💡 9. Sınıf Matematik: Mantık: Önermeler ve Bağlaçlar Çözümlü Örnekler

Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesinlikle doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmesi gerekir. Yorum, dilek, emir, soru cümleleri önerme değildir.

• 👉 Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.
  Bu ifade kesinlikle doğru bir hükümdür. O halde bir önermedir. ✅
  Doğruluk değeri: \(1\) (Doğru)
• 👉 Hava bugün çok güzel!
  Bu ifade kişiden kişiye değişebilen öznel bir yargı bildirmektedir. Kesin bir doğru ya da yanlış hüküm içermez. O halde bir önerme değildir. ❌
• 👉 2 + 3 = 5
  Bu ifade kesinlikle doğru bir matematiksel hükümdür. O halde bir önermedir. ✅
  Doğruluk değeri: \(1\) (Doğru)
• 👉 En küçük asal sayı 1'dir.
  Bu ifade kesinlikle yanlış bir hükümdür (En küçük asal sayı 2'dir). O halde bir önermedir. ✅
  Doğruluk değeri: \(0\) (Yanlış)
• 👉 Kapıyı kapatır mısın?
  Bu bir soru cümlesidir. Kesin bir doğru ya da yanlış hüküm içermez. O halde bir önerme değildir. ❌

Bir önermenin değili, o önermenin olumsuzudur ve doğruluk değerini tersine çevirir. p önermesinin değili p' veya ~p ile gösterilir.

• 👉 p: "3 tek sayıdır."
  Bu önerme doğrudur. Doğruluk değeri: \(D\) veya \(1\).
  Değili (p'): "3 tek sayı değildir." veya "3 çift sayıdır."
  p' önermesi yanlıştır. Doğruluk değeri: \(Y\) veya \(0\).
  Yani, \(p \equiv 1\) ise \(p' \equiv 0\).
• 👉 q: "Bir hafta 8 gündür."
  Bu önerme yanlıştır. Doğruluk değeri: \(Y\) veya \(0\).
  Değili (q'): "Bir hafta 8 gün değildir."
  q' önermesi doğrudur. Doğruluk değeri: \(D\) veya \(1\).
  Yani, \(q \equiv 0\) ise \(q' \equiv 1\).

"Ve" (\(\land\)) bağlacıyla kurulan bileşik önermenin doğru olabilmesi için, bileşenlerin her ikisinin de doğru olması gerekir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

• 1. Adım: p önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p: "2 asal sayıdır."
  2, asal sayı tanımına uyar (1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni yoktur). Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(p \equiv 1\).
• 2. Adım: q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  q: "En büyük iki basamaklı sayı 99'dur."
  İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadardır. En büyüğü 99'dur. Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(q \equiv 1\).
• 3. Adım: \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  Hem p hem de q önermesi doğru olduğundan (\(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\)), "ve" bağlacına göre bileşik önerme de doğru olur.
  \[ p \land q \equiv 1 \land 1 \equiv 1 \]

Sonuç olarak, \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri \(1\)'dir.

"Veya" (\(\lor\)) bağlacıyla kurulan bileşik önermenin yanlış olabilmesi için, bileşenlerin her ikisinin de yanlış olması gerekir. En az biri doğruysa bileşik önerme doğrudur.

• 1. Adım: p önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p: "İstanbul Türkiye'nin başkentidir."
  Türkiye'nin başkenti Ankara'dır. Bu ifade yanlıştır. ❌
  O halde, \(p \equiv 0\).
• 2. Adım: q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  q: "7 çift sayıdır."
  7 tek sayıdır. Bu ifade yanlıştır. ❌
  O halde, \(q \equiv 0\).
• 3. Adım: \(p \lor q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  Hem p hem de q önermesi yanlış olduğundan (\(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 0\)), "veya" bağlacına göre bileşik önerme de yanlış olur.
  \[ p \lor q \equiv 0 \lor 0 \equiv 0 \]

Sonuç olarak, \(p \lor q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri \(0\)'dır.

"Ya da" (\(\underline{\lor}\)) bağlacıyla kurulan bileşik önermenin doğru olabilmesi için, bileşenlerin doğruluk değerlerinin farklı olması gerekir. Doğruluk değerleri aynıysa (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış) bileşik önerme yanlıştır.

• 1. Adım: p önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p: "Güneş bir gezegendir."
  Güneş bir yıldızdır, gezegen değildir. Bu ifade yanlıştır. ❌
  O halde, \(p \equiv 0\).
• 2. Adım: q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  q: "Ay bir doğal uydudur."
  Ay, Dünya'nın doğal uydusudur. Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(q \equiv 1\).
• 3. Adım: \(p \underline{\lor} q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p önermesi yanlış (\(p \equiv 0\)) ve q önermesi doğru (\(q \equiv 1\)) olduğundan, doğruluk değerleri farklıdır. "Ya da" bağlacına göre bileşik önerme doğru olur.
  \[ p \underline{\lor} q \equiv 0 \underline{\lor} 1 \equiv 1 \]

Sonuç olarak, \(p \underline{\lor} q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri \(1\)'dir.

