vereceği karşı örnek, pozitif bir tam sayı olmalı ama karesi pozitif olmamalıdır. Ancak böyle bir sayı yoktur! Pozitif bir sayının karesi her zaman pozitiftir.
Dolayısıyla, Can'ın verebileceği bir karşı örnek yoktur. Eğer şıklarda "0" veya "negatif bir tam sayı" gibi seçenekler olsaydı, bunlar pozitif tam sayı koşulunu sağlamayacağı için karşı örnek olamazdı. Ancak soruda "pozitif tam sayı" koşulu verildiği için, bu koşulu sağlayan ve karesi pozitif olmayan bir sayı bulmak imkansızdır.
Bu nedenle, Can'ın verebileceği bir karşı örnek olamaz. Çünkü önerme her zaman doğrudur. 👉

Kampanya duyurusu: "Herhangi bir ürünü alan her müşteri, %10 indirim kazanır."
Bu duyuru, evrensel niceleyici (∀) ile başlayan bir önermedir. Yani, belirtilen koşulu (ürün almak) sağlayan tüm müşteriler için indirim (sonuç) geçerli olmalıdır.
Bu önermenin mantıksal olarak doğru olması için:

• Koşul: Bir müşteri bir ürün almalı.
• Sonuç: Bu müşteri %10 indirim kazanmalı.

Bu durumda, süpermarketteki her müşteri, bir ürün aldığında mutlaka %10 indirim kazanmalıdır. Eğer bir müşteri ürün alıp indirim kazanmazsa, bu duyuru yanlış olur.
Dolayısıyla, gerçekleşmesi gereken durum şudur: Tüm müşteriler, bir ürün aldıklarında %10 indirimden faydalanmalıdır. 💡

Önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim:

• p önermesi: "Her çift sayı 2 ile tam bölünür." Bu ifade doğrudur. Çift sayıların tanımı gereği 2 ile tam bölünürler. Dolayısıyla, \( p \equiv 1 \).
• q önermesi: "Bazı tek sayılar 5 ile tam bölünür." Bu ifade doğrudur. Örneğin, 5, 15, 25 gibi tek sayılar 5 ile tam bölünür. Dolayısıyla, \( q \equiv 1 \).
• r önermesi: "2 < 5" Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, \( r \equiv 1 \).

Karşılaştırma:
Bu üç önermenin de doğruluk değeri 1'dir. Yani, p, q ve r önermeleri doğrudur. ✅

İfadeleri sembolik mantık dilinde gösterelim:

• 1. İfade: "Bazı insanlar matematikten hoşlanır."
  Burada "Bazı" niceleyicisi kullanıldığı için varlıksal niceleyici (∃) kullanılır. İnsanlar kümesi İ ile gösterilebilir.
  Sembolik gösterimi: \( \exists x \in \text{İ}, x \text{ matematikten hoşlanır.} \)
  📌 Not: Burada "insanlar" kümesini temsil etmek için farklı bir harf kullanabiliriz, örneğin İ.
• 2. İfade: "Her öğrenci sınavı geçemedi."
  Burada "Her" niceleyicisi kullanıldığı için evrensel niceleyici (∀) kullanılır. Öğrenciler kümesi Ö ile gösterilebilir.
  Sembolik gösterimi: \( \forall x \in \text{Ö}, x \text{ sınavı geçemedi.} \)
  💡 İpucu: "Geçemedi" ifadesi, "sınavı geçti" önermesinin olumsuzudur.