Mantık ve Niceleyiciler Ders Notu

Mantık ve Niceleyiciler 🧠

Mantık, doğru ve yanlış önermeler arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Günlük hayatta da farkında olmadan mantıksal çıkarımlar yaparız. Bu ünitede, önermeleri, önermelerin özelliklerini, mantıksal bağlaçları ve niceleyicileri öğreneceğiz.

1. Önermeler

Doğru veya yanlış olduğu kesin olarak bilinen ifadelere önerme denir. Bir önermenin doğru olmasına doğru (D), yanlış olmasına ise yanlış (Y) denir.

• Önermeler genellikle p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir.
• Bir önermenin doğruluk değerini gösteren tabloya doğruluk tablosu denir.

Örnek 1:

Aşağıdaki ifadelerden hangileri önermedir?

• "Bugün hava güneşli." (Önerme değildir, çünkü hava durumuna göre değişir.)
• "2 + 3 = 5" (Önermedir, doğruluk değeri D'dir.)
• "En büyük asal sayı 7'dir." (Önermedir, doğruluk değeri Y'dir.)
• "Kapıyı kapat." (Önerme değildir, bu bir emir cümlesidir.)

2. Mantıksal Bağlaçlar

İki veya daha fazla önermeyi birleştirerek yeni önermeler elde etmemizi sağlayan ifadelere mantıksal bağlaç denir. Başlıca mantıksal bağlaçlar şunlardır:

2.1. "ve" Bağlacı (∧)

İki önermenin "ve" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşan yeni önermenin doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir.

p ∧ q önermesi, p doğru ve q doğru iken doğrudur. Diğer durumlarda yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ∧ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Örnek 2:

p: "10 tek sayıdır." (Y)

q: "15 çift sayıdır." (Y)

p ∧ q: "10 tek sayıdır ve 15 çift sayıdır."

Doğruluk değeri: Y ∧ Y = Y

2.2. "veya" Bağlacı (∨)

İki önermenin "veya" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşan yeni önermenin yanlış olması için her iki önermenin de yanlış olması gerekir.

p ∨ q önermesi, p yanlış ve q yanlış iken yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ∨ q
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Örnek 3:

p: "Ankara Türkiye'nin başkentidir." (D)

q: "İzmir Ege Bölgesi'ndedir." (D)

p ∨ q: "Ankara Türkiye'nin başkentidir veya İzmir Ege Bölgesi'ndedir."

Doğruluk değeri: D ∨ D = D

2.3. "ise" Bağlacı (→)

p → q önermesi, yalnızca p doğru iken q yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p → q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

Örnek 4:

p: "Bugün pazartesi ise..."

q: "...yarın salı olur."

Eğer bugün gerçekten pazartesi ise (p=D) ve yarın salı ise (q=D), o zaman p → q önermesi doğrudur (D).

Eğer bugün pazartesi ise (p=D) ama yarın salı değilse (q=Y), o zaman p → q önermesi yanlıştır (Y).

2.4. "ancak ve ancak" Bağlacı (↔)

p ↔ q önermesi, p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğrudur. Farklı olduğunda yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ↔ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Örnek 5:

p: "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir." (D)

q: "Bir üçgen düzlemde çizilmiştir." (D)

p ↔ q: "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir ancak ve ancak bir üçgen düzlemde çizilmiştir."

Doğruluk değeri: D ↔ D = D

3. Niceleyiciler

Niceleyiciler, bir kümedeki elemanların bir özelliğe sahip olup olmadığını ifade etmek için kullanılır. En yaygın kullanılan niceleyiciler şunlardır:

3.1. Evrensel Niceleyici (∀)

"Her", "Bütün", "Her zaman" gibi ifadeleri temsil eder. Bir kümedeki tüm elemanlar için bir özelliğin doğru olduğunu belirtir.

Örnek 6:

∀x ∈ R, x² ≥ 0

Okunuşu: "Her reel sayı x için, x'in karesi sıfırdan büyük veya eşittir." Bu önerme doğrudur.

3.2. Varoluşsal Niceleyici (∃)

"En az bir", "Bazı", "Var" gibi ifadeleri temsil eder. Bir kümede en az bir elemanın bir özelliğe sahip olduğunu belirtir.

Örnek 7:

∃x ∈ Z, x > 5

Okunuşu: "Öyle bir tam sayı x vardır ki, x 5'ten büyüktür." Bu önerme doğrudur (örneğin x = 6).

Örnek 8:

∀x ∈ N, x + 1 = x

Okunuşu: "Her doğal sayı x için, x + 1 = x'tir." Bu önerme yanlıştır.

Örnek 9:

∃x ∈ N, x + 1 = x

Okunuşu: "Öyle bir doğal sayı x vardır ki, x + 1 = x'tir." Bu önerme de yanlıştır.

Niceleyicilerin değili alınırken dikkat edilmesi gereken kurallar vardır:

• (∀x, P(x))'nin değili ∃x, P'(x)'dir.
• (∃x, P(x))'nin değili ∀x, P'(x)'dir.

Örnek 10:

p: "∀x ∈ R, x² > 0"

p önermesinin değili:

p': "∃x ∈ R, x² ≤ 0"

p önermesi yanlıştır (çünkü x=0 için x²=0 olur). p' önermesi ise doğrudur (x=0 için x²=0 ≤ 0).