"İse" (\(\implies\)) bağlacıyla kurulan bileşik önerme, sadece ilk önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur. (Yani, \(1 \implies 0\) durumu hariç her zaman doğru).

• 1. Adım: p önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p: "Tüm kuşlar uçar."
  Penguen, devekuşu gibi uçamayan kuşlar vardır. Bu ifade yanlıştır. ❌
  O halde, \(p \equiv 0\).
• 2. Adım: q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  q: "Penguen bir kuştur."
  Penguenler kuşlar sınıfına aittir. Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(q \equiv 1\).
• 3. Adım: \(p \implies q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p önermesi yanlış (\(p \equiv 0\)) ve q önermesi doğru (\(q \equiv 1\)) olduğundan, \(0 \implies 1\) durumu oluşur. Bu durum "ise" bağlacına göre doğrudur.
  \[ p \implies q \equiv 0 \implies 1 \equiv 1 \]

Sonuç olarak, \(p \implies q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri \(1\)'dir.

"Ancak ve ancak" (\(\iff\)) bağlacıyla kurulan bileşik önerme, bileşenlerin doğruluk değerleri aynı olduğunda (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış) doğru olur. Doğruluk değerleri farklıysa yanlıştır.

• 1. Adım: p önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  p: "20 bir çift sayıdır."
  20, 2 ile kalansız bölünebildiği için çift sayıdır. Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(p \equiv 1\).
• 2. Adım: q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  q: "20'nin 4 ile bölümünden kalan 0'dır."
  \(20 \div 4 = 5\) ve kalan 0'dır. Bu ifade doğrudur. ✅
  O halde, \(q \equiv 1\).
• 3. Adım: \(p \iff q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
  Hem p hem de q önermesi doğru olduğundan (\(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\)), doğruluk değerleri aynıdır. "Ancak ve ancak" bağlacına göre bileşik önerme doğru olur.
  \[ p \iff q \equiv 1 \iff 1 \equiv 1 \]

Sonuç olarak, \(p \iff q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri \(1\)'dir.

Bu soruyu çözmek için verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyip, bileşik önermenin sonucunu yorumlayacağız.

• 1. Adım: Verilen önermelerin Ayşe Hanım için doğruluk değerlerini belirleyelim.
  p: "Telefon alana kulaklık hediye."
  Ayşe Hanım kulaklık hediyesini aldıysa, bu demektir ki telefon almıştır ve hediye kuralı onun için işlemiştir. O halde, \(p \equiv 1\).
• 2. Adım: q önermesinin Ayşe Hanım için doğruluk değerini belirleyelim.
  q: "Bilgisayar alana mouse hediye."
  Ayşe Hanım mouse hediyesini almadıysa, bu demektir ki bilgisayar almamıştır veya bilgisayar aldıysa bile mouse hediyesi kuralı onun için işlememiştir (ki bu kampanya mantığına aykırı). En basit yorumla, mouse almadığı için bilgisayar almamıştır diyebiliriz. O halde, \(q \equiv 0\).
• 3. Adım: Verilen bileşik önermenin doğruluk değerini inceleyelim.
  Bize verilen bileşik önerme \( (p \land q) \implies r \) ve bu önermenin doğru olduğu söyleniyor. Yani,
  \[ (p \land q) \implies r \equiv 1 \]
• 4. Adım: \(p \land q\) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım.
  \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) olduğundan, "ve" bağlacına göre;
  \[ p \land q \equiv 1 \land 0 \equiv 0 \]
• 5. Adım: Şimdi tüm bileşik önermeyi tekrar yazalım.
  \[ (0) \implies r \equiv 1 \] "İse" bağlacının kuralını hatırlayalım: Sadece \(1 \implies 0\) durumu yanlıştır. Diğer tüm durumlar doğrudur.
  Burada ilk önermemiz \(0\) olduğu için, ikinci önerme olan \(r\) ne olursa olsun (yani \(r\) ister \(0\) ister \(1\) olsun), \(0 \implies r\) bileşik önermesi her zaman \(1\) (doğru) olacaktır.
  Yani, \(0 \implies 0 \equiv 1\) ve \(0 \implies 1 \equiv 1\).
• 6. Adım: r önermesinin doğruluk değerini yorumlayalım.
  Yukarıdaki adımdan da anlaşıldığı gibi, \( (p \land q) \implies r \) ifadesinin doğru olması, r önermesinin doğruluk değeri hakkında kesin bir bilgi vermez. r hem doğru hem de yanlış olabilir ve bileşik önerme yine de doğru kalır.

✅ Sonuç: Ayşe Hanım'ın kulaklık alıp mouse almadığı durumda, \( (p \land q) \) kısmı yanlış (\(0\)) olur. Yanlış bir önermeden (\(0\)) yola çıkarak kurulan "ise" (\(\implies\)) bağlacı her zaman doğru sonuç verir. Bu durumda, Ayşe Hanım'ın %10 indirim alıp almadığı (r önermesinin doğru olup olmadığı) hakkında kesin bir yorum yapamayız. Mağazanın bu bileşik önermesi doğru olsa bile, Ayşe Hanım'ın indirim almaması (\(r \equiv 0\)) da, indirim alması (\(r \equiv 1\)) da mümkündür.